求解非线性方程组的信赖域算法

唐江花

(安徽新华学院 通识教育部，安徽 合肥 230088)

非线性方程组的求解在金融、贸易、航空航天、工业、计算机等领域中有广泛的应用，在这些领域中所遇到的非线性规划问题都可以转化为非线性方程组的求解问题.非线性方程组的求解实际上就是从众多解中寻找最优解，例如研究问题解的最优条件、解是否存在以及复杂性等，这种最优化理论也叫作“数学规划”，在实际生活中是一门应用性较强的学科[1-2].非线性方程组中的最优化解法在工作和生产实践中应用到的频率很高，实际的工作中算法结构复杂，变量众多，具有规模大、结构复杂的特点，如果将其完全转换为线性问题，得到的结果会远远脱离实际情况.因此非线性方程组的求解问题也成为人们重视与研究的问题，将具有上述特点的问题描述成非线性方程函数，并在一定的非线性约束条件下寻找其最大或最小解，成为了解决该类问题的最优方法.

但是传统求解非线性方程组的算法中，虽然最终得到的非线性方程组的解比较准确，但是求解过程中迭代次数过多，导致运算的时间较长，因此本文提出一种求解非线性方程组的信赖域算法.信赖域算法是一种重要的优化算法，它起源于线性规划，最早应用在无约束的优化问题中，其最大的特点是确定步长的方法，传统步长确定方法一般为线性搜索，但是信赖域算法是通过求解信赖域的子问题，初步得到试探步长，并根据实际的计算函数的下降量情况对试探步长进行判断[3-4].本文将这种算法应用到非线性方程组的求解过程中，以期能够简化传统算法求解过程，提高非线性方程组的求解效率.

1 求解非线性方程组的信赖域算法

1.1 建立信赖域算法模型

对于非线性方程组：

F(x)=0，

(1)

(2)

信赖域不要求Hessian矩阵在每个迭代点处均正定，因此，试探步不成功时，可以加入二阶校正步，沿着试探步的方向，利用固定步长公式产生步长，因此，当试探步长为lk且在信赖域内时，可设置当前迭代初始点为xk，且在以该点为中心，半径为λk的闭球邻域内，在步长迭代过程中需要有一自然数ζk且存在‖lk‖<ζk，用评价函数决定lk是否被接受，当试探失败，信赖域的半径会缩小，试探成功半径将视具体情况增大或保持不变，这就是改进之后信赖域算法子问题中的非单调技术[5-6].信赖域算法的模型问题为：

(3)

(4)

在求解非线性方程组的过程中，利用目标函数及其相应的导数函数信息在Hessian矩阵中构造近似序列[7-8]，并对由该公式生成的目标函数的曲率近似进行修正.在保持矩阵序列正性的同时，也考虑了边值问题的正解存在性，有助于克服详细数值的奇异性.至此，完成了信任域算法模型的建立.

1.2 收敛性分析

在收敛性的讨论与分析中，首先进行假设，待研究的函数F(x)是二阶连续可微，并且和矩阵JacobianJ(x)是连续的[9-10]，那么存在：

‖J(y)-J(x)‖≤L1‖y-x‖ ‖F(y)-F(x)‖≤L2‖y-x‖，∀x,y∈Rn,

(5)

式中，L1与L2为正常数.根据式(5)可知：

‖F(yk)‖=‖F(xk+dk)‖≤‖Fn+dk‖+L1‖dk‖2≤‖Fk‖+L2‖dk‖+L1‖dk‖2,

(6)

式中，dk为连续收敛系数.在上述的情况下，产生的迭代序列存在：

(7)

根据以上条件，可以得到收敛函数：

(8)

(9)

(10)

为了证明假设正确，需要证明：

(11)

(12)

2 仿真实验

2.1 实验设计

为了验证本文提出的求解非线性方程组的信赖域算法的有效性，需要设计实验，对算法的性能进行测试.选取以下金融案例作为研究对象：

某金融投资者想要进行长期投资，因此选择5支目前业绩较好的股票型基金A、B、C、D、E进行组合投资.在进行投资之前，对选择的5种股票型基金进行市场分析，并得到统计预测的相关数据如表1所示.

表1 5种股票型基金的数据统计预测

在实验过程中，假设5种股票型基金的购买金额占所有投资中的占比分别为xA、xB、xC、xD、xE，那么交易成本可以表示为：

ci(xi)=0.002xi+0.002(1-e-xi),

(13)

(14)

式中，rp表示投资组合中的预期收益；Q表示协方差矩阵；V表示投资风险.在计算机中，使用软件Matlab分别对本文算法和传统算法进行编写，并设定算法中相关参数的值，令η1的值为0.000 1，η2为0.56，β1为0.27，β2为0.7.在软件中，可以将上述的相关问题模型带入具体数值：

(15)

根据分析可知，该模型为凸规划，因此可以将上式转化为非线性方程组问题.并分别使用本文设计的信赖域算法和传统算法进行求解.按照上述的实验方法，选择相似的非线性案例进行求解，并将两种方法的求解结果进行统计与分析.

2.2 实验结果对比与分析

分别得到两种求解算法的计算结果，如表2所示.

表2 计算结果对比分析

从表2中可以看出，利用本文设计的算法和传统算法得到的3个案例的求解结果基本相似，验证了本文算法的准确性和可靠性.

为了证明本文算法在求解的过程中能够表现出优异的性能，对两种算法在实验过程中得到的相关参数进行统计，如表3所示.

表3 计算过程参数对比分析

从表3可以看出，在相同的测试环境下，3个不同的案例中，本文算法的迭代次数都是相对传统算法更少的，CPU时间方面也更加省时，得到的函数值也更为精准.

3 结 论

在非线性方程组现有解法的基础上，对求解非线性组的信赖域算法进行了进一步探讨.以非线性方程为基础建立信赖域模型，在其中融入改进了的非单调技术，在每一次的计算过程迭代中，完成信赖域子问题的分析与求解，分析了设计算法的全局收敛性.并在仿真实验的3个案例中，验证了本文算法的可靠性和性能优越性.

本文虽然取得了一定的成绩，但是由于水平和时间的限制，还有很多不足之处，例如，算法的收敛性分析方面，只能在理论上证明算法具有收敛性，且应用的是反证法，但是对于收敛速度无法进行量化计算，这一问题在今后的研究中具有重要的理论意义和应用价值，也是今后对于非线性方程组求解方法研究的重要方向.