例谈解析几何中的非对称问题

摘 要：文章探讨了解析几何中的非对称结构问题的处理策略，所谓非对称结构，是指结构中的x1，x2的系数或次数不一致，无法直接运用韦达定理求解.

关键词：非对称;齐次化;定点定值

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0060-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：李文东（1981-），男，湖北省咸宁人，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

解析几何问题主要考查学生的转化与化归思想、推理论证能力、运算求解能力，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，其中尤其对于运算求解能力要求较高，因此怎样计算以及怎样优化解析几何的运算是一个很重要的问题，下面我们谈谈解析几何中非对称问题的处理策略.

（2019年广东省一模理科数学第20题）已知点

1，2，22，-3都在椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上.

（1）求椭圆C的方程;

（2）过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同两点P，Q（异于顶点），记椭圆与y轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y=4上.

解 （1）椭圆C的方程为y24+x22=1;

（2）由题意可设直线l的方程为y=kx+1，Px1，y1，Qx2，y2，由y=kx+1y24+x22=1，消去y得2+k2x2+2kx-3=0，且x1+x2=-2k2+k2，x1x2=-32+k2.

由題意不妨设A1（0，2），A2（0，-2），则直线A1P的方程为y-2=y1-2x1x，直线A2Q的方程为y+2=y2+2x2x ，联立y-2=y1-2x1x，y+2=y2+2x2x，

结合目标，消去x得：y2+2x1y-2=y1-2x2y+2，此表达式中左右结构不对称，想要直接运用韦达定理比较困难.对此问题，我们有以下求解策略：

一、利用韦达定理进行齐次化

进一步将y2+2x1y-2=y1-2x2y+2整理得：3x1+x2y=4kx1x2+6x1-2x2，结合韦达定理知2kx1x2=3x1+x2，代入前式可得：3x1+x2y=4kx1x2+6x1-2x2=6x1+x2+6x1-2x2=43x1+x2，依题意：3x1+x2≠0，否则此时A1P∥A2Q，故得y=4，即点S恒在直线y=4上.

评注 本题的目标很明确，就是要证明交点S的纵坐标为定值，因此首先联立直线A1P和A2Q的方程，消去x，得到3x1+x2y=4kx1x2+6x1-2x2，但是此式中的x1，x2不对称，无法直接运用韦达定理.这里的想法是利用韦达定理得到2kx1x2=3x1+x2，其本质是将二次表达式x1x2化为一次表达式x1+x2，从而实现齐次化的目的.

二、利用韦达定理进行消元

接法一有：3x1+x2y=4kx1x2+6x1-2x2，由于x1+x2=-2k2+k2，x1x2=-32+k2，故3x1+x2y=-12k2+k2+6x1-2x2，将x2=-2k2+k2-x1代入可得

2x1-2k2+k2y=8x1-8k2+k2，故得y=4，即点S恒在直线y=4上.

评注 这里的想法是先将已有的x1x2=-32+k2代入，然后再利用两根之和x2=-2k2+k2-x1进行化简，其本质是消元，这也是我们计算化简的基本原则！

三、利用椭圆方程实现对称化

将y2+2x1y-2=y1-2x2y+2整理得：y+2y-2=y2+2x1y1-2x2，

因为y214+x212=1，所以x212=（2-y1）（2+y1）4，故x1y1-2=-2+y12x1.

于是y+2y-2=y2+2x1y1-2x2=-y1+2y2+22x1x2=-kx1+3kx2+32x1x2=-k2x1x2+3kx1+x2+92x1x2将韦达定理代入得：y+2y-2=--3k22+k2-6k22+k2+9-62+k2=3，从而y=4，即点S恒在直线y=4上.

评注 考虑到式中y+2y-2=y2+2x1y1-2x2变量不对称，无法直接运用韦达定理，因为利用曲线进行代换得到x1y1-2=-2+y12x1，化为对称y+2y-2=-y1+2y2+22x1x2实现可以运用韦达理的目的，这是一个很重要的技巧，它在很多考题中都有出现，值得我们关注！

下面我们给出这类问题的几个变式题.

图1

变式1 已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为12，过点P（0，1）的动直线l与椭圆交于A、B两点，当l∥x轴时，|AB|=463，

（1）求椭圆的方程;

（2）当|AP|=2|PB|，如图1，求直线l的方程.

解 （1）x24+y23=1.

（2）由题意可设直线l的方程为y=kx+1， Ax1，y1，Bx2，y2，由y=kx+1x24+y23=1，消去y得3+4k2x2+8kx-8=0，且x1+x2=-8k3+4k2，x1x2=-83+4k2.由|AP|=2|PB|，可得AP=2PB，有x1=-2x2.首先将它与x1+x2=-8k3+4k2联立可得x2=8k3+4k2，x1=-16k3+4k2， 代入x1x2=-83+4k2，得-128k23+4k22=-83+4k2，解得k=±12， 直线l的方程为y=±12x+1.

评注 一般若x1=λx2，这也是一个非对称问题，我们可以采取如下策略：

（1）将x1=λx2与韦达定理中的x1+x2联立求出x1，x2，然后代入x1x2求解;

（2）构造韦达定理的表达式x1x2+x2x1=x1+x22-2x1x2x1x2.

变式2 直线y=kx+m与椭圆x2+y24=1交于A、B两点，与y轴相交与点P，且AP=3PB，求m的取值范围.

解 设Ax1，y1，Bx2，y2，由y=kx+mx2+y24=1，消去y得4+k2x2+2mkx+m2-4=0，Δ=k2-m2+4>0，且x1+x2=-2mk4+k2，x1x2=m2-44+k2.由AP=3PB，有x1=-3x2.

故有3x1+x22+4x1x2=0，得 12m2k24+k22+4（m2-4）4+k2=0，即k2=4-m2m2-1，因为Δ=k2-m2+4>0，故4-m2m2-1-m2+4>0，解得m∈（-2，-1）∪（1，2）.

评注 这里将转化x1=-3x2为3x1+x22+4x1x2=0，便于利用韦达定理.

变式2 设A，B是椭圆x29+y2=1的左右顶点，过点M32，0作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于C，D两点，其中点C在x轴的上方，设k1=kBD，k2=kAC，證明：k1k2为定值.

解 设Cx1，y1，Dx2，y2，直线CD的方程为：y=

kx-32，k1k2=y2x1+3y1x2-3，因为x219+y21=1，所以9y21=（3-x1）（3+x1），故x1+3y1=9y13-x1.于是k1k2=y2x1+3y1x2-3=-9y1y2x1-3x2-3=

-9k2x1x2-32x1+x2+94x1x2-3x1+x2+9，联立y=kx-32x29+y2=1，消去y得：36k2+4x2-108k2x+81k2-36=0，于是x1+x2=108k236k2+4，x1x2=81k2-3636k2+4.

故k1k2=-9k2x1x2-32x1+x2+94x1x2-3x1+x2+9

=-9k281k2-3636k2+4-32·108k236k2+4+9481k2-3636k2+4-3·108k236k2+4+9=3.

点评 一般地，设A，B是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右顶点，过点Mt，0-a

参考文献：

[1]刘紫阳.解析几何中的非对称问题的处理策略[J].中学生理科应试，2019（11）：16-18..

[责任编辑：李 璟]