高中数学解题中变量代换法的应用研究

邹小明

【摘  要】数学作为高中教学阶段一种难度较大的学科，尤其是在解题环节，面对不同题型要运用不同的方法，对学生的知识储备、解题能力与思维水平要求更高，学生很难顺畅地完成解题任务。在解题教学中，高中数学教师可指导学生应用变量代换法，带领他们高效解题。笔者针对高中数学解题中怎么应用变量代换法进行了研究，并列举部分合理的应用方法。

【关键词】高中数学;变量代换法;教学方法

中图分类号：G633.6      文献标识码：A      文章编号：0493-2099（2021）13-0137-02

Research on the Application of Variable Substitution Method in High School Mathematics Problem Solving

（The Experimental School Affiliated to Beijing University， Longyan， Fujian Province，China）ZOU Xiaoming

【Abstract】Mathematics is a difficult subject in the high school teaching stage， especially in the problem-solving process. Different methods must be used in the face of different problem types. It requires students to have higher knowledge reserves， problem-solving ability and thinking level. It is difficult for students to complete the problem-solving task smoothly. In problem-solving teaching， high school mathematics teachers can instruct students to apply variable substitution method to lead them to solve problems efficiently. The author studied how to apply variable substitution method in solving high school mathematics problems， and enumerated some reasonable application methods.

【Keywords】High school mathematics; Variable substitution method; Teaching method

變量代换法是一种非常有效的解题方法，尤其是处理一些结构复杂、变元较多的数学问题时效果明显。合理代换能简化题目信息，凸显隐性条件，沟通量与量之间的关系，对发现解题思路和优化解题过程有着至关重要的作用。在高中数学解题教学中，教师可引领学生采用变量代换法，使其引入一些新的变量进行代换，帮助他们简化题目结构，提高解题技能。

一、运用三角变量代换法，帮助学生形成清晰的解题思路

三角变量代换法即为利用三角函数的性质，把代数或者几何问题转化为三角函数问题，以此寻求题目突破口的一种高效解题方法，而三角变量代换的实质就是换元思想的具体表现。高中数学教师在解题环节，可引导学生科学运用三角变量代换法降低题目的难度，使其形成清晰的解题思路，找准解题的关键点，让他们的解题步骤变得更加明朗。

比如，在实施“三角函数”教学时，教师设置以下题目：求函数[y=x-4+15-3x]的值域。解析：学生在处理该道题目时，通常思路为移向、平方、化简、再平方，过程比较复杂、不易解决，还容易出现错误。假如他们把原题转化成一个三角函数问题，运用三角变量代换法来求解，将会变得容易一些。解答：根据题目信息得知x-4≥0和15-3x≥0同时成立，将它们两个联立起来成为一个不等式组，解得4≤x≤5，观察x的解集，令x=4+sin2θ，（0≤θ≤π/2），则y=sinθ+[3]cosθ=2sin（θ+π/3），因为0≤θ≤π/2，所以θ+π/3∈[π/3，5π/6]，那么当θ=π/2时，y有最小值1，当θ=π/6时，y有最大值2，则y的值域是[1，2]。

二、采用函数变量代换法，真正达到化繁为简的目的

函数在整个数学知识体系中的重要性不言而喻，贯穿于初中与高中。其中初中阶段学习基本的函数知识，如正反比例函数、一次函数与二次函数等，步入高中阶段后，对函数概念进行重新升级，学生能接触到指数函数、对数函数、幂函数、函数与方程等知识。在高中数学解题教学环节，教师可引领学生采用函数变量代换法解决函数问题，通过代换把复杂的数学式子变得简单化，使其快速求出函数值，解决难点，还能用以处理一些复杂的函数证明题。

在这里，以“函数”教学为例，教师设计以下例题：已知f（x）是奇函数，x∈R，且f（x-2）=-f（x），f（1）=-1，（1）证明f（x+2）=f（x-2）;（2）求f（2001）的值。解析：（1）像这样的证明题可采用函数变量代换法，根据题目信息f（x-2）=-f（x），得出f（x）=-f（x-2），此时把x转变成x+2，把其带入式子f（x）=-f（x-2），就能轻松求出f（x+2）=-f（x），又因为f（x-2）=-f（x），所以f（x+2）=f（x-2）;（2）可以使用（1）的结论来解题，采用变量代换法把x换成x-2重新带入式子，能够得到f（x-2+2）=f（x-2-2），即为f（x）=f（x-4），那么f（2001）=f（1997）=……=f（1）=-1。这样解题不仅省时省力，而且正确率也比较高。

三、使用导数变量代换法，辅助学生解决复杂问题

在高中数学导数解题教学环节，列出导数表达式是解题的关键和核心所在，不过在实际解题中，由于受到多个方面因素的影响，学生难以顺利写出表达式。这时，教师可使用变量代换法，帮助他们处理复杂的导数问题，顺利列出导数表达式，使其解题能力得到锻炼与改善。

在展开“导数在研究函数中的应用”教学时，教师出示题目：已知函数f（x）=ax3-3x2，a∈R，如果在x∈（0，2]上，g（x）=exf（x）是单调减函数，那么a的取值范围是什么？解析：根据题目中的已知条件对g（x）展开求导，又因为ex>0，原式能够转化成ax3-3x2+3ax2-6x≤0在给定区间内恒成立，即a≤[3x2+6xx3+3x2]=[3x+6x2+3x] 在x∈（0，2]上恒成立，这时采用h（x）代换成 [3x+6x2+3x]后再研究。接着，对h（x）进行求导，在给定的区间内h（x）是单调减函数，可以轻松求出该函数的最小值是h（2）=6/5，所以a的取值范围为（-∞，6/5]。

四、利用不等式的变量代换法，促使学生简化计算过程

变量代换法，顾名思义是通过变量来进行代换，把復杂的数学问题加以转化，目的是便于求解，应用范围相当广泛，涉及证明计算、化简求值等各类题目。在处理不等式问题时同样能应用变量代换法，让学生简化计算过程，实现化难为易、化繁为简的效果。

在“不等式”教学中，教师可以呈现题目：已知m>1，n>1，p>1，证明[m2n-1+n2p-1+p2m-1]≥12。解析：这是一道典型的不等式证明题，通过观察、分析发现，如果直接展开证明难度较大，这就要把题目中复杂的信息通过变量代换法转变成简单的式子，再采用均值不等式慢慢解决。

证明：设x=m-1，y=n-1，z=p-1，那么m=x+1，n=y+1，p=z+1，由于m>1，n>1，p>1，则x>0，y>0，z>0，把x=m-1，y=n-1，z=p-1，m=x+1，n=y+1，p=z+1带入不等式的左边得到[（x+1）2y+（y+1）2z+（z+1）2x]≥ [（2x）2y]+[（2y）2z]+[（2z）2x]=[4xy+4yz+4zx]=4（[xy+yz4zx+zx]）≥4×3[xy?yz?zx]=12，得到[（x+1）2y+（y+1）2z+（z+1）2x]≥12，即为[m2n-1+n2p-1+p2m-1]≥12。由于本题无法直接使用均值不等式进行求解，所以解题的关键在于转化，利用变量代换法把原式转变成一个新的式子，由此借助均值不等式处理问题，优化解题步骤和流程。

五、结语

综上所述，在高中数学解题教学中，教师要意识到变量代换法是一种既常用又高效的解题方法，可以利用它指导学生处理一些难度较大、复杂多变的数学问题，帮助他们掌握变量代换法的精髓，使其灵活自如地处理题目，做到游刃有余和得心应手，逐步提高数学解题水平。

参考文献：

[1]邱进凌.代换法在高中数学解题中的灵活应用[J].科技视界，2014（27）.

[2]赵宏泰.论高中数学教学中学生解题能力的培养[J].新课程研究，2020（07）.

（责任编辑  王小飞）