例谈电磁感应中的自洽性问题

摘 要：电磁感应问题是浙江省高考计算题的必考知识，而在导体棒切割运动的过程中，物理量之间的关系错综复杂，容易遗漏，因此命制这类试题时经常会出现条件多余或者数据不自洽等问题.本文通过一道试题从问题到推理再到推导，深入分析了导体棒速度、位移与时间之间的内在关系，期望命题者在命制这类问题的过程中注意验算，避免出现差错.

关键词：电磁感应;安培力;自洽;最大速度

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0082-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：何晓萍（1981.5-），女，中学高级教师，从事高中物理教学研究.

[FQ）]

电磁感应问题是高中物理教学的重难点，也是高考的必考知识，它在高中物理学习中具有举足轻重的地位.但是电磁感应中涉及到导体棒的运动往往比较复杂，物理量的关系千丝万缕，已经无法用初等数学处理.因此命制这类试题时经常会出现条件多余或者数据不自洽等问题.下面详细分析一道模考题.

例题 相距2m的两平行金属导轨MN、PQ固定在水平面上，两导轨左端连接阻值为3Ω的电阻R.导轨所在处的空间分布一系列磁场区域，如图1甲所示，每个磁场区的宽度和相邻磁场区的间距均为1.5m，每个图1磁场区内的磁场均为匀强磁场，磁场方向垂直轨道平面，磁感应强度从左到右依次记为B1、B2、B3、……、Bn，B1随时间变化的图象如图1乙所示，其它磁场保持不变，规定磁场方向竖直向下为正方向.一质量为0.5 kg、阻值为3Ω的导体棒垂直放置于导轨左端，在垂直于导体棒的水平恒定拉力作用下，从静止开始向右运动，经过时间0.2 s离开B1磁场，离开时速度为10 m/s，此时撤去拉力，导体棒继续向右运动.已知在无磁场区导体棒与导轨之间的动摩擦因数为0.5，有磁场区导轨光滑，导体棒在磁场区内的运动均为匀速运动（B1磁场区除外），最终穿过Bn磁场区后停下.不计导轨电阻，求：

（1）导体棒在B1磁场区运动过程中受到的拉力大小;

参考答案：解：（1）导体棒在B1磁场区运动过程中，根据动量定理得：

Ft-B0I-1Lt=mv-0

其中I-1t=B0Lv-2Rt=B0Ld2R

联立得：F=B20L2d2Rt+mvt=105 N

问题提出 该题运用动量定理、电磁感应定律和闭合电路欧姆定律全面考查了学生对知识的综合运用能力，根据已知条件一步步往下分析似乎非常合理.但速度为10 m/s时的安培力FA=B20L2v2R=3203≈106.7 N，已经大于求出的拉力105 N了，导体棒运动过程中受到的安培力可能大于拉力吗？导体棒会做减速运动吗？

推理分析 对导体棒受力分析，由牛顿第二定律可知：F-B20L2v2R=ma.导体棒从静止开始速度不断增大，导致加速度不断减小，当加速度减小到零即安培力等于拉力时，速度达到了最大值，若拉力F=105 N，最大速度vm=2FRB20L2≈9.84 m/s<10 m/s.因此导体棒的速度不可能达到10 m/s！因此题中给出的速度值与拉力F值是不自洽的.

探寻错因 那么命题者给出的速度是随意而为之吗？导体棒运动过程中速度、位移随时间的变化到底有何规律？让我们来一探究竟！现令拉力F=105 N，对某时刻导体棒受力分析后可得：

F-B20L2v2R=ma=mdvdt

代入已知数据得：105-32v3=12dvdt

速度对时间求导得：v（t）=31532+Ce-643t

已知t=0 s时，v=0 m/s，代入得：C=-31532

所以：v（t）=31532-31532e-643t

当t=0.2 s时，v≈9.7 m/s

又v（t）=dxdt=31532-31532e-643t

求得：x（t）=31532t-9452048e-643t

所以当t=0.2 s时，x≈1.975 m

由上述推导过程可知，导体棒的速度、位移与时间有一一对应关系，t=0.2 s时求得的速度与位移都与题中给出的数据非常接近，所以命题者也是认真地进行过推导运算的，只是为了计算简便将速度和位移都作了近似.但就是这一点点的差别就导致了利用速度求得的安培力大于拉力，善于深度思考的学生有可能会因此耽误考试，所以真的要慎之又慎！

深度挖掘 根据前面推导可以知道导体的速度v（t）=31532-31532e-643t，当t→∝时，e-643t→0，速度达到最大值31532≈9.84 m/s，与前面利用平衡求得的结果一致.也就是说要使导体棒达到最大速度需要经历的时间是无穷大，而此时对应发生的位移x（t）=31532t-9452048e-643t也趋向于∝.如此说来，在有限的时间和空间內导体棒切割磁感线达到最大速度是不可能的，那么电磁感应大量的试题都存在问题.

因此在命制电磁感应试题时一定要理清各个物理量之间的关系，不随意编造数据，给出的条件时尽可能用物理量的符号，尽量避免数据不自洽问题的发生.

参考文献：

[1]吴广国，黄琭琰，邹斌.物理考试命题数据自洽分析[J].物理教师，2018（12）：92-93.

[2]饶华东，林厦门，陈水勇.物理命题应避免四种“不自洽”[J].物理教学，2020（2）：56-60.

[责任编辑：李 璟]