摘 要:带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动是比较常见的考题.本文通过提出“圆心线”的概念,进行了根据半径相等、在圆心线上找圆心的尝试,以便寻找一种便捷的、可操作性强的、通用的解题方法.
关键词:带电粒子;圆心线;圆心;临界
中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2021)34-0090-02
收稿日期:2021-09-05
作者简介:李建海,男,河北省怀安人,本科,中学高级教师,从事高中物理教学研究.
带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动的问题比较常见,是高考中的高频考点.该题型既能够考察学生物理建模的能力、还能够考察学生应用数学知识解决物理问题的能力.特别是与之结合的临界问题,难度往往较大.一些教参和文章中讨论的方法可操作性不强,本文就该类问题再做一些尝试.
一、试题的命制
关于带电粒子在匀强磁场中的运动的考题,可谓是常考常新,不管考题如何变化,大体可分为两类:一类是速度方向与某一特定边界夹角已知,即速度方向已知,但大小并不确定;一类是速度大小相等,方向分布在某一范围内.当然,从题目的命制来说,这只是两个大类,单纯给定这样的设定,其条件并不完备,常常需要再补充“粒子通过磁场中的某一点或与某一边界相垂直或相切”等条件,如图1,这样的组合就构成了形形色色的试题.
图1
二、现行方法评价
大多数教学参考书给出的解题方法如下:第一大类中,如果要求过某个点,相当于已知了弦,通过做弦中垂线和速度垂线交点,该交点即为圆心;如果轨迹与某一边界相切,通过做该边界与速度的角平分线,角平分线和速度垂线的交点即为圆心.不少文章还提出了“缩放圆”的方法.
对于第二大类,教学参考书中并没有给出相应的解题方法,不少文章提出了“动态圆”的方法.
这些方法其实叫做资源包更准确,看似能够解决相应的问题,但是并没有共性,一题一法,对于复习备考的学生来说,无疑是很大的负担.“缩放圆”和“动态圆”在具体解题中的操作性并不强,做角平分线耗时较长,与高考考场上快捷、可操作性强的需要相冲突.
三、该类问题的突破点
该类问题的突破点,归根到底就一个,那就是快速确定轨迹圆的圆心.两种题型,为了统一,可以提出“圆心线”的概念.圆心线即为一系列不确定圆的圆心的集合.第一大类中
速度垂线即为圆心线,如图2;第二大类中以入射点为圆心,粒子轨迹半径为半径的圆即为圆心线,如图3.如果速度分布在90°范围内,圆心线为1/4圆,如果速度分布在180°范围内,圆心线为半圆.
图2图3
有了圆心线的概念,这样在解决具体问题中只需根据半径相等的特征在“圆心线”上找出大致的圆心即可.这样做的效果是快捷、便于操作、通用性强,从而学生负担小.
第一大类中,过确定点A、与边界垂直和与边界相切找圆心的方法如图4所示.找圆心时把握两点,一是在圆心线上,二是半径相等.若要求过某一确定点,可以通過肉眼找一个大致的圆心,也可以做弦的中垂线,其实即使是做弦的中垂线,实际操作中也并非是用尺规作图,也是做了一个大致的中垂线,图4(a) ;若要求与某一边界相垂直,圆心为圆心线和该边界的交点,图4(b);若要求与某一边界相切,根据半径相等这一特征,同时找切点和圆心,图4(c).
图4
第二大类中,过确定点A、与边界垂直和与边界相切找圆心的方法如图5所示.方法与解决第一大类的方法一致.这样一来,“在圆心线上找圆心”便成了通用的方法,便于掌握.
图5
四、例题解析
如图6所示,在0≤x≤3a区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场,磁感应强度的大小为B.在t=0时刻,一位于坐标原点的粒子源在xOy平面内发射出大量同种带电粒子,所有粒子的初速度大小相同,方向与y轴正方向夹角分布在0~180°范围内.已知沿y轴正方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界上P(3a,a)点离开磁场.求:
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m;
(2)此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围;
(3)从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间.
解析 第1问,属于第一大类且要求过某一确定点P.先画出圆心线,如图7,在圆心线上找出大致的圆心O1,实际作图时不必如此完美,画出O到P的圆弧即可.构建直角三角形,根据勾股定理列式 R2=a2 + (3a-R)2,解的半径R=
233a,圆心角为120°.
图6图7
第2问,属于第二大类但附加条件并不明确,先做出圆心线.在给定速度大小的问题中,粒子的运动时间除了可以由圆心角反映,还可以由弦长反映.这样一来,临界条件可由与第1问中等长的弦OP确定,也就是以O为圆心,OP长为半径画圆,正好与磁场边界交与M、N两点,如图8(a).进而该问题演化成轨迹过M点或N.在圆心线上找出圆心即可,如图8(b)、图8(c).
图8
第3问,看似找不出附加条件,这个时候需在圆心线上找几个圆进行尝试,尝试后发现与右侧边界相切的轨迹时间最长.
参考文献:
[1]严江勇,卢巧玲.利用动态圆巧解带电粒子在有界匀强磁场中运动的极值问题[J].中学物理教学参考,2010(3):32-34.
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[3]王智荣.同源带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题探析[J].物理通报,2019(S2):67-70.
[责任编辑:李 璟]