巧用直径，妙解圆的综合题

赵宏敏

圆的直径具有以下性质：直径是圆中最长的弦，直径所在的直线是圆的对称轴，直径所对的圆周角是直角。我们在解与圆的直径有关的题型时，要注意利用好直径的这些性质。

一、利用直径求最值

例1 如图1，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点。以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为。

【分析】连接OE、OF，作OM⊥EF于点M，作AN⊥BC于点N。根据圆周角定理得到∠EOF=120°，再计算出EF=[3]OE，则OE最小时，EF的长度最小，此时圆的直径的长度最小。利用垂线段最短得到AD的长度最小值为AN的长，接着计算出AN=[2]，从而得到OE的最小值为[22]，最后确定EF长度的最小值。

解：连接OE、OF，作OM⊥EF于点M，作AN⊥BC于点N，如图2。

∵∠EOF=2∠BAC=2×60°=120°，

而OE=OF，OM⊥EF，

∴∠OEM=30°，EM=FM。

在Rt△OEM中，OM=[12]OE，

EM=[32]OE，

∴EF=2EM=[3]OE，

∴当OE最小时，EF的长度最小，此时圆的直径的长度最小，即AD的长度最小。

∵AD长度的最小值为AN的长，

而AN=[22]AB=[2]，

∴OE的最小值为[22]，

∴EF长度的最小值为[3]×[22]=[62]。

故答案为[62]。

二、利用直径求线段长

例2 如图3，点A、B、C、D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E。若∠ADC=30°，AE=1，则BC的长为（）。

A.2B.4C.[3]D.[23]

【分析】连接OC，根据圆周角定理求得∠AOC=60°，则在Rt△COE中，可得OE=[12]OC=OC-1，得到OC=2，从而得到CE=[3]，最后根据垂径定理得到BC的长。

解：连接OC，如图4。

∵∠ADC=30°，

∴∠AOC=60°。

∵OA⊥BC，

∴CE=BE，∠CEO=90°，

∴在Rt△COE中，

OE=[12]OC，CE=[3]OE。

∵OE=OA-AE=OC-1，

∴OC-1=[12]OC，

∴OC=2，

∴OE=1，

∴CE=[3]，

∴BC=2CE=[23]。

故选D。

三、利用直径判断线段之间的关系

例3 如图5，在△ABC中，∠B=90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB。

（1）求证：AE是⊙O的切线;

（2）连接DE，若∠A=30°，求[BEDE]。

【分析】（1）连接OE，证明OE∥BC，得∠AEO=∠B=90°，即可得出结论;

（2）连接DE，先证明△ECB∽△DCE，得出[BEDE]=[CECD]，易证∠ACB=60°，由角平分线定义得∠DCE=[12]∠ACB=[12]×60°=30°，由此即可得出[BEDE]的值。

（1）证明：连接OE，如图6。

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE。

又∵OE=OC，

∴∠ACE=∠OEC，

∴∠BCE=∠OEC，

∴OE∥BC，

∴∠AEO=∠B。

∵∠B=90°，

∴∠AEO=90°，

即OE⊥AE。

∵OE为⊙O的半径，

∴AE是⊙O的切线。

（2）解：连接DE，如图7。

∵CD是⊙O的直径，

∴∠DEC=90°，

∴∠DEC=∠B。

又∵∠DCE=∠ECB，

∴△ECB∽△DCE，

∴[BEDE]=[CECD]。

∵∠A=30°，∠B=90°，

∴∠ACB=60°，

∴∠DCE=[12]∠ACB=[12]×60°=30°，

∴[CECD]=cos∠DCE=cos30°[=32]，

∴[BEDE][=32]。

直徑是圆的重要特征之一，可以确定圆的大小，计算圆的周长和面积，也可以构造直角三角形。因此，我们可以根据题意将要求的线段、角度、线段之比等转化到直角三角形中，然后利用勾股定理或相似三角形求解。

（作者单位：江苏省苏州工业园区星澄学校）