极化码四阶核矩阵的构造

马奎明，李秀丽

(青岛科技大学 数理学院，山东 青岛 266061)

极化码是近年来备受关注的一种纠错码，是通过信道极化(channel polarization)，在编码侧使子信道呈现出不同的可靠性，当码长N持续增长时，部分信道将趋向于容量近于1的完美信道，另一部分信道趋向于容量接近于0的纯噪信道的新型编码方式。

极化码在理论上可用于任何具有低复杂度[1]的对称二进制离散无记忆信道，是目前唯一被严格证明能够达到信道容量的编码方式，与其他传统编码有较为明显的区别，可用于证明许多理论问题， 在无线通信中有广泛应用。

1 预备知识

记W:X→Y表示一般的二进制输入离散无记忆信道，其中X表示输入字符的集合，Y表示输出字符的集合。

定义1：如果存在一个置换π:Y→Y，对所有的y∈Y都有π(y)=π-1(y)且W(y|1)=W(π(y)|0)，那么称这个二进制输入离散无记忆信道(B-DMC)W:{0,1}→Y是对称的。如果对任意y∈Y有W(y|0)W(y|1)=0或W(y|0)=W(y|1)，那么称其为二进制删除信道(BEC)[5]。

对极化码的研究，还需要两个重要的信道参数：

对称容量：

巴氏参数：

这些参数分别被用作信道传输速率和传输可靠性的度量。I(W)是等概率情况下在信道W之间进行可靠通信的最高速率。Z(W)是信道W仅用于传输0或1时的最大似然决策下错误概率的上界。在上述公式中，均使用以2为底的对数，因此I(W)和Z(W)都取值于[0,1]。

其中，i=0,1,…,-1，且令Z(i)表示巴氏参数：

定义3[3]：对任意0

E(G)也称为矩阵G的指数。

指数的定义为极化码提供了在串行相消译码策略[7]下一个有意义的性能度量。事实上，指数与信道无关。指数E(G)也可以表示为W的距离的函数。

定义4[3]给定×阶矩阵偏序距离Di(i=1,2,…,)为

其中dH(…,…)表示汉明距离；是由gi+1,…,g生成的空间。

2 核矩阵的选择

在这一部分，主要讨论四阶核矩阵，换句话说极化码块长度为N=4n。

令W:{0,1}→Y是二进制输入离散无记忆信道，G是一个4×4阶核矩阵。给定4个二进制输入信道W(i):{0,1}→Y4×{0,1}i(i=0,1,2,3)如下：

Arikan[1]的研究表明对核矩阵G会有多种选择。显然，不同的核矩阵会导致不同的性能，因此有必要寻找一种策略来设计一个适合的有限块长度的G。对于任意的核矩阵都有一些通用的策略[8]，我们首先讨论如何从所有可能的核矩阵中选择一个好的。

2.1 极化率

Arikan[1]认为，矩阵G的指数越大，实现信道极化的程度越彻底，性能越好。因此，如果想找到块长度为N=4n时的最佳极化码，那么就需要找到指数最大的核矩阵。根据Arikan做的工作，当≤10时，不存在指数大于的矩阵。事实上，我们可以找到指数等于的四阶核矩阵。

证明首先考虑m=4的情况，这意味着最后一行的所有项都是1。xi是u0,u1,u2,u3的函数，因此用gi((u0,u1,u2,u3)G)[9]来表示W(yi|xi),i=0,1,2,3。那么

根据递归结构，有

这里⊕是模2的和。这个方程可以通过一个简单的例子来验证，例如N=4。

证明：

显然成立，证毕。

根据递归结构，有

如果W是BEC，等式成立。

证明：首先，给出对递归信道表达式有用的方程。

下面，使用不等式

当abcd=0或a=d或b=c时，等号成立。

=4Z(W)2-4Z(W)3+Z(W)4,

+(β0δ0+β1δ1+β1δ0+β0δ1)

+(β0δ0+β1δ1+β1δ0+β0δ1)

=4Z(W)-2Z(W)2。

3 结语

Arikan引入的核矩阵G2是唯一的，然而块长度为N=4n的极化码对G4有多种选择，因此其提供了很大的灵活性，但问题是如何找到一种策略来设计一个好的G4。当然，对齐为任意整数，且≥3所有G，都具有这样的特性。但是随着的增大，这个问题就越来越难解决了。因此我们关注最简单的情况，并提出从所有可能的G4中选择一个好的G4的策略。该策略基于的递归公式，因为这些公式直接决定了性能。然而，有些递归公式只提供了上限，而不是确切的值，如果信道W不是BEC，那么我们所做的只是一些近似的分析。