半群H(n，m)的独立子半群

袁 月，赵 平

贵州师范大学 数学科学学院，贵阳 550025

设Sn和Tn分别是有限集Xn={1，2，…，n}上的对称群和全变换半群．对1≤m≤n-1，记Xm={1，2，…，m}且Xn-m=XnXm．令

T(n，m)={α∈Tn：Xmα=Xm}

G(n，m)={α∈T(n，m)：Xn-mα=Xn-m}=T(n，m)∩Sn

H(n，m)={α∈T(n，m)：Xn-mα⊆Xn-m}

则易证得G(n，m)，H(n，m)和T(n，m)都是全变换半群Tn的子半群，且G(n，m)⊆H(n，m)⊆T(n，m)．

设S是半群H(n，m)的子集．通常，用E(S)表示S中的所有幂等元组成的集合．本文未定义的术语及符号请参见文献[16]．

为了叙述上的方便，在H(n，m)上引入以下的二元关系：对任意α，β∈H(n，m)，定义

αL◇β⟺im(α)=im(β)αR◇β⟺ker(α)=ker(β)

αJ◇β⟺|im(α)|=|im(β)|αH◇β⟺im(α)=im(β)，ker(α)=ker(β)

则L◇，R◇，J◇与H◇都是H(n，m)上的等价关系．

易得L◇⊆J◇，R◇⊆J◇且H◇=R◇∩L◇．对r∈N+且2≤m+1≤r≤n，记

约定：设1≤m≤n-1，令Sn-m，Tn-m分别表示Xn-m上的对称群和全变换半群，Sm表示Xm上的对称群．

证 由文献[15]可知

G(n，m)=〈(12)，(12…n)，((m+1)(m+2))，((m+1)(m+2)…n)〉≅Sm×Sn-m

当2≤m≤n-3时，任意取α∈H(n，m)，定义βα，λα∈Tn为

显然βα，λα∈H(n，m)且βα∈G(n，m)．任意取i∈Xn，若1≤i≤m，则iβα=iα∈Xm，于是(iα)α≤m，从而i(βαλα)=(iβα)λα=(iα)λα=iα；若m+1≤i≤n，则由α∈H(n，m)可得iβα=i∈Xn-m且iα>m，从而i(βαλα)=(iβα)λα=iλα=iα．因此α=βαλα．易知

βα∈〈(12)，(12…m)〉≅Sm

Akα=ak1≤k≤r

且xα=xx∈Xn(A1∪…∪Ar)

证设

其中Xm={a1，a2，…，am}且{am+1，am+2，…，an}⊂Xn-m．令

则μα∈G(n，m)，且

于是α*=αμα∈〈G(n，m)，α〉，且

从而

再由引理1可得H(n，m)=〈G(n，m)，α〉．

证令k=min{|im(ε)|：ε∈E(T)∩H(n，m)(n-2)}，则m+1≤k≤n-2．假设m+2≤k≤n-2．任意取

其中Xn-m=Am+1∪Am+2∪…∪Ak，且ai∈Ai(m+1≤i≤k)．由|im(ε)|=k≤n-2可知，存在t∈{m+1，m+2，…，k}，使得|At|≥3，或者存在p，q∈{m+1，m+2，…，k}且p≠q，使得|Ap|=|Aq|=2．以下分两种情形：

情形1 |At|≥3．取b，c∈At{at}且b≠c．令

则α2=β2=ε，从而α，β∈T．由|im(ε)|=k≥m+2可知，存在i∈{m+1，m+2，…，k}，使得Ai∩At=Ø．不失一般性，不妨设i>t．令

则(α*)2=αβ∈T且(β*)2=βα∈T，从而α*，β*∈T．易验证

显然α*β*α∈E(T)∩H(n，m)(n-2)，且|im(α*β*α)|=k-1，与k的极小性矛盾．

则α2=β2=ε，从而α，β∈T，因此αβ，βα∈T．令

则(α*)2=(γ*)3=βα∈T，(β*)2=αβ∈T，从而α*，β*，γ*∈T．易验证

显然(α*β*γ*)2∈E(T)∩H(n，m)(n-2)，且|im((α*β*γ*)2)|=k-1，与k的极小性矛盾．

证任意取

其中b∈Xn-m．若a=b，则αt=ε∈T，从而α∈T；若a≠b，令

其中a，b，c∈Xn-m且a，b，c互不相同，则β2=γ2=ε，从而β，γ∈T．令

则

对r∈N+且2≤m+1≤r≤n，记

Sing(n，m)={α∈H(n，m)：|im(α)|≤n-1}

则H(n，m)(r)是H(n，m)的理想，且Sing(n，m)=H(n，m)(n-1)．

易验证αsβs=γs-1．注意到

引理9设1≤m≤n-3，T是半群H(n，m)的独立子半群，若T∩G(n，m)≠Ø，则G(n，m)⊆T．

证由T∩G(n，m)≠Ø可知，存在α∈T∩G(n，m)，于是1Xn=αn!∈T，其中1Xn是Xn上的恒等变换．任取β∈G(n，m)，则βn!=1Xn∈T，从而β∈T．由β的任意性可得G(n，m)⊆T．

定理1设1≤m≤n-3，则半群H(n，m)的独立子半群有且仅有以下5类：

证注意到G(n，m)，Sing(n，m)都是半群H(n，m)的子半群，G(n，m)∩Sing(n，m)=Ø且H(n，m)=G(n，m)∪Sing(n，m)，则由文献[14]可知，G(n，m)，Sing(n，m)和H(n，m)都是半群H(n，m)的独立子半群．由引理7、引理8可知，类型，都是半群H(n，m)的独立子半群．

情形1E(T)∩G(n，m)≠Ø且E(T)∩Sing(n，m)=Ø．由引理9可得G(n，m)⊆T．我们断言T∩Sing(n，m)=Ø．假设α∈T∩Sing(n，m)，则存在n∈N+，使得αn∈E(T)∩Sing(n，m)，与E(T)∩Sing(n，m)=Ø矛盾．因此T=G(n，m)．

情形2.1E(T)∩H(n，m)(n-2)≠Ø．由引理3、引理4、引理5可得Sing(n，m)⊆T，从而T=H(n，m)．

情形3.1E(T)∩H(n，m)(n-2)≠Ø．由引理3、引理4、引理5可得Sing(n，m)⊆T，从而T=Sing(n，m)．

ΓT={x∈Xn-m：存在k∈Xn-m，使得λ(x，k)∈E(T)}

假设|ΓT|≥3，则存在t1，t2，t3，k1，k2，k3∈Xn-m，ti≠ki(1≤i≤3)且t1，t2，t3互不相同，使得λ(t1，k1)，λ(t2，k2)，λ(t3，k3)∈E(T)．显然存在i∈{2，3}，使得t1≠ki．若ti=k1，则k1≠ki，从而

这与E(T)∩H(n，m)(n-2)=Ø矛盾．若ti≠k1且ki=k1，则

这与E(T)∩H(n，m)(n-2)=Ø矛盾．若ti≠k1且ki≠k1，则

注1易知半群H(n，n-1)唯一的独立子半群是它本身，H(n，n-2)的所有独立子半群为半群H(n，n-2)，G(n，n-2)，Sing(n，n-2)，{λ(m+1，m+2)}和{λ(m+2，m+1)}．