巧构“辅助圆”，妙解“最值”问题

文 殷 娟

许多同学在圆的学习中都会通过添加垂线段、连半径、连直径等进行解题，但在解决一些较难问题时，上述方法就起不了多少作用。而有时在图形中构造圆能获得意想不到的效果。下面就以几道例题和同学们一起分析如何用“辅助圆”来求解“最值”问题。

一、折叠问题中的辅助圆

例1（2019·江苏宜兴一模）如图1，在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，D是BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点。将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值是____。

图1

【解析】△DBE在折叠的过程中，满足DB=DB′，即点B′始终是在以点D为圆心，DB长为半径的圆上运动（如图2）。点A是圆外一点，由图1 可以看到AB′要取到最小值，则点A、B′、D必须共线。在Rt△ABC和Rt△ACD中易求得，则AB′的最小值为AD-DB′。

图2

【总结】折叠图形有“共端点、等线段”的特征，满足圆的定义。利用这一特征构造“辅助圆”，再利用“两点之间，线段最短”的原理便能很快找到对应线段的最值。

二、直角三角形中的辅助圆

例2（2017·江苏江阴一模）如图3，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为____。

图3

【解析】由∠APB为“直角”这个特征，联想到90°角所对的弦是直径，可以构造经过A、B、P三点的⊙M（如图4），半径为1。点P在⊙M上运动，PC的长度也随之不断变化。我们在运动中不难发现PC所在的直线经过圆心M时，可以取到最大或最小值。图4 中，；图5 中，PCmax=MC+MP。

图4

图5

【总结】直角三角形中，“定斜边、动直角顶点”的特征，满足90°的圆周角所对的弦是直径。以定斜边为直径构造圆能解决线段的最值问题。

三、定弦、定角中的辅助圆

例3（2020·江苏苏州工业园区一模）如图6，点D是等边△ABC内一点，且∠BDC=120°，则的最小值是________。

【解析】∠BDC=120°，BC为等边△ABC的一条边，如图7 可以构造经过B、D、C三点的⊙O。要求的值，从结构上来看，我们多半采用相似三角形中对应线段的比值来进行转化求解。延长AD与圆相交于点E，连BE（如图8），易知△ABD∽△AEB，故即。如图9 可知，当BE为直径时，在Rt△ABE中易求得。

图7

图8

图9

【总结】“定角、定线段”的结构特征可以与圆中“定角、定弦长”联系起来。

很多几何问题虽然看上去与圆无关，但是我们如果能结合条件补作“辅助圆”，便可使一些“最值”问题化繁为简，化难为易。