通法为本，同构为器，特值为核

李维坚

[摘  要] 在平时的教学中，应注重通性通法的积淀，它是一把利刃，可以应对各种变化，万变不离其宗.通性通法虽慢，却处处彰显着数学思维的光芒.学生在使用通性通法的过程中，思维可以不断得到螺旋式上升.

[关键词] 通性通法;技巧;解题规划

2020年，山东等省份开始启用全国新高考卷，在试题的结构形式上发生了变化，比如出现了多选题.但纵览整份试卷，细细探究，我们依然可以感受到通性通法在解题中所发挥的巨大作用.以第21题为例，可以看到平时的解题教学中，不断渗透通性通法对学生有着“随风潜入夜，润物细无声”的质的作用.

题目如下：已知函数f（x）=aex-1-lnx+lna. （1）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;（2）若f（x）≥1，求a的取值范围.

第（2）问是一个恒成立求参数取值范围问题.处理这类问题的基本策略是构造函数，直接研究最值或参变分离，或半分参数形结合. 经过判断后，我们发现本题难以参变分离，则不妨考虑直接研究原函数，求导，利用导函数探求其单调性.基本流程如下所示.

法一：f′（x）=aex-1- （x>0，a>0），令g（x）=aex-1- ，易得g（x）在（0，+∞）上单调递增.

g +1=ae - ，先证A（x）=ex-x>0，而 +1>1，则0< <1，因而g +1>a· -1=0. 又g =ae -（a+1），而- <0，则e <1，所以g =ae -（a+1）0，即f′（x）>0，f（x）单调递增. 要使得f（x）≥1，则f（x）的最小值f（x ）≥1即可. 而导数零点x 虽不可求，但可设而不求，利用ae = 整体代入. 观察原函数f（x），既含有指数式，又含有对数式，指对不分家，不妨化指数式ae = 为对数式为：lna+x -1=-lnx ，则整体代入并降元得f（x ）=ae -lnx +lna= -lnx +1-lnx -x = -2lnx -x +1，构造h（x）= -2lnx-x+1，h′（x）=- - -1<0，则h（x）在（0，+∞）上单调递减，因为h（1）=1，则0

注1：本题最后出现的函数h（x）= -2lnx-x+1，其命题背景其实是对数平均不等式：对任意的正数a，b，有 < < ，若不妨令a>b>0， =t>1，则得 < ？圳lnt< - .再令 =x（x>1），则得lnx< ·x- ;若b>a>0，即0 x- .

注2：本题中导函数g（x）的零点x 的取得，除了直接赋值取点以外，也可以采取“先放再取”的策略，将含超越的放缩为非超越的. 由常用不等式ex-1≥x得，g（x）=aex-1- ≥ax- ，令ax- =0得x= ，则g ≥0;再当0

在平时的教学中，应注重通法通性的积淀，它是一把利刃，可以应对各种变化，万变不离其宗. 一般高考题在命制的过程中会破“套路化”，回避“秒杀”，突出核心数学思想，淡化各种解题技巧或者各种二级结论. 在本题的处理过程中，我们发现取点赋值是一个难点，而这和a的取值范围密切相关.这提醒我们在解决恒成立求参数取值范围问题时，我们可以利用特值先找到使不等式成立的必要条件，缩小a的取值范围.

由此可以得到改进版的法二，具体如下：不妨先探求必要条件，缩小a的取值范围. 考虑原函数的超越形式，令f（1）≥1得a+lna≥1，构造函数A（a）=a+lna，易得A（a）在（0，+∞）上单调增，而A（1）=1，则a+lna≥1解得a≥1.由此时的a的取值范围，给我们接下来“取点赋值”降低了难度. g（1）=a-1≥0，g =ae -a=a·e -1≤0，x 呼之欲出. 此处以特值为核心，优化了通性通法，大大提高了解题效率.

在官方给出的标准答案中，我们可以看到本题在必要条件a≥1得出后，其直接证明了充分性，即法三：当a≥1时，f（x）=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥x-（x-1）=1，充分性得证. 官方的命题背景也跃然纸上. 主要还是利用重要不等式ex≥x+1，其背景为高等数学中的泰勒展开式：ex=1+ x+ x2+ x3+o（x3）.

进一步进行解后反思，在参变分离时，我们遇到了阻碍，那么此时可行的措施和解题规划又是什么呢？一般，当指对（指数式和对数式）一起出现，参数难以分离时，我们考虑构造同构式，可同构为和指数函数相关的函数，也可同构为和对数函数相关的函数.由此我们得到法四：分析结构特征，构造同构式：aex-1-lnx+lna≥1，观察到e的指数为x-1，在不等式两边同时加上x-1得aex-1+lna+x-1≥x+lnx，同构为左边得：elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx，即elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx（*）. 构造函数g（t）=et+t，由g（t）=et+t在（-∞，+∞）上單调增，（*）即为g（lna+x-1）≥g（lnx），利用单调性得lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1恒成立，则lna≥（lnx-x+1） . 令h（x）=lnx-x+1，则h′（x）= -1，易得h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则h（x）≤h（1）=0，则lna≥0，得a≥1. 类似的，如果同构为右边为：aex-1+lnaex-1≥x+lnx，考虑构造函数m（t）=t+lnt，则m（aex-1）≥m（x），由m（t）在（0，+∞）上单调递增，可得aex-1≥x，分离参数a得a≥ 恒成立，则a≥ max.令n（x）= ，易得n（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则a≥n（1）=1. 此时，“同构”似乎成了一把利器，实现了所谓的“秒杀”.

通性通法如同内力的修炼，而“特法”“技巧”只是一些招式，若是过度地练习招式，不沉淀内功修为，则会陷入“走火入魔”的可怕状态. 在平时的解题教学中，通性通法虽慢，却处处彰显着数学思维的光芒. 学生在使用通性通法的过程中，思维可以不断得到螺旋式上升. 章建跃教授曾指出：注重通性通法才是好的数学教学. 因而我们在解题教学中应更注重转化化归的过程，注重知识方法的正向迁移，重视策略性知识，关注问题中的受阻之处、特殊之处、转化之处，站在通性通法的角度，高屋建瓴，纲举目张地看待问题，挖掘题中的规律，提炼出反映数学本质的东西，进行合理的解题规划.