自然、有序的平面及其基本性质的教学研究

何正能 李兴华

[摘  要] 教师告知式教学方式增加了学生学习平面的难度. 创设情境，使学生发现、提出问题等，明晰其意象，体会其基础性，了解公理（推理）之间的逻辑关系. 搞清知识的逻辑等级性是构建自然、有序的平面教学策略.

[关键词] 自然;有序;平面;基本性质;教学研究

引言

高一学生学习平面及其基本性质时，他们感到无趣和困难. 这一司空见惯的图形有什么研究价值，即存在学习动力问题. 学生学习平面的类比知识是直线的知识，但对直线的“直”的性质缺乏足够的认识. 因此，影响平面定义中的“平”的感知，即知识基础存在缺陷;生活中已经积累了一些关于平面的生活类、图形类的初步知识，如平静的水面、长方体的表面，而这些知识并没有进行真正的数学化，即经验成为学习平面内容的障碍，影响平面的无限延展性的感悟，等等. 这些是造成学生学习平面困难的原因之一. 当然，学生学习平面相关内容感到困难的主要原因是教师教学不当，采用告知式的教学方式，忽视了知识之间的逻辑性的揭示，造成学生感到本节内容多，没有头绪.

传统教学设计及缺陷

教科书给出的素材“广阔的草原、平静的湖面”给了我们平面的形象，和点、线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念.平面通常用平行四边形来表示，即当平面水平放置的时候，一般用水平放置的平行四边形作为平面的直观图[1].

传统教学根据上面的素材，实例引进，告知平面的含义及表示，电脑展示图形. 这一教学，学生并没有实现对实例的抽象，可以预测：学生学到的平面概念与理论上的平面概念是有很大差距的，导致学生后来难以画出符合条件的截面.对于公理及推论的教学让学生解读公理内容，然后用图形语言、符号语言表示，其结果是学生把学习它们的重点放在了记忆内容上，不能厘清知识之间的逻辑关系，感到知识杂乱无章，学习负担重. 因此，反思传统教学，对平面概念的教学必须进行补充，展示平面概念对公理及推论的作用，使学生对平面的概念有一个清晰的意象，为认识公理的合理性和逻辑性打下基础.

教学研究

1. 平面概念教学内容补充

平静的水面、光滑的桌面和长方体的表面都给人以平面的形象，但不能形成平面的无限延展的意象，而对平面的“平”的认识也局限于实物的“平”.将直线作为平面学习的类比模型，得出平面的含义，要求学生具有很强的空间想象和直觉思维能力.因为从直线“一维”到平面“二维”，需要抽象出对象的数学本质，这对高一学生来说思维跨度太大，能力要求过高，所以教学方式只能是告知式. “学生得到的只是静态的、僵化的、没有迁移能力和发展潜力的知识”.[2]为此教学中除了介绍上面的关于平面的生活类、图形类知识外，再动态展示平面的形成，因为运动的物体更能激发学生的注意和认知，有助于了解平面的“平”，揭示平面的构成要素，获得可发展的知识.

学生讨论：线由什么组成？平面呢？点沿一个方向运动成线，直线如何运动形成平面？让学生交流，如何运动直线形成平面？借助数学家傅里叶对平面的定义“平面由经过直线上一点且与直线垂直的所有直线构成”，可以使教学进一步深化，用几何画板展示图1.

“直线a在转动过程中始终与直线l垂直，又由于直线是‘直的，所以平面应该是‘平的;直线是无限延伸的，所以平面是无限延展的.”[2]对数学史的应用，为课堂教学提供了素材，也为突破难点提供了帮助. 教学沿着数学家傅里叶探究平面的概念的足迹，学生的形象思维能力和抽象思维能力，直观想象能力和合情推理能力得到了培育，也使数学核心素养得到落实.

尽管上面傅里叶的平面定义有助学生理解平面的本质，但定义远离学生的认知：为什么过一点与一条直线垂直的所有直线在一个平面内？这对学生的直观想象是挑战. 因此让学生想象利用水平放置的相交直线，如何构造平面？

多媒体展示：平移直线m，使得直线m和始终直线n相交，形成一个平面，更有利于学生直观感受平面的“平”和无限延展性，而且是更为精致的感受，也为平面的图形表示奠定了基础，并且认识到所画的平行四边形表示的平面是局部的.

学生的学习必有历史的再现，数学史给人以教学智慧，对历史进行必要的改造，使之更符合学生的认知，需要创新使用数学史，使教学进一步深化.

2. 平面基本性质的教学研究

为了揭示平面概念对公理及推论的奠基作用，教学从平面的概念出发，引导学生发现和研究公理1至公理3及推論，教学自然、有序，思路清晰.充分发挥汉语这一载体对思维的引领作用，使得符号语言呼之欲出，避免告知学生图形语言和符号语言，使学生感到不自然.

（1）对公理1的传统教学改进.

既然认为平面是由直线运动而成的，那么直线和平面的位置关系是什么？学生归纳直线和平面的位置关系：线在平面内和不在平面内并用符号表示，很容易理解符号表示，因为平面是由直线构成的. 那么如何判定直线在平面内呢？学生能够发现公理1的条件和结论.这里学生的思维省略了直线的“直”和平面的“平”性质的考量. 为什么直线上有两点在平面内，就可以推导出直线上所有点在平面内？

学生对公理的内容进行深入思考，以汉语语言为思维媒介，特别是，对公理1的条件和结论的辨认，图形语言、符号语言表示公理1就水到渠成了. 形成三种语言之间的一一对应，体会数学语言的简洁. 而真正确认公理1的关键是平面“平”的性质. 如图3，在公理1的符号表达“A∈αB∈α？圯AB？奂α”的前面增加“由于α是平面”，更显推理的逻辑性.进一步，如图4，如何说明直线l在平面α内？体现认知的渐进性和严密的逻辑性.

（2）对公理2教学的深入研究.

公理2是本节课最重要的内容，它是画出两个平面的交线和证明多点共线问题的理论基础. 传统教学教师示范有余，学生思考不足.没有引导学生根据实例概括出公理2，缺乏对其表达的合理性和精确性的思考过程，导致很多学生不能建立公理2的准确意象，作出的相交平面缺乏立体感等缺憾. 因此，必须引导学生参与公理探究，利用平面概念发现、理解公理. 纠正学生对相交平面错误的理解，增强公理的理解程度，让学生画图，巩固公理.

为什么强调两个平面有一个公共点，而不是说它们有无数个公共点？从数学对象判定的可操作性，当然期望无限化为有限，但条件必须是等价的，而两个平面有一个公共点和有无数个公共点是等价的. 另外，从学生学习来看，给他们的探究提供素材，激发学生思考.探讨是否就是一个公共点，如何说明还有其他公共点？

教学中，教师用手头30°角的三角板放置在桌面内，告知学生平面无限延展，所以两个平面有无数个公共点，其组成一条直线，这个推理是不严密的. 事实上，是平面的“平”保證公共点组成一条直线. 因此，教师让学生讨论下列问题：三角板ABC表示一个平面ABC，其与桌面表示的平面α有一个公共点A，那么平面α和平面ABC是否就只有一个公共点？学生很容易想到有无数个公共点，但对公共点的属性是模糊的. 引导学生用反证法说明，如果公共点组成的图形不是一条直线，那么与平面的“平”存在矛盾，因此公共点组成的图形是一条直线.

H.Wu指出，“数学并不停止于实验，而必须把它与理性的解释联系起来：在这些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍的理论？这些事实能否被纳入某一统一的数学结构？”这就要求教师在引导学生观察实验的同时，也要进行必要的理性思考，不应满足实验所得的结果，而应该把它作为认识更为广泛的数学结构的基础.

教学中有学生给平面相交下的定义为：“两个平面把空间分成四个部分，这两个平面相交.”处理方式是肯定学生思维的创造性，让学生发现其不合理的成分.

引导学生思考，研究直线和平面的位置关系时，用点来定义它们的位置，因此平面与平面的位置关系也可以采用点来刻画. 让学生知道用已知的概念定义未知的概念是必要的，定义中的“空间、部分”是一个未知的概念，不能用它来定义平面相交;只能用点、线和面来定义两个平面的位置. 由此学生通过纠错体会到数学概念构建的逻辑方法，更新了观念.

对两个平面相交的画法教学，让学生想象图形构成的要素：两个平面，其特点是有且只有一条公共直线. 学生思考的是：先画一条直线，然后画过直线的两个平面;还是先画一个平面，然后在平面内作一条直线，再画一个经过该直线的平面？想到平面用平行四边形表示，画出两个平面相交是容易的. 例如，先画一条直线a，然后作出有一组对边与直线a平行的两个平行四边形，调整图形，直到大多数学生画出自己认为立体感好的图形为止.展示学生的图形，让其辨别、感受，吸取他人的长处，这是培养学生直观想象和数学抽象的途径. 给学生画图的机会，使他们爱画图，对自己画图有信心. 少展示电脑画图，因为电脑展示图形标准、漂亮，容易使学生产生要求完美而达不到的自卑，这可能是日本中小学数学教师很少使用多媒体快速地显示实践过程的原因吧[3].

（3）公理3、推论的逻辑性及教学研究.

它们涉及确定平面的条件问题.为了揭示这一部分内容严密的逻辑关系，展示自然、有序的教学内容，从整体到局部，采用这样的过渡性语言：刚才两个公理揭示了已知平面的情况下，来研究平面与平面及相关要素之间的关系，那么如何找到一个平面？

学生找到确立平面的条件：画两条相交直线，画两条平行直线，画直线和直线外一点，画不共线的三点.

这四个条件的关系是什么？它们是等价关系.这里只有两条平行直线与其他三个条件的等价关系不明显.让学生选择，把哪一个作为已知条件. 学生经过讨论，把不共线的三点作为公理，其他作为推论，因为条件简单，当然要与教科书吻合.

由于公理1教学中，学生对“有且只有”的含义认知，因此理解“经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面”是容易的.

初中的三角形是在平面内研究的，而不在同一直线上的三点与一个三角形的三个顶点一一对应，由此得出：经过不在同一直线上的三点，有一个平面. 那么是唯一一个平面吗？通过几何画板作图，如图2，说明是唯一一个平面.

下面可以让学生判定“如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合”这一论断是否正确. 体现数学语言的精确性，也体现立体几何公理与代数中相等关系的对应.

公理是数学家规定的、公认的规律，但学生不是数学家，他们对公理的学习，必然重复前人走过的弯路，体现公理形成的历史路径. 由于学生的学习主要是继承行为，没有时间重复前人的研究，因此，公理教学也要讲究“道理”，避免重犯前人的错误而浪费时间. 让学生认识公理的合理性和必要性，培养逻辑思维的习惯，这是立体几何起始课的重要教学目标. 学生由前面学习奠定的心理基础和学习经验，推论教学便水到渠成.

（4）公理1、公理2和公理3逻辑关系的分析.

公理3是基础.只有对确立平面的条件有了深刻的认识，研究公理1、公理2才有理论基础. 因此，教材的公理呈现顺序改为“公理3—公理2—公理1”[4]，更显逻辑性、科学性.

自然、有序的教学构造策略深刻理解教材的知识体系，搞清楚本源知识和再生知识之间的联系，强调本源知识对再生知识的理论奠基作用，教学中要努力向学生展示知识的逻辑链条，使每个相关的知识都被构造在这个链条的相应位置，形成知识整体的“序”，从而不至于忘记其中的部分.

强调知识逻辑的等级性：一级逻辑等级、二级逻辑等级和三级逻辑等级. 一级逻辑等级指元认知数学知识的逻辑，教科书展示知识研究逻辑. 如几何知识，实例抽象出几何研究对象、定义几何对象、表示几何对象、研究构成几何对象及其相关要素之间的关系，在实际中检验和完善对几何对象的理解，这也是科学研究的步骤. 二级逻辑等级指几何概念、几何性质、解决问题三者之间的关系，这一等级往往更体现知识的逻辑性，课堂上要将重点呈现给学生. 三级逻辑等级指具体的命题、公理、定理等的条件和结论之间的逻辑关系，体现清晰的逻辑性，是思维的载体. 教学中教师要从一级逻辑等级出发，帮助学生了解研究科学的一般思路，自主发现具体研究内容及逻辑关系，善于用符号表达内容的条件和结论之间的关系，从而学生可以在高观点下理解教材，把握构建知识的逻辑思维，如此课堂教学将显得自然、有序，学生学到的知识是灵动的、包容的、发展的知识，学习不会感到困难、无趣.

参考文献：

[1]  单墫. 普通高中课程标准实验教科书（必修2）[M]. 南京，江苏凤凰教育出版社，2007.

[2]  胡浩. “平面”教学设计的理性突围——兼谈原始概念的教学[J].  数学通报，2019，8（1）.

[3]  代钦. 2021年日本《初中数学学习指导要领》评价[J]. 数学教育学报，2018，27（4）.

[4]  中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 人民教育出版社，北京.