巧用阿氏圆 妙解一类题

摘 要：本文给出了阿波罗尼斯圆（以下简称阿氏圆）的一个几何性质，并通过列举其在解三角形、平面向量和解析几何等有关问题中与常规解法的不同，让大家感受到这一几何性质在解题中的妙用.

关键词：阿氏圆;反演点;妙解;应用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0015-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：魏东升，男，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

有时我们会有这样的感慨，有些我们一直以为很熟悉的事物，随着对其了解的深入，却发现它们已经越来越陌生了.比如从小到大陪伴着我们成长的圆，可谓是我们接触的最多的图形之一了.但随着学习的深入，当其以阿氏圆、蒙日圆等隐形圆的身份出现在试题中时，不少人却陌生了.本文通过运用阿氏圆的一个几何性质解题的几个视角，让大家感受到阿氏圆解题的美妙.

定理 如图1，已知点M是以PQ为直径的圆D上的任意一点，则直线PQ上两点A，B满足ADCD=CDBD=λ（λ≠1）的充要条件为：圆D是以A，B为两定点，CACB为定值λ（λ≠1）的阿波罗尼斯圆.

证明 先证明必要性，因为ADCD=CDBD=λ（λ≠1），所以△ACD～△BCD，所以CACB=λ，从而根据定义可知圆D是阿波罗尼斯圆.

再证明充分性，因为CACB=PAPB=AD-PDPD-BD=AD-CDCD-BD=λ（λ≠1），①

同理可得AD+CDCD+BD=λ，②

由①②式可得CD2=AD·BD，结合②式可得ADCD=CDBD=λ（λ≠1）.

以下例举该结论妙解相关问题的三个视角：

例1 （2019年全国Ⅱ卷理科第15题改编）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b=2，a=2c ，则S△ABC的最大值为.

通解 在△ABC中，由余弦定理，得22=（2c）2+c2-2·c·2ccosB，所以cosB=5c2-44c2，从而S△ABC=12·c·2csinB=c21-cos2B=c21-（5c2-44c2）2=14-9c4+40c2-16≤43，当且仅当c=253时等号成立，所以S△ABC的最大值为43.

妙解 因为b=2，a=2c ，可知点B的轨迹是一个阿波罗尼斯圆. 假设该圆的圆心为D，根据结论可知CDBD=BDAD=2=AC+ADBD，解得BD=43，即圆D的半径为43.假设AC边上的高为？，所以S△ABC=12·b·？≤12·b·BD=43，即S△ABC的最大值为43.

评析 本题的通法是运用解三角形的相关知识建立关于面积的函数解析式，其解题思路看似不逊色于妙解，但却是建立在较大的数学运算量这一基础上的.

例2 （2015年湖北卷理科第14题）如图2，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（点B在点A的上方）， 且AB=2.

（1）圆C的标准方程为;

（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：

①NANB=MAMB;

②NBNA-MAMB=2;

③NBNA+MAMB=22.

其中正确结论的序号是. （写出所有正确结论的序号）

通解 （1）圆C的标准方程为（x-1）2+（y-2）2=2.

（2）由（1）可得A（0，2-1），B（0，2+1）， 设直线lMN的方程为y=kx+2-1，

联立方程组y=kx+2-1，（x-1）2+（y-2）2=2，解得1+k2x2+2k2-1x+2-22=0…①，假设M（x1，y1），N（x2，y2），且设x2>0，所以kNA=2-1-y2-x2=k，kNB=2-1-y2+2-x2=k-2x2，所以|NA||NB|=1+k2NBx2-01+k2NAx2-0=1+（k-2x2）21+k2=1+k2x22-4kx2+41+k2x22…②，由①結合求根公式知kx2=22-2-1+k2x2222-2，将其代入②化简可得NANB=2+1.同理可得|MA||MB|=2-1，由此可验证①②③皆为正确结论.

妙解 （1） 圆C的标准方程为（x-1）2+（y-2）2=2.

（2）由（1）可得A（0，2-1），B（0，2+1），所以BONO=NOAO=2+1，由结论易知圆O是以A，B为两定点，以NANB=2+1为定值的阿波罗尼斯圆，由此很快可验证①②③皆为正确结论.

评析 此题的妙解可谓是把阿氏圆解题的优势体现地淋漓尽致！通法实际上是在不知道阿氏圆这一几何背景下的纯代数运算，属于典型的“小题大做”，这样处理实在是有点得不偿失，虽然是一道填空题的压轴题！

例3 （江西省赣州市2021年期中联考理科第15题）已知a，b，c是平面内三个单位向量，a·b=0，则a+2c+2a+b-c的最小值为.

通解 假设c=（x，y），a=（1，0），b=（0，1），则x2+y2=2，a+2c=（1+2x，2y），2a+b-c=（2-x，1-y），从而a+2c+2a+b-c=（1+2x）2+（2y）2+（2-x）2+（1-y）2=3x2+y2+x2+y2+4x+1+（2-x）2+（1-y）2=（2+x）2+y2+（2-x）2+（1-y）2≥（2+2）2+（1-0）2=17.

妙解1 如图3，因为a·b=0，记OA=-12a，OB=2a+b，OC=c，可知点C的轨迹是个圆，根据结论可知在OA方向上存在点D（也称反演点）使得DOCO=COAO=2，此时DO=2，所以CD=2CA，从而a+2c+2a+b-c=2c-（-12a）+c-（2a+b）=2CA+CB=CD+CB≥BD=17.

妙解2 注意到a+2c=a+2c，所以利用向量的三角不等式可得a+2c+2a+b-c=2a+c+2a+b-c≥4a+b=17.

评析 通解的思路是向量问题代数化，很好地体现了“向量数与形融为一体”这一显著特点，但较之基于阿氏圆背景的妙解1运算量偏大.妙解2很好地运用了向量的几何性质，其解法可谓“大道至简”，是神来之笔！

本文主要探究了阿氏圆中的一个几何性质在不同数学知识板块中的应用，给我们在解决这类问题带来了启发.像这样利用蒙日圆和阿氏圆等知识进行专题教学，对同学们解题素养的提升是很有帮助的.需要指出的是，在专题学习时同学们不可陷入解题的思维定式，应该让新方法完善和充实我们的解题系统.如在学习中发现阿氏圆好用便只从阿氏圆的角度思考和解决问题，掉入用“新知识”覆盖“旧知识”的陷阱，以致“邯郸学步”，其实很多在我们看来不起眼的“旧知识”往往能给我们带来惊喜，这一点例3的妙解2就做了很好的诠释.

参考文献：

[1]魏东升.巧用蒙日圆，妙解一类题[J].中学数学研究（华南师大版），2020（21）：30-31.

[责任编辑：李 璟]