基于矢量控制的永磁同步电机分数阶滑模控制研究

周蔡金，孟晋哲，张伟，付文聪，申明星

（重庆理工大学，重庆 400000）

1 前言

永磁同步电机运行可靠、整体结构也比较简单，此外还拥有比较高的功率因数等优势，和直流伺服电机相比，它可以为性能要求比较高的系统保障快速动态响应、宽调速范围和高功率因素等。和感应电机不同，PMSM内部结构简单、控制方便、无励磁损耗等，正因如此，在性能要求高、精度要求高的伺服驱动领域有着很广阔的应用前景。但是，永磁同步电机的变量比其他电机多的多、耦合性很强，它还是非线性系统，要设计它的控制系统，会存在很多不确定性因素，比如参数变化、外部干扰，这些因素会或多或少的降低永磁同步电机控制系统的精确性，电机控制中最常用的PID控制器很难满足控制精确度要求高的领域。为了达到复杂性、高精度、高稳定度的要求，同时考虑永磁同步电机参数的变化性、强耦合性、外部干扰这些因素的影响，利用滑模变结构控制拥有较强的鲁棒性，并且参数的变化不会降低滑模控制的性能，从而有效设计PMSM的非线性控制系统。滑模控制由于有着优良的鲁棒性与抗干扰性，因此能够很好的解决永磁同步电机的控制问题。但传统滑模控制有着很难消除的抖振现象，如何尽可能的削弱滑模抖振一直困扰着国内外科研人员。为了解决这一难题，学者们提出了很多先进的理论，比如准滑动模态法、干扰观测器法、滤波法和高阶滑模控制方法等，上面阐述的几种理论一定程度上能削弱抖振，不过不足之处却不容忽略，如准滑动模态以及干扰观测器无法消除统静态误差，滤波方法很难确定系统是否稳定，高阶滑模控制很难运用到实际工程中。综上，本文利用分数阶控制传递能量缓慢及分数阶微积分算子能够记忆并遗传信息的特点，提出一种新型控制方法，将分数阶理论和滑模变结构控制搭配使用：第一步改进一般滑模面的设计：引入分数阶微积分的算子，不仅可以有效的缓解常规滑模控制的抖振，还能增进滑模面的自由度。第二步：文献[9]提出一种新型的整数阶趋近率，本文在其基础上改进，使系统既能加快收敛速又能进一步削弱系统抖振，完成分数阶速度控制器的设计。第三步：Lyapunov理论对设计的控制器做稳定性分析，仿真和实验结果验证了所提方法的正确性。

2 PMSM数学模型的建立

为了分析简便，在构建PMSM的数学模型时，默认以下几点假设：转子永磁磁场在气隙空间按正弦波分布；不考虑定子铁心饱和，默认磁路是线性的，电感参数固定；忽略铁心涡流和磁滞损耗；转子上不存在阻尼绕组。按照上面的几条假设，dq坐标系下的PMSM数学模型的电压方程为

式中，ud、id对应d轴上的电压分量和电流分量；uq、iq 对应 q 轴上的电压分量和电流分量；Ld、Lq对应为直、交轴电感；R代表电机的定子绕组电阻；wre代表电机的电角速度；Ψ为永磁体与定子交链磁链。

PMSM的转矩方程为

式中，Te是转矩；p表示磁极对数。对于表面式PMSM有 Ld= Lq= L，所以转矩方程可简化为

PMSM的运动方程为

式中，TL表示负载的转矩；ω表示电机的机械角速度；B代表电机摩擦系数，J代表转动惯量。

3 滑模控制器的设计

取PMSM的状态方程为

式中，w*为电机给定转速；w为电机实际转速。

结合式（2）、（3），有

用分数阶微积分算子取代一般微积分，适当调整微积分算子参数就能提高控制系统的灵活性。本文设计的分数阶滑模面为：

式中，c代表滑模面增益，Dλ是分数阶微积分算子。其定义为

式中，0代表的是分数阶计算的起步时刻，t表示最终时刻；λ分数阶微积分阶次；R(λ)代表λ的实部。

在实际工程应用中，滑模控制所包含的切换开关的时间存在一定的延迟和空间滞后、状态检测也存在误差， 这些细节会降低电机运行的精确性。为了有效提高永磁同步电机调速系统的动态性能和静态性能，基于文献[9]，引入分数阶微积分算子，该趋近律趋近速度快，稳态抖振小。新型趋近律的表达式如下：

式中，x1代表系统状态变量，S表示滑模面，k1、k2，b为常数，可自由赋值，t为时间，sng(·)是符号函数，其定义如下：

式中， Dλsgn(S)是符号函数分数阶微积分的形式。当系统状态远离滑模面时，两项一起作用，系统状态量x1的反双曲正弦函数，这会让趋近速度与系统状态 1||x 相关，当x1较大时，arcsinh(b x1)较大，这段时间整体系统沿着指数趋近律 2-ks和变速趋近律快速趋近滑模面，趋近的速度快；当系统状态离滑模面越来越远时，指数趋近律的趋近速度约等于零， -k1arcsinh(b|x1|) · Dλsgn(s)起主要作用，采用对符号函数进行分数阶化进行了作用，降低由于符号函数自身的不连续性产生的抖振。

再结合式（6）和式（8）可以设计出分数阶滑模控制器的控制律为

4 滑模逼近条件

5 仿真结果分析

电机参数：磁极对数pn=4，定子电感Ls=8.5mH,定子电阻R=2.875Ω,磁链 φf= 0.175wb，转动惯量J=0.003kg·m2，阻力系数 B = 0.008N·m·s。直流侧电压 Udc= 311V，PWM开关频率设置为 fpwm= 10kHz，采用周期设置为 Ts= 10μs，采用变步长ode23tb算法，相对误差设置为0.0001，仿真时间设置为0.6s。参考转速 Nref= 1000r/min ，初始时刻负载转矩TL= 0N·m，在 t = 0.3s时负载转矩TL=4N·m。

图1～4详细绘制了永磁同步电机调速系统采用PI控制、滑模控制和分数阶滑模控制的主要数据的输出波形的对比图。观察图1，可以看出采用PI 控制器的调速系统在启动阶段的转速波形存在较大的超调量，本文设定的目标转速为1000r/min,采用PI控制器的峰值甚至超过了1270r/min，这样会较大的削弱了系统的稳定性能；普通滑模控制器在电机的启动阶段也有较大的超调量，其峰值在1200r/min左右，但相比PI控制器来说是降低了不少；而采用分数阶滑模控制器，可以在较短时间内到达预先设置的转速，最重要是波形没有明显的超调量，这让整个系统具备更强的快速性和可靠的稳定性。在t=0.3s时候，给与电机一个4N·m的负载干扰，由图2可知，PI控制器和常规的滑模控制器控制的调速系统转速曲线都会产生一个波动，然后再回到预设转速值，但是本文设计的分数阶滑模控制器的的转速曲线却没有观测到明显的曲线波动，所以抗干扰的性能比较强。再挖掘图2和图4，可以发现，采用PI控制器和常规滑模控制器的转速和转矩曲线都会产生明显的抖振，而分数阶滑模控制器的转速和转矩曲线很光滑，波动很小，且没有观察到明显的抖振现象，其波形品质优良，此外，基于分数阶控制器的启动转矩低于整数阶控制器和PI控制器的启动转矩，这使得速度响应曲线能够在更短的时间内到达预设的转速值。综上所述，本文设计的分数阶滑模控制器能有效地削弱滑模控制器存在的抖振问题。

图1 转速输出波形对比图

图2 0.3s负载扰动时转速局部区域放大图

图3 转矩输出波形对比图

图4 0.3s负载扰动时转矩局部区域放大图

6 实验验证

为了验证本文提出方法的效果利用实验平台进行了验证，分别进行了分数阶滑模和传统滑模控制的实验。实验平台包括：控制板、电机驱动板、永磁同步电机、编码器（1000线）、24V直流电源、AD采集卡。实验的预设转速设置为Nref=1500r/min实验得到的数据可以导入到matlab来进行画图。实验的过程及结果如图5、6。

图5 实验平台的搭建

图6 两种控制方法的对比

由上述实验结果可见，分数阶滑模控控制器比普通滑模控制器能更快的达到预设的转速值，在达到预设值的过程中波动更小。综上所述，本文设计的分数阶滑模控制器能有效地削弱滑模控制器存在的抖振问题。