迭代恒同函数的应用

江海华

[摘  要] 函数迭代是数学竞赛解题中一个很常见的处理手段，文章在函数迭代的基础上重新定义了一个迭代恒同函数，并给出了一些具体实例，最后研究了迭代恒同函数的一些简单性质及应用.

[关键词] 函数迭代;迭代恒同函数;周期性

迭代恒同函数的定义

1. 设M（x）是定义在集合D上的连续函数. 记M（x）=M1（x），M（M（x））=M2（x），M（M（M（x）））=M3（x）… =Mn（x），称Mn（x）为函数M（x）的n次迭代函数.

2. 若存在n∈N+，使得对任意的k∈N+（k≤n-1），函数M（x）满足：

（1）Mk（x）≠x;

（2）Mn（x）=x，

则称Mn（x）为n次迭代自恒同函数.

3. 若存在n∈N+，使得对任意的k∈N+（k≤n-1），函数ω（x）满足：

（3）ωk（x）≠M（x）;

（4）ωn（x）=M（x），

则称ωn（x）为函数M（x）的第n次迭代恒同函数.

迭代恒同函数的实例与性质

1. 容易验证M（x）= （a，b，c∈R且c≠0，a2+bc≠0）是2次迭代自恒同函数. 特别的，函数M（x）=-x;M（x）= ;M（x）=- ;M（x）= ;M（x）= 均为2次迭代自恒同函数.

2. 容易发现，若M（x）是2次迭代自恒同函数，则M（x）的图像关于函数y=x自对称. 此时便很容易构造出一个2次迭代自恒同函数.如：M（x）= （a≠0，x>0）是2次迭代自恒同函数.

3. 容易验证ω（x）= 是M（x）=- 的二次迭代恒同函数;ω（x）= 是M（x）=- 的二次迭代恒同函数，发现M（x）=- 的二次迭代恒同函数不唯一.

其实，有关迭代恒同函数的相关知识还有很多值得去探讨，如：

1. 求函数M（x）= 的一个2次迭代恒同函数.

2. 如何构造一个三次迭代自恒同函数？有没有具体实例？

3. 任意一个2次迭代自恒同函数是否均存在一个2次迭代恒同函数？

迭代恒同函数的应用

1. 迭代恒同函数在函数周期性中的应用

定理1：设λ为非零常数，若对函数f（x）定义域中的任意x，恒有f（x+λ）=M（f（x）），其中M（x）为二次迭代自恒同函数，则f（x）为周期函数，2λ是它的一个周期. 若λ是满足条件的最小正数，则2λ是f（x）的一个最小正周期.

证明：由f（x+2λ）=f（（x+λ）+λ）=M（M（f（x）））=f（x），所以2λ是它的一个周期.

若λ是满足条件f（x+λ）=M（f（x））的最小正数，设有0

（1）当0

（2）当λ

综上，2λ是f（x）的一个最小正周期.

定理2：设λ为非零常数，若对函数f（x）定义域中的任意x，恒有f（x+λ）=ω（f（x）），其中M（x）为二次迭代自恒同函数，ω（x）是M（x）的二次迭代恒同函数，则f（x）为周期函数，4λ是它的一个周期.若λ是满足条件的最小正数，则4λ是f（x）的最小正周期.

证明：因为f（x+2λ）=ω（f（x+λ））=ω（ω（f（x）））=M（f（x）），所以，由定理1可知，f（x）为周期函数，4λ是它的最小正周期.

容易发现，命题者会根据上述两个定理选取某个确定的迭代恒同函数进行命题. 如：

例1：已知f（x）满足f（x+1）= ，則f（x）的最小正周期是______.

解：因为M（x）= 是2次迭代自恒同函数，且f（x+1）=M（f（x）），所以x ，x 的最小正周期是2.

2. 应用迭代恒同函数的性质命题（求一类抽象函数的解析式）

例2：（自编）函数f（x）由满足下列关系式所确定：（x-1）f -f（x）=x，其中x≠1，求所有这样的函数.

解：以 代关系式中的x，得 ·f（x）-f = ，将上式与已知条件联立，消去f ，解得f（x）=1+2x，易验证所求得的函数满足要求.

例3：（自编）设函数对x≠0，±1的一切实数均有f（x）+2f =3x，求f（x）的解析式.

解：由f（x）+2f =3x（1），

以 代关系式中的x，得f +2f- =3· （2），

以- 代关系式中的x，得f- +2f =3·- （3），

以 代关系式中的x，得f +2f（x）=3· （4）.

将（1）-2·（2）+4·（3）-8·（4）得：

f（x）= + - - x.

如果能够发现 是4次迭代自恒同函数，再去看本题就没什么难点可言了.

设计目的：从上述例题发现，如果读者能够深入洞悉迭代恒同函数的构造方法，就可以非常容易地编写与之相关的试题. 反之，如果能够迅速识别这是几次迭代恒同函数，也能很快知道解题思路.

通过上述对迭代恒同函数的一些简单应用发现：一方面它在题干中通过和其他函数的复合是具有隐蔽性的，另一方面需对一些满足这种迭代性质的函数模型做进一步研究与总结.只有这样，无论是命题还是解题，都能立足高点，有的放矢.