细观尺度下考虑湿热载荷联合作用的Mindlin层合板稳定性分析

张大千，齐 琦，梁豪豪

(沈阳航空航天大学 航空宇航学院，沈阳 110136)

随着对微器件研究的逐步深入，越来越多的微观实验证实[1-3]，当构件的尺寸处于微/纳米量级时，试件尺寸减小，其强度、刚度等力学性能指标明显增大，该现象被称为材料的尺度效应。常规的宏观理论无法解释此现象，因此，科研人员提出了偶应力理论。

1963年，Mindlin[4]首次提出了经典偶应力模型，该模型中应变张量对称，曲率张量不对称，并引入一个细观材料尺度参数。由于其曲率张量的非对称性，故将经典偶应力理论应用于实际工程中具有一定困难。2002年，Yang等[5]提出修正偶应力理论，通过重新定义曲率张量，使应变张量与应力张量对称，方便了该理论的工程应用。2006年，Park等[6]建立了修正偶应力Bernoulli-Euler梁模型；2008年，Ma等[7]建立了Timoshenko梁模型；2009年，Tsiatas[8]建立了Kirchhoff板模型；2011年，Ma等[9]基于修正偶应力建立了Mindlin板模型。然而，Yang等提出的修正偶应力理论仅适用于各向同性材料，对各向异性的复合材料层合板并不适用；2012年，Chen等[10]提出了新修正偶应力理论，该理论将曲率张量定义为非对称张量，但应变张量和偶应力张量是对称的，推导出的本构方程能够用于各向异性材料；基于该理论，Roque等[11]研究了简支层合Timoshenko梁的弯曲问题；Mohammad等[12]研究了层合Euler-Bernouli梁和Timoshenko梁的屈曲问题；贺丹等[13-14]对层合梁的自由振动问题进行了分析；2016年，陈万吉等[15-17]对复合材料Mindlin、Reddy层合板进行了稳定性分析。

以上研究没有考虑湿热状态下复合材料层合板的尺度效应。本文以新修正偶应力理论为基础，建立细观尺度下Mindlin层合板的湿热稳定性模型，设定纳维叶解法的位移函数，对细观尺度下Mindlin层合板进行了湿热稳定性分析，并研究了Mindlin层合板的尺度效应。

1 新修正偶应力Mindlin层合板湿热稳定性模型

1.1 新修正偶应力理论

2012年Chen等[10]提出了新修正偶应力理论，第一次将偶应力理论应用到各向异性材料。该理论将偶应力力矩张量对称化，其应变、曲率及本构关系定义为

(1)

式(1)中，i,j=x,y；εij为剪应变张量；εkk为正应变分量；ui、uj和uk为位移张量；σij为应力张量；mij为偶应力张量；χij为曲率张量；ωi为转动位移张量；eijk为置换张量；λ和G为拉梅常数；δij为克罗奈克符号；li和lj为材料尺度参数，是材料细观尺度下夹杂或缺陷的尺寸的度量，由实验测定。

1.2 Mindlin层合板的位移、应变和本构方程

在整体坐标系下，Mindlin层合板模型的位移场[9]为

(2)

式(2)中，u、v、w分别为层合板内任一点沿x、y、z轴的位移；u0、v0为相应的中面点沿x、y轴的位移；θx、θy分别为绕y、x轴的转角。

由式(1)，得到转动位移为

(3)

式(3)中，ωx、ωy、ωz分别为绕x、y轴的转动位移。

在工程记法中，Mindlin层合板的应变和曲率张量表示为

εx=u,x，εy=v,y，γxy=2γ12，χx=χ11，χy=χ22，χxy=χ12，χyx=χ21

在湿热载荷作用下，在材料主方向上，层合板的应变分量为

(4)

式(4)中，α1、α2分别为沿坐标轴1、2方向的热膨胀系数；β1、β2为沿坐标轴1、2方向的湿膨胀系数；ΔT为温度的改变量；C为吸水浓度。

曲率分量表示为

(5)

式(5)中，ωx,x、ωy,y表示偶应力的剪切效应引起的沿两个坐标轴方向的扭曲曲率，ωx,y、ωy,x表示偶应力的剪切效应引起的沿两个坐标轴方向的翘曲曲率。

考虑湿热载荷时，整体坐标系下的层合板第k层的本构方程为

{σk}=[Qk]{εk}

(6)

其中，

(7)

(8)

[Qk]=[Tk]T[Ck][Tk]

(9)

式(6)～(9)中：σk、εk、Qk分别为层合板第k层应力矩阵、应变矩阵以及坐标转换后的刚度矩阵。

(10)

式(10)中：Cij为刚度系数[16](i，j=1,2,4,5,6)，kb和km分别为绕纤维和基体方向转动的细观材料参数。

(11)

坐标转换矩阵Tk[16]为

(12)

(13)

式(13)中：m=cosφk，n=sinφk，φk为第k层的铺设角。

1.3 新修正偶应力Mindlin层合板的虚功原理以及湿热稳定性

由虚功原理可知

δU-δW=0

(14)

式(14)中，δU为内力虚功；δW为外力虚功。

对于有n层铺层的Mindlin层合板，有

(15)

(16)

令

(17)

代入(15)，则有

(18)

将(16)、(18)式整理后代入(14)，可推导出平衡方程。

(19)

在湿热载荷作用下，相对于板的横向位移w，膜向位移u0,v0是小量，即方程中可忽略u0,v0，并假设fu=fv=fcx=fcy=0。将式(7)～(9)代入(6)后得到的表达式代入(17)，整理后代入到(19)，得到湿热稳定性的方程为

(20)

式中

(21)

(22)

正方形方板四边简支时，边界条件为

(23)

根据Navier解法，满足全部边界条件的位移函数为

(24)

将式(24)代入式(20)，得到在湿热载荷和轴向载荷共同作用下的平衡方程

(25)

其中

(26)

(27)

由公式(25)可求得在轴向载荷N1和湿热载荷N2共同作用下的Mindlin层合板的失稳临界载荷。当=0时式(25)可退化为经典理论下的湿热稳定方程。

2 算例

算例1选取铺设角为[90/0/90]和[0/90/0]的四边简支方板。其中板厚h=2×10-5m，边长L=10 h，材料常数E2=6.98×109Pa，E1=25E2，G12=0.5E2，G22=0.2E2，v12=v22=0.25。其中下标1和2分别代表了纤维和基体的方向，并且每一层的材料属性都相同。热膨胀系数α1=10×10-6/℃，α2=25×10-6/℃；湿膨胀系数β1=0/%H2O，β2=0.44×10-6/%H2O。为了分析尺度参数(10-6m)、温度(ΔT)和湿度(C)对失稳临界载荷的影响，针对不同的，ΔT，C的值，计算了单向轴压下四边简支方板的失稳临界载荷并与经典理论做对比，见表1和表2。(表中位移模数m=1，n=1)。

表1 铺设角为[90/0/90]四边简支方板在不同环境状况下失稳临界载荷随尺度参数的变化

表2 铺设角为[0/90/0]四边简支方板在不同环境状况下失稳临界载荷随尺度参数的变化

表3 铺设角为[90/0/90]四边简支方板失稳临界载荷随温度的变化ΔT的变化(=0,C=0%)

表3 铺设角为[90/0/90]四边简支方板失稳临界载荷随温度的变化ΔT的变化(=0,C=0%)

温度ΔT/℃0100200300失稳临界载荷N22 667.8 27 386.832 098.1 36 807.8

(1)由表1和表2可知：在相同环境状况下，随着材料尺度参数的逐渐增大，四边简支方板的失稳临界载荷逐渐增大，且均大于经典理论下的失稳临界载荷，证明了尺度效应的存在。

(2)由表1～表4可知：当尺度参数为定值时，温度与湿度的单一变化或联合作用都对失稳临界载荷存在一定影响，且温度对失稳临界载荷的影响大于湿度的影响。

表4 铺设角为[90/0/90]四边简支方板失稳临界载荷随湿度C的变化(=0, ΔT=0 ℃)

表4 铺设角为[90/0/90]四边简支方板失稳临界载荷随湿度C的变化(=0, ΔT=0 ℃)

湿度C/%0135失稳临界载荷N22 667.8 22 675.522 690.9 22 708.0

(3)对比表1和表2，图1和图2可知：铺设角度不同，失稳临界载荷不同，且在不同环境状况下，层合板以[90/0/90]角度铺设的失稳临界载荷均大于以[0/90/0]方式铺设。

图1 失稳临界载荷随温度的变化(=0,C=0%)

图2 失稳临界载荷随湿度的变化(=0,C=0%)

算例2 本算例的材料常数与算例1相同，温度ΔT=100 ℃，湿度C=1%。取不同的材料尺度参数，计算了铺设角为[90/0/90]和[0/90/0]在不同轴压作用下的失稳临界载荷随跨厚比L/h的变化。从图3、4中可以看出：(1)随着跨厚比的逐渐增大，新修正偶应力理论下的失稳临界载荷逐渐减小且均大于经典偶应力理论，证实了尺度效应的存在；(2)材料尺度参数越大，临界载荷所受影响越大。

图3 铺设角为[90/0/90]时四边简支方板在不同轴压作用下的失稳临界载荷随跨厚比L/h的变化

图4 铺设角为[0/90/0]时四边简支方板在不同轴压作用下的失稳临界载荷随跨厚比L/h的变化

3 结论

本文基于新修正偶应力理论推导出了在湿热环境中Mindlin层合板的稳定性模型。应用解析法分析了湿热条件下Mindlin层合板的稳定性和尺度效应。结果表明：

(1)在湿热载荷下，失稳临界载荷均大于经典理论下的失稳临界载荷，证明了尺度效应的存在；材料尺度参数越大，尺度效应越明显。

(2)失稳临界载荷直接受温度变化和吸湿浓度的影响，其数值随着温度变化与吸湿浓度的大小成正比。

(3)跨厚比对失稳临界载荷也有较大影响，随着跨厚比的逐渐增大，失稳临界载荷逐渐减小，尺度效应逐渐减弱。

(4)Mindlin层合板在湿热环境中的铺设角不同，相应的失稳临界载荷也不同；[90/0/90]铺设角的层合板失稳临界载荷总是大于[0/90/0]铺设角的层合板的相应值。