2021年高考数列考点预测

罗文军

2021年广东省实行新高考，从2020年新高考Ⅰ卷（山东卷）数学和新高考Ⅱ卷（海南卷）数学对主干知识数列的考查试题结构和分值分布规律可以预测，2021年广东省新高考对数列的考查以一道小题和一道大题的形式，总分值为15或17分，根据近几年全国课标Ⅰ卷数列考点分布来看，2021广东新高考数列的考点可能为等差数列通项与求和、等比数列通项与求和、等差数列综合问题、等比数列综合问题、等比数列与等差数列交汇問题和数列数学文化，以下笔者结合具体的题目进行分析.

例1. 数列{an}满足a1=5，an+1=an+lg（1+ ），则a10=_______.

【答案】6.

【解析】由题设可得，a2=a1+lg2，a3=a2+lg ，a4=a3+lg ，…，a10=a9+lg ，由累积法可得，a10=a1+lg2+lg +lg +…+lg =5+lg10=6.

【评注】本题考查的是数列综合问题，考查了数列的累积法和对数的运算性质，旨在考查数学运算和逻辑推理的数学学科核心素养.

例2.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现. 数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数. 具体数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和. 已知数列 {an} 为“斐波那契”数列，Sn为数列{an}的前n项和，则若a2020=p，则a2018=__________.（用p表示）

【解析】由题目可知斐波纳契数列的递推公式为an+an+1=an+2，所以an=an+2-an+1，所以前n项和Sn= ai= （ai+2-ai+1）=（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an+1-an）+（an+2-an+1）=an+2-a2=an+2-1，所以S2018=S2020-1=p-1.

【评注】本题是一道数列数学文化试题，以“斐波那契数列”为背景，考查了数列递推公式，旨在考查考生的阅读理解能力、逻辑推理和数学抽象的数学学科核心素养.

例3.（1）已知等差数列 {an} 的首项为1，且a1， a3， a9成等比数列，则下列说法正确的是（   ）

A. 数列 {an} 的通项公式为an=n

B. 数列 {an} 的前n项和为Sn= 或Sn=n

C. 数列 { } 的前n项和为Tn=

D. 数列   的前n项和Mn=2n 或Mn=（n-1）·2n+1+2

【答案】B，D.

【解析】设等差数列{an}的公差为d，由题设可得，a 23=a1a9，（a1+2d）2=a1（a1+8d），所以（1+2d）2=1+8d，解得d=0或d=1，

所以数列{an}的通项公式为an=1或an=n，故答案A错误;当an=1时，数列{an}前n项和Sn=n，当an=n时，数列{an}前n项和Sn= ，故B正确;当an=1时，数列{ }前n项和Tn=n，当an=n时，数列{an}前n项和Tn= ，故C错误;当an=1时，数列 的前n项和为Mn=2n，当an=n时，

Mn=1×2+2×22+3×23+…+n·2n……①

2Mn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1……②

①-②可得，-Mn=2+22+23+…+2n-n·2n+1，所以-Mn= -n·2n+1，

所以-Mn=2×（2n-1）-n·2n+1=（1-n）·2n+1-2，

Mn =（n-1）·2n+1+2.

【评注】本多选题是一道等差数列和等比数列综合问题，考查了等差数列的通项公式和前项和公式、等比数列的定义、裂项求和法和错位相减法，旨在考查数学运算和逻辑推理的数学学科核心素养.

（2）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺. 大鼠日自倍，小鼠日自半. 问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙. 大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”，则下列说法正确的是（   ）

A. 大老鼠打洞的尺数构成的数列{an}的通项公式为an=2n-1

B. 小老鼠打洞的尺数构成的数列 {bn} 的通项公式为bn=（ ）n-1

C. 如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则S4=16

D. 如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则S4=33

【答案】ABC.

【解析】大老鼠打洞的尺数构成了一个等比数列{an}，其首项为a1=1，公比q1=2，通项公式为an=a1q1n-1=2n-1，故A正确;小老鼠打洞的尺数构成了一个等比数列 {bn}，其首项b1=1，公比q2= ，其通项公式为bn= =（ ）n-1，故B正确;S4= + = + =16 ，故C正确;

则S5= + = + =32 . 故D错误.

【评注】本题以我国古代经典数学名著《九章算术》中的名题“两鼠穿墙题”为素材，考查了等比数列的定义、通项公式和前项和公式，考查了考生的阅读理解能力、运算求解能力、推理论证能力和综合思维能力，旨在考查数学运算、逻辑推理和数学抽象的数学学科核心素养.

（3）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列说法正确的是（   ）

A. 由图形可得三角形数构成的数列{an}通项公式为an=

B. 由图可得正方形数构成的数列{bn}通项公式为bn=n2

C. 289既是三角形数又是正方形数

D. 36既是三角形数又是正方形数

【答案】ABD.

【解析】由图1可得a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，所以当n≥2时，an-an-1=n，所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a2）+a1=n+（n-1）+（n-2）+…+1= ，经检验，a1也满足，所以三角形数构成的数列{an}通项公式为an= ，故A正确;由图2可得，b1=1，b2=4，b3=9，b4=16，所以正方形数构成的数列{bn}的通项公式为bn=n2，故B正确;a8=36，b6=36，故D正确;令bn=289，则n=17，所以289是正方形数，令an= =289，由于n∈N？鄢，无整数解，故289不是三角形数，故C错误.

【评注】本题以“毕达哥拉斯形数”为依托，考查了运用归纳法求数列递推公式和通项公式，考查了累加法求数列通项公式，考查了考生的运算求解能力和推理论证能力，旨在考查逻辑推理、数学运算和直观想象的数学学科核心素养.

（4）我国古代数学家程大位《算法统宗》中有问题“举取他绢”：举取他绢重作券，过限一日绢一尺，再过一日绢二尺.每多一日增一尺，有人过限百日整，应纳息绢几多尺？”译文为：债主拿借方的绢做抵押品，债务过期一天要纳利息1尺绢，过期两天利息是2尺绢，每天的利息比前一天增多1尺，过期100天，共纳利息多少尺绢？记每天纳的利息尺绢数构成数列 {an}，其前n项和为{Sn}，则下列说法正确的是（   ）

A. 数列 {an} 的通项公式为an=n

B. 数列 {an} 的通项公式为an=2n-1

C. 数列 {an} 的前n项和Sn=

D. 数列 {an} 的前n项和Sn=2n-1

【答案】AC.

【解析】由题设可得，每天纳的利息尺绢数构成的数列{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d=1，其通项公式an=a1+（n-1）d=1+（n-1）×1=n，其前n项和Sn= = ，故A，C正确.

【评注】本题是一道数列数学文化试题，以我国古代数学名著《算法统宗》中的“举取他绢”问题为背景，考查了等差数列的定义、通项公式和前项和公式，旨在考查数学运算、逻辑推理和数学抽象的数学学科核心素养，也考查了数学文化素养和创新意识与应用意识.

（5）《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈.”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数构成数列{an}，其前n项和为Sn，则下列说法正确的是（   ）

A. 数列 {an} 的通项公式为an= n+4

B. 数列 {an} 的前n项和Sn=

C. 数列 {an} 的通项公式为an=5n-4

D. 数列 {an} 的前n项和Sn= n2+

【答案】AD.

【解析】由题设知，该女子每天织布的尺数构成了一个等差数列{an}，其首项为a1=5，其前30项和为S30=390，则S30=30a1+ d=30×5+ d=390，解得d= ，所以数列{an}的通项公式为an=a1+（n-1）d=5+（n-1） = n+4 ，Sn= = = n2+ .

【评注】本题取材于我国古代经典数学名著《张丘建算经》，考查了等差数列的定义、通项公式和前项和公式，考查了运算求解能力、应用意识和数学文化意识，旨在考查数学运算、逻辑推理和数学抽象的数学学科核心素养.

例4. 已知數列{an}满足a1= ，an+1= .（1）证明{ }是等差数列，并求{an}的通项公式.（2）记bn= ，求数列{bn+ }的前n项和Sn.

【解析】（1）证明：对an+1= 两边同时取倒数得， = = +5，

所以 - =5，

所以{ }是一个首项为 =3，公差为5的等差数列，

所以 = +（n-1）d=3+（n-1）×5=5n-2，

所以数列 {an} 的通项公式为an= .

（1）bn= =5n-2，bn+ =（5n-2）+25n-2，所以，

Sn=（3+23）+（8+28）+（13+213）+…+[（5n-2）+25n-2]，

Sn=[3+8+13+…+（5n-2）]+（23+28+213+…+25n-2），

所以，Sn= + ，

所以Sn= n2+ n+ ×（32n-1）.

【评注】考查了取倒数的方法、等差数列定义，错位相减法求解，也考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.

例5. 已知等差数列 {an} 的前n项和为Sn，且a2+a7=24，S4=32.（1）求数列{an}的通项公式;（2）设 =2n+1，求数列{bn} 的前n项和Tn.

【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意a2+a7=24，S4=32，可得，2a1+7d=24，4a1+6d=32，2a1+7d=24，2a1+3d=16，解得a1=5，d=2.

所以数列 {an} 的通项公式为an=5+（n-1）×2，所以an=2n+3.

（2）由 =2n+1，得bn= = ，

bn= = （ - ），

所以Tn=b1+b2+…+bn

= [（ - ）+（ - ）+…+（ - ）]= （ - ）= .

【评注】本题考查了等差数列的通项公式、前项和公式和裂项相消法，旨在考查数学运算和逻辑推理的数学学科核心素养.

例6. 在① =- ，②an+1-an=- ，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的Sn存在最大值，则求出最大值;若问题中的Sn不存在最大值，请说明理由.

问题：设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=8，_________，求 {an} 的通项公式，并判断Sn是否存在最大值.

【解析】选①，因为 =- ，a1=8，所以数列{an}是首项为8，公比为- 的等比数列，

所以an=a1qn-1=8×（- ）n=2×（- ）n-3，

当n为奇数时，Sn= = = ×（1+ ），

因为 ×（1+ ）随着n的增加而减小，所以此时Sn的最大值为S1=8.

当n为偶数时，Sn= ×（1- ），且Sn= ×（1- ）< <8，

综上，Sn存在最大值，且最大值为8.

选②，因为an+1-an=- ，a1=8，所以{an}是首项为8，公差为- 的等差数列，

所以，an=8+（n-1）×（- ）=- n+ ，

由- n+ ≥0，解得n≤49，所以Sn存在最大值，且最大值为S49（或S48），

因为S49=49×8+ ×（- ）=196，所以Sn的最大值为196.

【评注】本题是一道数列开放性试题，需要先填空补充完整条件，如果选条件①的话，本题考查了等比数列的定义、通项公式、指数函数的单调性，考查了运算求解能力、推理论证能力和分类讨论思想;选条件②的话，考查了等差数列的定义、通项公式和前项和公式，考查了运算求解能力、推理论证能力;无论选①还是②，都考查了数学运算和逻辑推理的数学学科核心素养.

例7. 在数列 {an} 中，a1=1，a2=4，an+2=4an+1-3an-2n+1，

（1）证明： {an+1-an-n}为等比数列;

（2）求{an}.

（1）证明：由an+2=4an+1-3an-2n+1，得an+2-an+1-（n+1）=3（an+1-an-n），又a2-a1-1=2，所以{an+1-an-n}是首项为2，公比为3的等比数列.

（2）由（1）得，an+1-an-n=2×3n-1，所以an+1-an=2×3n-1+n，

所以，当n≥2时， （a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）

=（2+1）+（2×3+2）+（2×32+3）+…+[2×3n-2+（n-1）]

=2×（1+3+32+…+3n-2）+[1+2+3+…+（n-1）]

= + =3n-1+ -1，

所以an-a1=3n-1+ -1，an=3n-1+  ……①

當n=1，a1=1满足①，所以an=3n-1+ .

【评注】本题考查了等比数列的定义和前和公式、等差数列的前n项和公式和分组求和法，考查了分类讨论思想，旨在考查逻辑推理和数学运算的数学学科核心素养.

例8. 在①3S3=S2+S4，② = +5，这两个条件中任选1个，补充在下面的问题中，问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，______________，求数列 {an} 的通项公式;若bn=an+ ，求数列 {bn} 的前n项和Tn.

【解析】选①，设等差数列{an}的公差为d，由3S3=S2+S4，得3（3a1+ d）=2a1+ d+4a1+ d，将a1=2代入上式解得d=-3，

所以an=a1+（n-1）d=2+（n-1）×（-3）=-3n+5，所以bn=（-3n+5）+4-3n+5，

所以Tn=（2+42）+（-1+4-1）+（-4+4-4）+…+[（-3n+5）+4-3n+5]

=[2+（-1）+（-4）+…+（-3n+5）]+（42+4-1+4-4+4-3n+5）

= + =- n2+ n+ .

选②，设等差数列 {an} 的公差为d，因为 = +5，所以 - =5，

所以a10-a5=10，所以5d=10，所以d=2，

所以an=a1+（n-1）d=2+（n-1）×2=2n，

bn=an+ =2n+42n，

所以Tn=（2+42）+（4+44）+（6+46）+…+（2n+42n）

=（2+4+6+…+2n）+（42+44+46+…+42n）

= + =n2+n+ ×（16n-1）.

【评注】本题是一道开放题，无论选条件①还是条件②，都考查等差数列的通项公式与前项和公式、等比数列前项和公式和分组求和法，旨在考查了数学运算和逻辑推理的数学学科核心素养.

例9. 在①a1=1，a6=8a3，②a2=2，a5=16，這两个条件中任选1个，补充在下面的问题中，问题：在等比数列{an}中，_____________________，求数列{an}的通项公式，记bn=log2 an，记cn=anbn，求数列 {cn} 的前n项和Tn.

【解析】选①，设等比数列 {an} 的公比为q，因为a1=1，a6=8a3，所以q3=8，所以q=2，

an=a1qn-1=2n-1，bn=log2an=log22n-1=n-1，

记cn=anbn=（n-1）2n-1，

所以Tn=1×2+2×22+…+（n-1）·2n-1 ……①

2Tn=1×22+2×23+…+（n-1）·2n ……②

①- ②，得 -Tn=2+22+…+2n-1-（n-1）·2n，

所以，-Tn= -（n-1）·2n，

所以，Tn=2-2n+（n-1）·2n，所以Tn=（n-2）·2n+2，

选②，因为a2=2，a5=16，所以q3= =8，所以q=2，

所以a1= =1，an=a1qn-1=2×2n-1=2n，

所以bn=log2an=log22n=n，cn=anbn=n·2n，

所以Tn=1×2+2×22+3×23+…+n·2n，……①

所以2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1，……②

所以，①-②，得 -Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1，

所以，-Tn= -n·2n+1，

所以Tn=2-2n+1+n·2n+1，所以Tn=（n-1）·2n+1+2.

【评注】本题是一道开放题，无论选条件①还是条件②，都考查了等比数列的通项公式、对数运算性质和错位相减法，旨在考查逻辑推理和数学运算的数学学科核心素养.

例10. 设Sn为等差数列 {an} 的前n项和，已知S3=-15，S7=-7.（1）求 {an} 的通项公式;（2）求数列{ }的前n项和Tn.

【解析】（1）设 {an} 的公差为d，由题意可得，

3a1+3d=-15，7a1+21d=-7，解得a1=-7，d=2，所以an=a1+（n-1）d=2n-9

（2）an+1=2（n+1）-9=2n-7，

= = （ - ），

Tn= [（ - ）+（ - ）+…+（ - ）] .

【评注】本题考查了等差数列的概念、通项公式、求和公式及裂项求和法，考查了方程思想、化归与转化思想，旨在考查数学运算和逻辑推理的数学学科核心素养.

例11. 已知数列{an} 的前n项和为Sn，且Sn=n2+4n， （1）求数列 {an} 的通项公式;（2）求数列{ }的前n项和Tn.

【解析】（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+4n-[（n-1）2+4（n-1）]=2n+3，……①

当n=1时，a1=S1=12+4×1=5，也满足①式，

所以数列{an}的通项公式为an=2n+3.

（2） = = （ - ），

所以Tn= [（ - ）+（ - ）+…+（ - ）]= （ - ）= .

【评注】本题考查了数列{an}的通项与前n项和Sn的关系、裂项求和法，考查了分类讨论思想，旨在考查逻辑推理和数学运算的数学学科核心素养.

例12. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=6an+1，（1）证明数列{an+ } 是等比数列，并求数列{an}通项公式;（2）证明： + +…+ < .

（1）证明：由an+1=6an+1得an+1+ =6（an+ ），又a1+ = ，

所以数列 {an+ } 是首项为 ，公比为6的等比数列，

所以an+ = ×6n-1，所以数列 {an}的通项公式为an= .

（2）由（1）可知 = ，

因为当n≥1时，6n-1≥5×6n-1，所以 ≤ ，

于是 ≤ ，于是 + +…+ ≤1+ +…+ =

= ×（1- ）< .

【评注】本题考查了构造法、等比数列的通项公式、前n项和公式、放缩法，旨在考查逻辑推理和数学运算的数学学科核心素养.

责任编辑 徐国坚