超音速气流作用下壁板的稳定性分析

李伟杰

(沈阳航空航天大学 航空宇航学院,辽宁 沈阳110136)

壁板是各类飞行器上重要的结构单元,壁板系统的稳定性对于飞行器安全极为重要。气流速度、支撑方式、材料属性等都会影响壁板振动特性。国内杨智春等人对壁板的稳定性进行了研究,分析了壁板发生屈曲、颤振、混沌运动、空间混沌等特性的条件[1-4]。研究超音速气流作用下壁板的稳定性有助于找到设计参数对稳定性的影响,对飞行器设计起到一定的指导作用。本文依据超音速气流作用下壁板横向振动微分方程为基础,利用分岔理论分析了壁板稳定性问题,并分别对各稳定点进行了详细讨论,最后利用数值模拟进验证了理论的正确性。

1 控制方程

利用活塞理论、Von Karman 大变形理论、Hamilton 原理对超音速气流作用下的壁板进行力学建模,经推导可得壁板系统的的横向运动微分方程为:

为几何非线性效应引起的附加面内力,Pa为气动力。

应用Galerkin 方法进行两阶离散化得到:

式中,N 为内力系数,μ 为动压系数,参数变化时平衡点稳定性会随着发生变化,首先取:

则根据罗斯- 霍维兹判据可分析壁板系统的静态分岔和动态Hopf 分岔情况。

2 静态分岔

由式(5)和(8)可得,恒有r1＞0；当N＞-17π2/5,r2＞0,r3＞0；当N、μ 满足

只有一个平衡点Q1。而当不满足条件(10)时,壁板系统发生静态分岔,平衡点的个数增加,Q2.3、Q4.5两者都存在或存在其中之一。由式(6),当:

通过矩阵A 的特征值计算,可以判断新平衡点Q2.3、Q4.5的类型和稳定性。

3 动态Hopf 分岔

当参数N、μ 满足下式时,

系统只有一个稳定的平衡点Q1；而当不满足式(15)时,Q1变为不稳定,平衡点没有增加,系统发生动态Hopf 分岔。

图1 为壁板系统稳定性区域图,其中N1=-N/π2。随着参数穿越各条边界,平衡点的个数也随着发生变化,壁板将发生屈曲或颤振。

图1 壁板稳定性区域图

4 算例分析

取ρr=0.03,Ma=2,利用Runge-Kutta 方法分析平衡点的稳定性和分岔情况,并进行数值模拟。

分别计算了各参数区域内零平衡点的稳定性,表1 给出了Q1平衡点在各参数区域的稳定性分析。

结合图1 和表1,通过计算分析可得:

表1 Q1 平衡点在各参数区域内的稳定性分析

在1 区内,系统只有一个稳定的零平衡点Q1,无论初值大小,在相平面图上相轨迹都趋于平衡点；当参数从1 区进入2 区时仍然只有平衡点Q1,但变为不稳定,发生Hopf 分岔；当参数从1 区进入3 区时,Q1向某一方向失稳,产生了两个不稳定的新平衡点,壁板发生了屈曲变形；当参数从3 区进入4 区时,Q1又向另外一个方向失稳,新平衡点Q4.5出现,壁板仍然只是发生静态变形；当参数从3 区进入5 区时,Q1重新稳定,同时还产生两个新的不稳定平衡点,壁板仍是屈曲变形。

5 结论

在本文中,推导得到了超音速气流作用下的壁板横向运动振动微分方程,利用罗斯- 霍维兹判据研究分析了壁板系统的稳定性和分岔问题,得到了系统的稳定性区域图,发现在某些参数区域内有多个平衡点共存,分别对各平衡点的稳定性进行了分析,并利用数值模拟验证了理论机理的正确性。