高等数学课程教学中的三维延伸

张宏伟　李栋浩　呼青英

摘  要：文章提出在高等数学课程教学中应对教材内容、文化内涵和课堂时空方面进行三维延伸，以克服传统教学的局限，利于学科融合和学生知识提升、人文精神培养及实践与创新能力的发展。

关键词：高等数学课程;教学;三维延伸

中图分类号：G640 文献标志码：A         文章编号：2096-000X（2021）04-0117-05

Abstract： In this paper， we propose that three dimensions in the teaching of advanced mathematics should be expanded， which are the contents in textbooks， cultural connotation and the time and space of classes. In this way， some limitations in traditional teaching can be overcame. Besides， the extension is beneficial to subject integration， students' gaining more knowledge， cultivating and practicing students' humanistic spirit， and improving their creativities.

Keywords： Advanced Mathematics; teaching; three dimensions extension

一、概述

高等数学课程是高等院校理工类、经贸管理类和其它相关专业的一门重要的基础课程，它在后续的专业课程学习中起着至关重要的作用，它为后续课程的学习既提供了必要的理论基础，也提供了一个重要的工具。因此，各个专业都非常重视高等数学课程的教学。但这种重视大都体现在对高等数学知识的掌握上，定理的证明、公式的运算和解题方法成为很多高等数学教师的教学重点，而对教学材料背后的社会意义、德育涵义却极少认真思考，或者说只认识到了知识与技能，更少考虑过程与方法，几乎没有认识到高等数学中的情感态度与价值观目标。这与我国义务教育课程标准中提出的“三维目标”有较大距离，所谓的“三维目标”，即知识与技能目标、过程与方法目标、情感态度与价值观目标，它们构成目前我国义务教育新课程改革的核心理念，也逐渐被基础教育界所认可及应用实践，这是因为，该目标不仅关注了学生知识与技能的掌握，又关注了学生学习过程和学习方法的形成，还更深远、更本质的关注了学生情感、态度与价值观的发展[1]，这里不多陈述。但“三维目标”的理念在高等数学教学中鲜有提及。本文无意讨论“三维目标”，但提出了高等数学教学应进行三维延伸。

高等数学课程一般在大学一年级开设，这时的学生刚开始进入大学还未能适应大学数学的特点，仍然沉浸于高中大杂烩式+解题式数学学习中无法自拔，还拘泥于教材内容、围绕着课堂知识，处于课后完成作业就不知道干什么的状态，甚至还希望像中学一样有机械重复的、拘泥于书本的静态练习，因而作为重要基础课之一的高等数学教学就显得尤为重要，但高等数学课程所包含的内容广而杂， 又是后续课程学习的基础，对大一新生而言，这是非常困难的事情。传统的高等数学教学模式中，教师作为课堂的主角无论在教学内容的计划还是在课堂教育活动中，都占据着绝对的主动优势，而学生则被动地听讲，死记硬背一些定义、定理和公式，使高等数学脱离生活实际，这样围着教材转的教学，也会使学生感到枯燥，无兴趣可言，学生领会不到高等数学的真正含义，会扼杀学生思维的火花，个性不能得以张扬。由于课堂教学为主是高等数学教学的主要特点，以考试为主是高等数学的主要评价手段，因此学生会感觉无法通过实际生活发现数学问题，学生的动手能力、实践能力也会较差，甚至许多学生即使学完高等数学也觉得学数学没有什么用，这种教学和评价使学生的创新意识和创新精神培养更无法得到充分的重视[2]。因此，在高等数学教学中，进行教材内容、文化内涵和课堂时空的延伸是必要的。本文试图对高等数学教学中教师如何进行上述三维延伸进行分析，以克服传统教学的局限，利于学科融合和学生知识提升、人文精神培养及实践与创新能力的发展。

二、延伸教材内容，以利学科融合、知识提升

高等数学教材内容是教学中最重要的知识和文化信息载体，也是教师教学、学生学习的中介，但目前现行大部分高等数学教材内容以介绍知识为主，教师课堂教学也遵循教材内容以学生掌握知识为目的，把教学重點放在定理的证明、公式的运算和解题方法方面，学生学习则是死记一些定义、公式定理，学习结果也以教材内容的卷面考试成绩为主。这种单纯的数学知识教学和学习使许多教师和学生误以为成绩好就是学好了高等数学，这其中注重理论、逻辑完美的教材内容在一定程度上起了误导作用。作者认为，在目前教材不可能进行大幅度修订的情况下，教师教学过程中除了我们通常的对具体内容进行延伸，如对概念的正反两个方面、对特例进行补充外，还可以从以下两个方面进行一定的内容延伸，以利于目前大多数学校应用型人才培养，提高不同学科的融合度，拓宽学生的知识水平。

首先，教学内容在满足基础知识需求的同时，又要满足专业上应用的需要，加强与其他学科的融合，为学生进一步的专业学习提供辅助，传播数学思想。一方面可以删除较为繁琐的定理证明和理论推导，可以采用几何图示说明或用语言进行描述，还可以尝试用计算机处理问题或演示，只要能突出数学的思想方法或者突出数学知识在专业上的应用;另一方面要主动的建立高等数学内容和专业课内容之间的联系，尽力去分析和解决专业课中可能遇到的问题。比如，引入概念时，尽可能选取与专业背景有关的案例，布置习题时，也要尽可能配备一些与本专业有关的问题和习题。特别是应用型大学高等数学的教学要更注重应用性，更多的剖析实际问题的解决过程，重视工程知识背景的介绍及方法应用，要从学生的专业需要出发，针对不同专业的自身特点和研究对象的差异及需求，合理制定不同专业高等数学课的教学内容的深度和广度。另外，由于科技进步、生产力的发展，教师在讲课时要对许多数学公式、方法和理解进行相适应的修正和完善，这样，不仅可以改进传统的照本宣科的教学模式， 还可以提高学生的学习热情，这也必须对教学内容向学生的专业合理延伸。例如，对材料类专业，讲完定积分内容后，可以结合材料力学简单介绍分数阶微积分及其简单历史;对生物专业，讲完微分方程以后， 可以介绍生物种群动力模型等一系列模型，还可用微分方程模型分析新冠状病毒感染人数的变化规律等等，从而如何探寻控制手段和方法等;对经管类专业，可以讲连续复利问题，依次讲年复利、月复利、周复利、日复利、小时复利直到连续复利，讲完导数的最值， 可以讲费用存储优化、森林救火等有关极值的数学模型等。

其次，教学内容应讲清数学理论的历史及方法的来源，唤起学生的数学应用的意识。事实上，大部分数学理论的出现都是为了解决实际问题，讲课中，就应当适当还原该理论形成的历史，从而将学生带入到实际的问题中，学生通过经历实际问题的解决过程和数学思考模式就会真切感受到数学的魅力，也才能真正的理解数学方法。托普利茨（O.Toeplitz）提出的发生教学法就是把历史的发展作为教学指南，从而在教学中根据重构历史，这种重构既不遵循严格的历史顺序，也不过分追求概念的精确性或夸大严格的演绎方式，而是深入到数学概念的背景解释和应用中去，使数学概念对学生真正有意义[3]，进而培养学生会用所学的数学知识去分析问题和解决问题的能力，形成用数学的意识。托普利兹的微积分教材就遵循了微积分历史发生的顺序，将定积分放在微分学前面讲，因为历史上定积分的研究就早于微分学，积分来源于应用，而且积分相对于微分学比较容易理解，该教材在讲微积分在运动中的应用时也以物理学中人们对于运动规律的研究历史为主线。[3]

当然，进行教材内容的延伸要讲究方法策略，只能适当延伸，要充分考虑学生的接受程度和课时允许范围内，要以教材为参考重新组织内容，多用一些参考书和资料，对教学内容进行合理布局。这种延伸无疑对教师提出了更高的要求，要求教师有充足的知识和能力储备，对数学史有充分的理解，对不同学科、不同专业有足够的了解，能构造足够多的教学案例，而且这些案例还要符合这些学科、专业的需求，是理论联系实际的。特别是在教学过程中引入的工程实际问题应该是恰当的，不能牵强附会，还应能对引入的问题结合教学内容进行分析，这实际上是对教学内容进行重构，要架起高等数学和专业的沟通桥梁，同时也需要教师站在一定的高度对数学史进行凝练[4]，这些都对教师提出了较高的要求。

三、延伸文化内涵，以利科学、人文精神培养

由于大家普遍认为高等数学仅仅是其他学科、专业的工具，再加上传统高等数学教学又以课堂教学为主，因此，许多学生甚至教师认为高等数学与人文精神毫无关系，从而认为高等数学知识无国界，没有人文价值取向，也不存在意识形态问题，这种认识使得高等数学教学对提高大学生整体素质教育的功能进一步削弱，因此，如何培养学生的科学人文精神成为数学教育德育功能中的一个崭新课题，近些年来，我们才逐步认识到高等数学教育中培养科学精神和人文精神是十分必要的。挖掘高等数学课程中蕴含的丰富的人文精神和科学精神已有许多探讨[5-9]，作者不准备过多讨论。本文仅就目前学时压缩的背景下，高等数学教学如何进行文化内涵延伸，教师在教学中如何自觉的将人文精神和科学精神的培养贯穿于高等数学课堂教学始终，做到数学教学与人文教学相通相融，进行一定的探讨。

作者认为，在高等数学教学中进行文化内涵延伸，应从讲课内容、教师自身和引导学生三个方面入手。

高等数学教材作为一门基础课程教材，为了体系和结构完整，它以数学的学术形态呈现出来，这没有任何问题。但教师不应只把教材当作唯一的课程资源，而应该从大学生已有经验、认知水平和情感需求出发，多维度建构文化内容以吸引不同背景学生，更深体悟数学本质与文化，教师可以去重构那些可以渗透数学文化的“教学点”（或者称为“数学文化点”）[10]，比如可以从数学学科自身的起源点、数学学科自身的胶着点、数学学科自身的发展点、数学学科自身的审美点及与其它学科的共通点、交融点等六个文化点去重构数学文化[11]。当然，这仅仅是从充实教学内容角度来看数学文化的内涵，还可以从更新教学理念以形成正确的数学教育观、倡导师生互动而开展研究型教学活动及改革评价方式来促进数学文化的渗透等方面进行探讨[12]。这些从教学内容及教学形式上延伸教学内容已经非常丰富了。但应当注意当前有很多教师或教科书在隐喻一种个人英雄主义的观念， 把科学发展描绘为科学家个人通过决定性的努力产生的结果，比如，许多教师讲课时或教材中经常说“牛顿和莱布尼茨分别独立的发明了微积分”等等，而这隐去了科学发展史中的人文性，它把开放多元的科学变得单一了[13]，事实上，除了要讲上面的内容，还要讲丰富多彩的科学，还应该介绍更多关于科学界和科学研究过程，以及科学家们如何就何为可靠的科学知识达成一致意见，这其中包括要融入科学家积极解释的声音。此外，应有意识增加教科书中科学资料、科学史等人文方面信息，在当前，这类知识通常不被重视，在教材和考试层面，科学课程仍呈现出学科内容占主导地位、“伴随含义”被严重边缘化的特点[14]。而且这种现象许多人根本没有意识到，它体现在许多方面，典型的像一些在中小学几十年的应用题：这个月产量多少，下个月多产多少，請问增长比例是多少？这种数学应用题背后的意识形态反映的是解放初期物质匾乏的现实基础，人们会希望在应用题中让大家感觉生产的东西越来越多，而在当前现实中，已经出现了很多的生产过剩的情况[15]。而这也正是在我们的高等数学教学中如何体现的文化内涵或者是意识形态问题。近些年来，高等数学课中许多教师已经注意加入数学史内容，但大多是点缀式或附加式的，如孤立的数学家图片或文字材料，与数学有关的历史故事照片、历史起源和背景，缺乏对数学史的全面运用，在运用数学史的水平上需要提高，比如，对数学史上的数学问题进行改变或用数学史上重要的思想方法编制适应当今社会情景的课堂教学问题几乎没有，特别是如何将数学史或数学文化的内容内化到课堂教学内容中去，而不是外在的或用数学文化来掩饰数学问题，将数学文化深度在高等数学知识中去深入探讨。

从教师自身方面看，除了对上述对教学内容的文化延伸外，还要丰富自己的人格魅力，给教学内容赋予感情，融进数学教师对人生和教学的体验、情感、理解、思考、志趣等。教师要通过师生交往过程中语言、活动以及其他各种形式所带来的“隐性”文化教育功能，从而使大学生在潜移默化的感染和熏陶中认知、认同和内化人文科学精神，达到“润物细无声”的境界。教学过程中，教师应该经常保持平和、乐观、愉悦的心境，给予学生适时、积极的心理暗示，善于运用各种激励性、鼓励性的语言或方式，多激励，少批评，培养学生的自信心。事实上，语言除表达之外，也具有诸多其他功能，它不仅可以表达讲话者身份、地位、态度、动机，还可以有他对事物的推断、判断与评价等功能，教师应以一种更互动、更适合培养学生积极性和参与性的语言进行教学[16]。比如，尽量不用祈使句，多用疑问句或者表达心理过程的语言，注意语言的平和性，“可以试试看”“估计一下这个值”，缩短师生间的心理距离，产生一种与教师交谈的欲望，注意语言的勉励性，对学生要及时赞赏，注意语言的包容性，采取宽容态度，例如“你的回答，令老师很受启发”“相信你一定能做对”“不要紧张，从头再来”等等，还要允许学生说错，允许质疑，允许保留，灵活性地运用认同、疑问、异议、讨论、争辩等语言形式，以友好合作的态度讲课。

高等数学的教学通常非常注重推理和分析，再加上有层次和有停顿的板书，这些会使得学生有时间思考且印象深刻。还要充分利用现代技术手段，比如，对有些多维复杂空间图形讲解费力且难以具体化，可以利用动感而漂亮的課件让学生有直观的认识和理解。教师条理清楚、一丝不苟的板书，体现了教师严谨的治学态度，有利于学生养成良好地学习习惯;制作精良、动感十足的课件，可以反映教师与时俱进的职业精神，有利于与学生拉近距离[17]。对于学生的作业，可以运用比直接打勾打叉批改作业的效果更好的方法，应该对学生的答案进行分步解析，对于解题正确的作业，可以加以肯定后再进一步提示是否有更好的解答，对一些不同的解答可以对分析过程和结果进行批注，对出现错误的解答，要告诉学生是错在哪里，原因在哪里，是知识掌握不好、是粗心还是方法错误[17]。

在具体教学实施中，高等数学教材内容延伸和文化延伸只是基本文化载体的延伸， 教师还要引导学生自主发掘其中的文化因素，使蕴涵的文化得到深化。比如学生完成作业之后，可以引导学生进行自我评价和反思，可以是数学概念的建构、解题规律、思维规律的总结，也可以要求学生对寻找解题的探究过程、运用前提形成假设的过程、交流与合作的过程、推理和计算的过程、使用技巧和手段的过程进行反思和自我评价，帮助学生形成积极地情感和态度。

四、延伸课堂时空，以利实践与创新发展

课堂时空的延伸是多方位的，除包括传统的课外预习、作业、辅导和课外活动外等，还应包括社会实践、上机、解决一个实际问题等，以利于培养学生实践和创新意识。

由于高等数学一般是一年级开设的课程，目前，大部分学生的预习或老师的辅导基本局限于对高等数学教材或课堂所讲内容，教材中的课后作业基本上是套用定义、定理和公式解决问题，现有教材中所谓的应用题实际也是套固定的方法解题，课外活动也几乎和数学无关，这对培养学生的数学应用意识与创新能力非常不利。为此，教师可以提出让学生查找下次教材所讲内容有关的材料并预习，特别是可以要求学生提前看该部分要讲的内容及其在所学专业应用的内容，当然这不能全部依靠高等数学教师，还需要熟悉数学在各个专业学科中的实际应用情况的教师进行配合，例如，讲梯度概念前，可以让学生查找等高线、等值面等资料;讲曲线积分和曲面积分前，可让学生先了解水汽通量、风通量、电通量、热通量、电磁波通量等的含义。

课后的作业、辅导及课外活动则更应多种多样，不拘一格。在一部分内容讲完后，在课堂教学的基础上，针对有些教材内容比较简单，不少内容未能说清楚道明白，有些内容潜在着一定的理论难题或牵涉到其他问题，教师除可以对教学内容做一些补充外，还可以给学生提供适当的参考文献，鼓励学生阅读讨论，也可以对作业的条件、结论或题型适当延伸，提出更高层次的问题，甚至可以给出一个猜测或错误的结论，留给学生课后深入研讨，鼓励学生撰写延伸性或总结性的小论文。这样可以有效地引导学生向课外延伸，使学生的知识面得到扩展，进一步激发学生的自学能力，以达到理想的教学效果。更进一步，还可以补充一些与教学内容相匹配的数学建模素材作为课后练习题，比如选取一些与其它学科相联系或从实际生活中采集来的开放性应用题，采用全国大学生数学建模竞赛的形式让学生独立或分组去解决问题，可以利用解析方法或者编程计算共同完成问题，然后，把用到的数学方法与手段、体会与见解写出来，与同学们分享让学生独立或组成小组利用解析方法或计算机数值计算共同完成，写出解决问题所用到的数学方法与手段，体会与见解[18]。还可以举办积极组织各种各样的科研活动或数学学科竞赛，教师应鼓励学生参与到教师的科研项目，做一些力所能及的工作，或者针对有一定应用背景的虚拟问题，甚至就是社会上的实际工程任务，让学生建立数学模型、提出解决方法、写出分析报告及改进报告，并提交有一定新意的研究论文，让学生通过实际来体验数学，感受到数学的应用，从而培养学生的好奇心、探索精神，培养学生探究与解决问题的能力[18]。

随着教学方法改革的不断深入，课堂时空的延伸还可以向计算机房、向网络空间延伸。事实上，目前，计算机辅助教学、慕课、翻转课堂等已成为数学教学改革的重要组成部分，许多学校也都设立了数学实验课程、开发慕课、线上线下课程等，这都是传统课堂的延伸。但高等数学日常教学中，这种延伸要恰当地引入，特别是可以利用教学软件辅助教学难点的理解，这些有利于加强工程数学的实践环节，比如，让学生课后运用数学软件比较数列的收敛速度、计算速度、计算面积等等，以便教学在应用型人才培养中取得更理想的效果[19]。此外，教师要提倡学生通过网络资源学习高等数学，网络教学资源的多样性、多元化、以及其不同侧面、不同形式和不同内容的教学，为高等数学教学的开展提供了丰富的内容，学生不仅可以通过网络学习知识，还可以一定程度上学习掌握网络技术，但教师也应注意防止学生网络学习造成知识的碎片化。

五、结束语

传统的教学延伸仅仅停留在问题难度的阶梯式递进，这已经不符合当前的社会现实要求，真正的延伸应当跳出这一思维，克服传统课堂教育的局限性不仅要求教师在教材、文化及课堂方面进行延伸，而且需要学校文化等方面予以配合。进行高等数学教学延伸要比传统的教学难度要大，需要教师“博学多才”，教师要具备丰厚的各种知识和科学的研究方法，还需要教师耗费更多的时间和精力，有更高的驾驭知识和课堂的能力。延伸也是多种多样的，教学中应把多种延伸作为教学策略的出发点，应不断挖掘更新颖、更有效的延伸策略。但也应注意切莫把延伸弄成空洞的新花样，否则会适得其反。

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基金项目：河南工业大学教改课题“高等数学教学中‘三维目标延伸的思考与实践”资助的部分研究成果（编号：26510052）

作者简介：张宏伟（1966-），男，汉族，河南扶沟人，博士，教授，研究方向：数学教学、非线性发展方程;呼青英（1966-），女，汉族，河南扶沟人，硕士，教授，研究方向：数学教学、非线性发展方程。