一类摩擦振子现象的研究

史雨川，樊代和,b，刘其军,b，贾欣燕,b，魏 云,b

(西南交通大学 a.物理科学与技术学院，四川 成都610031； b.物理国家级实验教学示范中心(西南交通大学)，四川 成都611756)

摩擦振子(Friction oscillator)的研究是第33届IYPT的竞赛题目之一，具体内容为：1个大块的物体被放置在2个相同的平行水平圆柱体上. 2个圆柱以相同的角速度旋转，但方向相反. 题目要求研究物体在圆柱体上的运动如何依赖于相关参量[1].

与摩擦振子相关的研究已有报道. 李鑫等通过Algodoo仿真软件探究了摩擦振子的运动规律，运用理论分析和模拟验证,得到了运动所依赖的参量与轮轴间距、摩擦因数及初始位置有关的结论[2]，但没有对理论结果进行实验验证. 袁路奇研究了摩擦振子系统中摩擦力产生的不同方式，得到了摩擦振子在振动中摩擦因数不停变化的结论[3]. 秦琅研究了一类非线性摩擦振子的周期运动，得到系统随参量改变具有不同类型周期运动的结论[4]. 杨绍普等研究了存在黏性阻尼时摩擦振子的运动状态，给出了纯滑动的精确解，并得到振动幅值的解析表达式[5]. 本文对IYPT赛题要求的摩擦振子现象进行理论和实验研究. 通过建立模型并做受力分析，得出了摩擦振子运动的状态方程,通过实验研究证明了理论分析的正确性,仿真模拟了各参量对摩擦振子的运动状态的影响.

1 理论分析

如图1所示，假设一密度均匀、质量为m的长方体，放置于中心距离为S的2个直径均为D的圆柱上. 当2个圆柱分别以顺-逆或者逆-顺时针且以相同的角速度ω旋转时，长方体形成一类摩擦振子. 为了详细分析摩擦振子的运动情况，建立图1所示的直角坐标系，OC表示长方体的质心.

图1 摩擦振子模型示意图

1.1 圆柱1和圆柱2分别按照顺-逆时针旋转

当2个圆柱体以一定角速度ω旋转时，上方的长方体将做x方向的运动. 假设在某时刻t，长方体的质心OC偏离坐标原点的距离为x，如图2所示. 此时，在竖直方向上，长方体将分别受两圆柱所给支持力N1,N2以及重力mg. 运动过程中，长方体还将受到x方向的空气阻力f，以及圆柱体给的摩擦力fN=f1+f2.

图2 长方体运动过程中某一时刻的受力分析图

分别将圆柱1、圆柱2作为长方体的支点，则在长方体不倾倒(即长方体不倾斜脱离圆柱体)的情况下，根据力矩平衡，可得：

(1a)

(1b)

在水平方向上，由牛顿第二定律可得出长方体的运动方程为

(2)

长方体在运动过程中受到的空气阻力f与速度的平方成线性关系[6]，因此有

(3)

其中，η=CρA/2，C为垂直平面体空气阻力系数，ρ为空气密度，A为长方体迎风横截面积.

对本文的模型来说，木板在往复运动中速度不断变化，2个圆柱相对匀速转动，不会发生无滑滚动的情况，同时不考虑形变所致的滚动摩擦，即只考虑滑动摩擦[7]，则

fN=f1+f2=μ1N1+(-μ2N2),

(4)

其中，μ为滑动摩擦因数.

下面详细分析摩擦振子中长方体受到的滑动摩擦力fN. 一般情况下，可认为滑动摩擦因数μ是常量，但本文中滑动摩擦力是驱动长方体运动的关键量，且在实际情况下，滑动摩擦因数由于相对速度等的变化而改变，最终导致其具体表达式较为复杂. 受参考文献[8]的启发，假设长方体滑动摩擦因数与相对速度u之间具有线性关系:

μ=a+bu,

(5)

其中a和b为与物体表面性质有关的常量.

fN=μ1N1-μ2N2=

(6)

分别将(3)和(6)式代入(2)式，得到圆柱1、圆柱2分别按照顺-逆时针旋转情况下，长方体的运动状态方程为

(7)

1.2 圆柱1和圆柱2分别按照逆-顺时针旋转

此情形下长方体的运动过程与1.1情况不同之处只有摩擦力的方向发生改变，因此1.1情况中的(1)和(2)式以及长方体所受到的空气阻力(3)式在此情况下仍适用.

当圆柱1和圆柱2分别按照逆-顺时针旋转时，长方体受到的滑动摩擦力fN表达式为

fN=-μ1N1+μ2N2=

(8)

分别将(3)和(8)式代入(2)式，可得到当圆柱1和圆柱2分别按照逆-顺时针旋转时，长方体的运动方程为

(9)

2 实验探究

实验使用2个直径D=7.43 cm的圆柱,以及长度l=45.23 cm、宽度w=2.04 cm、厚度d=1.53 cm的长方体木条，组成摩擦振子系统.

2.1 测量圆柱与长方体之间的滑动摩擦因数

如图3所示，将两圆柱靠近并固定在一直线上，并用胶带固定圆柱使其无法转动. 再调节该直线与水平方向呈一定的角度θ，使长方体在圆柱上面自由滑落.

图3 测量滑动摩擦因数实验装置图

取木块运动的方向为z轴正向，根据简单的受力分析，可得到长方体下落的加速度为

(10)

由于圆柱被固定无法旋转，因此圆柱与长方体的相对速度即为长方体自身的速度，即u=dz/dt，结合(5)和(10)式，得出：

(11)

实验中，设置θ=30°，将长方体下落的过程拍摄视频，并利用Tracker软件逐帧分析视频，得到长方体质心随时间变化数据. 使用Matlab软件，利用(11)式对实验数据进行拟合，如图4所示，证明了(5)式假设的正确性. 同时，通过拟合实验数据，得到(5)式中与物体表面性质有关的常数值分别为a=0.266,b=-0.009.

图4 下落过程中长方体质心的变化

2.2 分析实验条件下的空气阻力系数相关常量η

垂直平面体空气阻力系数可认为C≈1.0[9]，空气密度为ρ≈1.3 kg/m3，长方体迎风面积为A=wd=3.12 cm2. 根据以上数据，计算得出η≈0.000 20.

2.3 圆柱1和圆柱2分别按不同方式旋转摩擦振子的质心变化

实验装置如图5所示，用绳索反向连接两圆柱，使两圆柱获得大小相等方向相反的角速度，用电机控制圆柱体的转速. 质量m=16.4 g的长方体放置于间距S=30.00 cm的两圆柱上，并设置圆柱体以ω=66.0 r/min旋转，从而驱使长方体运动. 此时，圆柱外围线速度为vr=ωD/2=0.257 m/s.

图5 摩擦振子实验装置示意图

对于圆柱1和圆柱2分别按照顺-逆时针旋转的情况，将长方体放置在两圆柱上，令x|t=0=4.00 cm，使圆柱开始旋转. 通过Tracker软件测量长方体质心随时间的变化情况，实验结果如图6所示. 实线是将上述各参量代入(7)式后得到的理论曲线.

图6 顺-逆时针旋转m=16.4 g时摩擦振子的质心变化

从图6中可以看出，长方体的运动轨迹近似为余弦曲线，但实际振幅在缓慢增大，即摩擦振子做振幅变化的往复振动. 从图6也可以看出，实验数据与理论分析得到的曲线基本吻合，证明了(7)式的正确性.

为了进一步证明上述理论分析的正确性，保持其他实验参量不变，仅改变长方体的质量为m=21.3 g，重复上述实验. 图7显示实验结果和理论曲线基本一致.

图7 顺-逆时针旋转m=21.3 g时摩擦振子的质心变化

选用m=16.4 g的长方体作为摩擦振子，在x|t=0=1.00 cm时，设置圆柱以ω=66.0 r/min开始旋转. 通过Tracker软件得到摩擦振子的质心随时间变化情况，结果如图8所示，实线是将上述已知参量代入(9)式后得到的理论曲线. 从图8中可以看出，实验数据与理论曲线吻合度较高，进一步证明了理论分析的正确性.

图8 逆-顺时针旋转m=16.4 g时摩擦振子的质心变化

同时，从图8中也可以看出，在圆柱1和圆柱2分别按照逆-顺时针旋转情况下，由于长方体运动过程中将不断远离两圆柱轴心位置，最终脱离圆柱系统，此时不存在振动现象. 本文重点研究的是摩擦振子现象，所以圆柱1和圆柱2分别按照逆-顺时针旋转这种情况将不再分析.

3 仿真模拟

上述实验结果已经证明了理论分析(7)式和(9)式的正确性. 当摩擦振子系统中某些参量变化时，长方体的运动状态也将随之改变. 受到当前实验条件的限制，采用控制变量法，基于理论结果对摩擦振子现象进行仿真模拟.

3.1 两圆柱轴线距离S发生变化时，摩擦振子的运动情况

图9 S取不同值摩擦振子的质心变化

从图9中可以看出，两圆柱轴间距S越大，则摩擦振子往复运动的周期就越大. 同时，随着运动时间的增加，两圆柱间距S越大，摩擦振子运动的振幅也越大.

3.2 长方体在具有不同滑动摩擦因数μ时的运动情况

由于μ中含有a和b参量，因此分析a和b单独变化时摩擦振子的运动情况.

图10 a取不同值摩擦振子的质心变化

在相同实验参量条件下，当固定a=0.266，仅改变b值时，根据(7)式可得到摩擦振子运动曲线如图11所示. 由图11可以看出，b值并不会影响摩擦振子运动的周期. 当b>0时，随着运动时间的增加，摩擦振子运动的振幅将迅速减少；当b<0时，随着运动时间的增加，摩擦振子运动的振幅将迅速增大；当b=0时，随着运动时间的增加，摩擦振子运动的振幅在短时间内基本保持不变，可认为长方体近似做简谐运动. 但是，即使b=0，随着运动时间的增加，实际上摩擦振子往复运动的振幅也将减小，仿真结果如图12所示. 这是由于空气阻力的存在，对摩擦振子运动造成了阻尼所致.

图11 b取不同值摩擦振子的质心变化

图12 b=0时，摩擦振子长时间运动质心的振幅变化

3.3 空气阻力系数η对摩擦振子运动的影响

保持上述各实验参量不变，仅改变(7)式中η的取值，摩擦振子的运动情况如图13所示. 从图13可以看出，空气阻力系数η的改变基本不影响摩擦振子的运动状态，即一般条件下的空气阻力对长方体运动的影响极其微小.

图13 η取不同值时摩擦振子的质心变化

3.4 当圆柱外围线速度vr变化时摩擦振子的运动

保持上述各实验参量不变，仅改变(7)式中vr的取值(即改变圆柱体运动的角速度ω)，摩擦振子的运动情况如图14所示.

图14 vr取不同值时摩擦振子的质心变化

从图14可以看出，vr的微小变化对摩擦振子运动的影响较小. 但随着vr的大幅度增加，摩擦振子质心运动的周期将稍变长，且随着运动时间的增加，摩擦振子质心的运动振幅也将增大.

说明：本文的理论模型，假设长方体只在水平方向上运动，但在实际运动过程中，长方体在竖直方向有微小幅度的振动，这会导致其受到的支持力产生变化，进而造成实验结果和理论结果的微小偏差. 此外，实验数据通过Tracker软件获得，软件分析的精确度也会导致实验数据与理论分析之间存在偏差.

4 结束语

对第33届IYPT赛题中摩擦振子进行了理论和实验的研究. 建立了摩擦振子的运动模型，通过对摩擦振子的受力和运动状态分析，从理论上得出了当圆柱体分别按照顺-逆时针和逆-顺时针旋转时，摩擦振子的运动状态微分方程. 实验搭建了摩擦振子系统，并对理论分析结果进行了实验研究，实验结果和理论分析基本一致.