一类分数阶发展方程柯西问题mild解的存在性

陈 燕

(兰州交通大学 数理学院, 甘肃 兰州 730070)

0 引言

整数阶微分方程在很多学科领域中起着非常重要的作用,而相比于整数阶微分方程,分数阶微分方程由于它的记忆性和遗传性能更精确地描述实际问题.近年来,分数阶微分方程已被应用在很多学科领域,如粘弹性力学、分数物理学、动力系统控制理论、混沌与湍流、反常扩散、信号处理等[1-4].

因此,越来越多数学学者开始研究分数阶发展方程,进而其相关理论也越来越深厚.各类分数阶发展方程解的存在性和唯一性也受到了广泛的研究[5-9].

文献[10]利用预解算子族{Sα,β(t)}t≥0的性质研究了如下一类分数阶发展方程mild解的渐近性及可积性.

(1)

Caputo分数阶导数是在1967年由Caputo提出的,参见文献[11],它的定义如下:

本文将在Banach空间中研究下列分数阶发展方程

(2)

本文运用Laplace变换法、Banach压缩映射原理以及Shauder不动点定理等方法证明了该类方程mild解的存在性与唯一性.

1 预备知识

设(X,‖·‖)是Banach空间,B(X)是由X→X的所有有界线性算子全体构成的空间.C(J,X)表示定义在区间J上取值于X上的连续函数全体构成的Banach空间,其范数定义为

‖x‖C=sup{‖x(t)‖,t∈J}.

可测函数x:J→X称为Bochner可积,当且仅当t→‖x(t)‖是Lebesgue可积的.

L1(J,X)表示定义在区间J上取值于X上的Bochner可积函数全体构成的Banach空间,其范数定义为

且

则称A关于角φ是ω-扇形的.

定义1[10]设A:D(A)⊂X→X为闭的线性算子,1≤α≤2,且0<β≤2,如果存在ω≥0及强连续且指数有界的算子族

Sα,β:[0,∞)→B(X),

使得

{λα:Reλ>ω}⊂ρ(A),

对∀x∈X,有

(3)

及

(4)

则称A是(α,β)-预解族的生成元,称{Sα,β(t)}t≥0是由A生成的(α,β)-预解族,其中γ是合适的复路径.

引理1[10]设1≤α,β≤2,Sα,β是由A生成的(α,β)-预解族,则

(1)对∀x∈D(A),t≥0,有

Sα,β(t)x∈D(A),Sα,β(t)Ax=ASα,β(t)x.

(2)如果x∈D(A),t≥0,则

(5)

(3)如果x∈X,t≥0，那么

且

(6)

特别地,Sα,β(0)=gβ(0)I.

(7)

记

(8)

类似于文献[12],可以得到以下结论.

引理4设对于任意t>0,{Sα,β(t)}t≥0按一致算子拓扑连续,如果Sα,β(t)是紧的,则有

(9)

证明设‖x‖≤1,t>0以及ε>0.由于Sα,β(t)是紧的,则集

Wt:={Sα,β(t)x:‖x‖≤1}

也是紧的.那么存在一列有限族

{Sα,β(t)x1,Sα,β(t)x2,…,Sα,β(t)xm}⊂Wt，

使得对∀x,有‖x‖≤1,那么存在xi(1≤i≤m)，使得

(10)

由Sα,β(t)的强连续性,t≥0,知存在0

(11)

另一方面,由于Sα,β(t)按一致算子拓扑连续,所以存在0

(12)

因此,对0≤k≤min{h1,h2}以及‖x‖≤1,根据式(10)～(12)即得,

则对∀t>0,式(9)成立.

由引理4可以得出如下结论.

引理5设对于任意t>0,{Sα,β(t)}t≥0按一致算子拓扑连续,如果Sα,β(t)是紧的,那么有

(13)

证明设t>0且00,使得

‖Sα,β(t)-Sα,β(h)Sα,β(t-h)‖≤‖Sα,β(t)-Sα,β(t+h)‖+‖Sα,β(t+h)-Sα,β(h)Sα,β(t)‖+‖Sα,β(h)Sα,β(t)-Sα,β(h)Sα,β(t-h)‖≤‖Sα,β(t)-Sα,β(t+h)‖+‖Sα,β(t+h)-Sα,β(h)Sα,β(t)‖+M‖Sα,β(t)-Sα,β(t-h)‖.

由引理4及Sα,β(t)的连续性得该式成立.

考虑下面的分数阶线性发展方程

(14)

其中f(t)∈L1(J,X),对此方程两边做Laplace变换,左端为

则

整理可得

(15)

将式(4)代入式(15),可得

因此有

其中Sα,α(t)*f(t)表示Sα,α(t)与f(t)的卷积.

定义2如果函数u∈C(J,X)，对任意t∈J,有

(16)

则称u是方程(2)的mild解.

本文中,令r>0，为有限常数,记Br={u∈C(J,X):‖u‖C≤r}.

本文主要结论的证明要用到如下两个结论.

定理1(Shauder不动点定理)如果V是Banach空间X的一个有界凸闭子集,如果T:V→V是全连续算子,则T至少存在一个不动点x*,使得Tx*=x*.

定理2(Banach压缩射原理)设V是Banach空间X的有界闭子集,如果T:V→V满足∃0<α<1,∀x,y∈V,使得

‖Tx-Ty‖<α‖x-y‖,

那么T在X上存在唯一的不动点.

注:若存在自然数n使得Tn是X上的压缩映射,那么T在X上存在唯一的不动点.

2 主要结论

下面给出几个假设条件,以方便定理的叙述和证明:

(Hf)f:J×X→X满足:

(1)f(t,·):X→X对几乎处处t∈J连续,f(·,x):J→X对x∈X可测.

(2)存在函数φ∈L1(J,R+),使得‖f(t,x)‖≤φ(t),t∈J.

(3)f(t,x)关于x满足Lipschitz条件,即∃L>0,使得

‖f(t,x2)-f(t,x1)‖≤L‖x2-x1‖,∀t∈J,x1,x2∈X.

(HS):由A生成的预解算子族{Sα,β(t)}t≥0是紧的.

定理3假设条件Hf(3)满足,则方程(2)在区间J上存在唯一的mild解.

证明定义算子Q:C(J,X)→C(J,X),满足

(17)

显然u是方程(2)的mild解等价于u是算子Q的不动点.

∀u1,u2∈C(J,X),由Hf(3)及式(8)可得

累次使用该不等式可得

所以有

(18)

定理4假设条件Hf(1)、(2),HS都满足,则方程(2)在区间J上至少存在一个mild解.

证明如式(17),定义算子Q:C(J,X)→C(J,X).取r>0,满足

M1‖x‖+M2‖y‖+bMα‖φ‖L1(J,R+)≤r.

(19)

第1步:证明Q(Br)⊂Br.

对任意u∈Br,t∈J,有

(20)

由Hf(2)及式(8)可得

‖(Qu)(t)‖≤M1‖x‖+M2‖y‖+bMα‖φ‖L1(J,R+).

(21)

所以有

‖Qu‖C≤r.

(22)

第2步:证明Q是连续算子.

第3步:证明Q是紧算子.

首先证明对任意的t∈J,V(t)={(Qu)(t):u∈Br}是X中的相对紧集.显然,当t=0时,V(0)是X中的相对紧集.当t∈(0,b]时,对∀ε∈(0,t)及u∈Br,定义算子Qε如下:

(23)

对∀δ∈(ε,t),有

由引理5可得,对s∈[0,t-δ],当ε→0时,

Sα,α(ε)Sα,α(t-s-ε)-Sα,α(t-s)→0，

且有

(24)

由δ的任意性及控制收敛定理可得

(25)

另一方面,

因此,

(26)

那么,由完全有界性可得

在X中是相对紧的.这意味着存在一族相对紧集{Vε(t)}0<ε

下面证QBr是等度连续的.

∀u∈Br,0≤t1≤t2≤b,有

因此,由预解算子族{Sα,β(t)}t≥0的强连续性知,当t2-t1→0时,容易验证‖(Qu)(t2)-(Qu)(t1)‖→0,从而对t∈J,QBr是等度连续的.由Arzela-Ascoli定理可得Q为紧算子.由Shauder不动点定理知Q至少存在一个不动点,即方程(2)在区间J上至少存在一个mild解.