缺失数据环境下汇率序列的潜变量Metropolis-Hastings算法及触发式理财产品定价

2021-06-19 07:54董艳

工程数学学报 2021年3期

董艳

(陕西铁路工程职业技术学院基础部，渭南 714000)

1 引言

在众多行业里，不间断地连续营业是不现实的，金融业亦是如此，从而许多金融数据，常常出现数据缺失现象.图1 给出了2018 年9 月20 日至9 月27 日的欧元兑美元汇率的开盘价，由于周末不开盘，出现了48 小时的数据缺失.符合此情形的案例还有很多，国内上交所和深交所各种股票和指数均在周末和节假日闭盘.

图1 2018 年9 月20 日至9 月27 日的欧元兑美元汇率

数据的缺失不但会影响投资者对市场的判断，还给金融序列的预测增加了难度.虽然一级市场上的金融活动在闭盘期间已经停止，由于次级市场受监管的程度较小，其金融活动仍持续进行，且此部分数据并不能被有效搜集.文献[1,2]已经证实忽略缺失值、仅采用营业时间获取的金融数据进行估计常常会低估波动率.这提示我们必须采用某些缺失值的替补方案进行插值.

当前可用于缺失数据替补的方法有很多，总体来看，主要包括均值替代法[3-5]、聚类分析法[6,7]、关联规则法[8,9]、阀值填补法[10]、回归填补法[11]以及多重插补方法[12].但综合分析这些方法，仍然存在以下几个问题：第一，大多数方法，没能考量填补数据对总体分布的影响，如均值替代法和基于线性回归的填补方法；第二，有些方法对基于特定的分布的样本数据有效，将其推广至时间序列是困难的，例如聚类分析法和关联规则法.

目前，基于贝叶斯的马尔科夫链蒙特卡罗(MCMC)抽样方法的时间序列研究是统计学的热点之一.文献[13]利用二项算子并结合MCMC 模拟研究了一种推广的ARMA 过程.文献[14]采用数据扩充法、切片抽样法以及MCMC 方法，给出了具有稳定分布噪声的ARMA 模型更为简洁、有效的贝叶斯建模方法.文献[15]则用MCMC 模型选择考察了ARMA 模型的阶数问题.在工程实践方面，文献[16]通过收集1994 年第1 季度至2009 年2 月10 日的国际原油Brent 价格的时间序列数据，并对其建立了ARIMA(p,d,q)模型.在ARMA 模型参数估计上，文献[16]在Winbugs 软件平台上运用MCMC 方法进行了参数估值运算，得到Brent 原油季度价格ARIMA(1,1,1)模型的模拟结果.

基于以上分析，本文提出一种潜变量Metropolis-Hastings(M-H)抽样方法、在缺失数据情形下，研究ARMA 汇率模型的参数估计问题，该方法综合考量了填补数据对序列分布、自相关性的影响.模拟结果表明：相比于传统Gibbs 方法，潜变量M-H 方法产生的抽样序列不存在波动聚集现象.

2 汇率模型及假设

本文考察挂钩于汇率的触发式理财产品定价问题.假设汇率过程xt遵循

其中r0表示汇率长期水平，汇率的对数序列yt具有均值为0，且有ARMA 模型形式

这里m0=m2-m1, m2＞m1.考虑时间序列模型的稳定性，假设|φ|＜1，并且模型的先验分布设置如下：

1) 假设自回归系数φi(i=1,2,··· ,p)和滑动平均系数θi(i=1,2,··· ,q)服从(-1,1)上的均匀分布，那么它们的密度函数为

2) 假设随机误差项的方差σ2～IGA(α,β)，即σ2服从参数为α和β的逆伽马分布，其密度函数为

同时，为了方便论述定义随机误差项

其中

考虑到当t=m1+1,m1+2,··· ,m2时，yt为缺失值，从而在公式(7)—(8)用et和εt区别对待随机误差项.这也意味着中间m0个缺失值ym1+1,··· ,ym2可以采用下面的公式插补

3 数据插补和后验分布

本节在构造一种潜变量数据插补方法之后，分析相应的共轭后验分布，以便之后进行M-H 抽样.注意插补数据的目的并不是预测单个缺失值，而是预测缺失数据所服从的分布.通过数据的插补，既要克服数据缺失带来的不便，同时又不能改变原有的数据分布.据此，本文依据文献[17]构造潜变模型，采用潜变量方法弥补缺失部分对应的随机误差项

则全数据似然函数为

它满足

其中

接下来，构造参数φ, θ, σ2的后验分布，并根据此后验分布获取参数的Gibbs 抽样序列.已知时间序列{y-p+1,··· ,y-1,y0,y1,y2,··· ,yn}和各个参数的先验分布后，由贝叶斯定理可得参数的后验分布为

其中ηk表示参数向量η={φ,θ,σ2}中的任一参数.下面不加证明地给出潜变量情形下的几个有关后验分布的结果，其证明过程可以类推不附加潜变量情形的证明[15,17]，这里不再赘述.

推论1 设φ-i表示自回归系数向量φ除去φi以外的部分，i=1,2,··· ,p，则其后验条件分布满足

其中

推论2 在假设(5)下，白噪声的方差σ2的先验分布共轭，且

在接下来的章节中，将采用基于潜变量M-H 抽样的MCMC 算法研究汇率序列的参数估计.

4 潜变量M-H 抽样

考察Markov 链抽样序列的平稳性，如果具有转移矩阵P和分布π(φi)的Markov 链对所有的状态θi, θj满足下面的等式

上式称为细致平衡方程，此时该马氏链的分布π(x)是平稳的.

那么

本节采用独立Markov 链，其转移概率与当前状态无关，则

从而自回归系数的MCMC 采样方法分为以下几个步骤：

则公式(2)可以写成

定义序列

从而，公式(15)可以写成向量形式

获取先验分布为IG(α,β)的参数的初始值

其中ei,-1= 1/e, i= 1,2,··· ,m1,m2,m2+ 1,··· ,n, εi,-1= 1/εi, i=m1,m1+1,··· ,m2.本节以零均值的ARMA(p,q)为例，给出基于M-H 抽样的潜变量MCMC 模拟算法的步骤：

步骤1 采用OLS 估计获取自回归系数、滑动平均系数以及随机误差项的初值

同时，获取一次随机误差项

5 触发式理财产品定价

在金融市场上存在许多理财产品，其中就包括触发式理财产品，例如见表1，其到期日的收益可以归结为如下公式

表1 挂钩于欧元兑美元汇率的触发式理财产品(起购金额：50000 元)

其中随机过程{xt,t ≥0}表示欧元兑美元的汇率，其随机结构见公式(1).

为了实现对理财产品进行价值分析，采用潜变量M-H 抽样方法获取汇率模型(1)的参数之后，对汇率的轨迹进行模拟.假定当前时刻为t时刻，理财产品在T时刻，将触发式理财产品剩余存续期(t,T]进行划分，即

其中dt表示1 天，与图1 中的时间间隔相同，并假设汇率在理财产品存续期内的预测轨迹为

其中下标j表示{xj(ti), i= 1,2,··· ,n}对汇率的第j条轨迹模拟，从而触发式理财产品在到期日的第j次模拟结果表示为

依据风险中性测度定价方法，收益为(18)的触发式理财产品在当前时刻t的价值满足

其中r表示银行的无风险利率，E[·|Ft]表示关于当前时刻σ-代数的条件期望.注意t0=t, tn=T，从而当M足够大时，采用矩估计方法可得触发式理财产品的一个估计

6 仿真分析

为了考察缺失序列MCMC 估计方法的有效性，本节考察ARMA 序列，将MCMC 方法和传统的OLS 方法进行比对分析.实验环境为Windows XP 系统，Intel(R)Core(TM)i7-6700K @4.00GHZ，内存16.0GB.本节的模拟计算采用编程软件R3.4.2.

6.1 数值比对

设定p=q= 1, φ1= 0.8, θ1= 0.5, σ= 0.1, m1= 100, m2= 150, n= 500，在样本数据实验中学者们常常采用Gibbs 抽样完成MCMC 模拟.遗憾的是，金融市场中的序列(例如汇率、股票以及指数的历史数据)往往存在异方差效应，Gibbs 抽样依据这些历史数据的后验分布进行采样，所获取的模拟序列也通常具备波动率聚集现象，这违背了Gibbs 抽样算法关于抽样序列的平稳性假设.为了说明这一问题，我们考察ARMA(1,1)序列，设置模型常数项c= 0，其R 语言模拟的AR(1)序列见图2.将模拟结果的中间去除视为缺失数据，其模拟结果见图3.

图2 ARMA(1,1)序列

图3 数据缺失情形下ARMA(1,1)序列

考察传统的Gibbs 抽样方法.自回归系数φ1的Gibbs 抽样序列见图4，可以看出抽样序列出现了波动聚集现象.由于MCMC 法要求抽样序列平稳，这显然与MCMC 方法的基本原理不符.

图4 自回归系数φ1 的Gibbs 抽样序列

接下来，考察基于潜变量M-H 抽样的MCMC 算法的模拟效果.注意由于传统的Gibbs 抽样在模拟ARMA 序列时产生了异方差效应，这不符合MCMC 算法的模拟条件，这里主要模拟潜变量M-H 方法的抽样参数序列是平稳的，这意味着针对ARMA 序列潜变量M-H 方法有更好的适应性.同时也比对模拟潜变量M-H 方法比传统的OLS 方法精度有所提高.

采用传统的OLS 方法、Gibbs 抽样方法以及M-H 抽样方法进行AR MA(1,1)序列的参数估计，结果见表2.在M-H 抽样运算中，首先对每个参数进行2500 次的预迭代消除初值对模拟结果的影响.从图5、图6 及图7 可以看出M-H 抽样获取的Markov 链趋于平稳，说明M-H 抽样估计的结果收敛.