高中数学数列通项公式的求解技巧

湖南人文科技学院数学与金融学院 曾伟华 龙承星

数列是一种特殊的函数，是反映自然规律的一种基本数学模型,是高中数学教学与高考考查的重要内容。数列通项公式an=f（n）表明了数列中项an与项数n之间的关系，对阐明数列整体结构及每一项的特点具有重要意义。

一、公式法

二、累加法

对形如an=an-1+f（n）型的递推式，我们能通过移项得到相邻两项的差为一个特殊的函数关系an-an-1=f（n），再用代入法将所有式子累加起来相互抵消，就可得到只含有a1、an的式子(在化解过程中，通常要使用等差数列求和、等比数列求和、裂项相消、错位相减等方法)，最后通过整理得出所求数列的通项公式。

三、累乘法

四、数学归纳法

通过计算数列的前面几项，再观察数列中an与项数n的关系，猜想数列通项公式的表达式，最后再利用数学归纳法来证明所猜想的表达式对任意项数n都成立，即所猜想的表达式为所求数列的通项公式。

五、对数变换法

解题分析：关于此类只含有乘法的递推公式，要想办法将乘法转化成加法，就可以运用取对数的思想，由此处理递推公式更容易构造特殊函数进行求解，该方法体现了算法思想和转换思想。此类方法的优点是将复杂的运算简单化，降低推理难度，不足之处是要求递推式左右两边只含有乘法运算，且取值范围大于零。

六、构造法

运用常用的构造引理构造新的数列求解，将陌生的数列转换为两类特殊的数列，再来进行处理。该方法就是不断地将“未知”转换成“已知”，极富技巧性和创造性，难度系数很高，难以把控，体现了转换化归的数学思想，有利于培养学生的创造性和发散性思维。

七、倒数变换法

对于分子简单而分母相对复杂的等式分式，可以考虑等式两边同时取倒数，再分离常数，构造新的等比数列来过渡，从而得到数列通项公式。要注意的是分母不能为零，遇到特殊的就需要进行说明。

本文总结了七种求解数列通项公式的方法，其中，公式法中体现了分类讨论思想，数学归纳法体现了由特殊到一般的思想和归纳总结的数学思想，累加法、累乘法、构造法、对数变换法和倒数变换法则体现了转化划归思想，特征方程法与导数积分法体现了函数与方程思想、转换思想。由此可以看出数列通项公式的求解考题之灵活多变，所以数学方法的积累和数学思想的培养及其重要，希望老师和学生都能在这方面多下功夫，提高自身的数学素养。