混凝土面板堆石坝渗流量监控指标的正交多项式法拟定

左君谣 郑东健

(1.河海大学 水文水资源与水利工程科学国家重点实验室,南京 210098;2.河海大学 水利水电学院,南京 210098)

渗流量安全监控指标是分析大坝渗流安全状况的重要参数.当渗流量超过相应测点监控指标时,常意味着大坝防渗体系工作状况出现异常.如沟后面板堆石坝溃坝前的明显异常现象就是渗流量异常[1];株树桥和三板溪面板堆石坝混凝土面板开裂破坏在渗流量测值变化上也有明显反映[2-3].因此,针对面板堆石坝工程,拟定渗流量监控指标对及时掌握面板堆石坝防渗体系工作状况,确保大坝安全有重要意义.目前渗流量安全监控指标拟定常用方法有置信区间法、典型小概率法和数值模拟分析法等.其中典型小概率法确定的指标,具有操作简单、便于实际运用的优势,常为首选方法.如陈红梅采用典型小概率法拟定大坝渗漏量安全监控指标,通过比较实测值与指标值来反映坝体和坝基抗渗性能的好坏[4].但是运用典型小概率法确定监控指标时,需要检验渗流量等监测量是否服从某种概率统计分布,如常用的正态分布、对数正态分布、极值分布等等.当找不到满足的概率统计分布时,典型小概率法将难以拟定监测量的监控值.

面板堆石坝的渗流量受面板、板间缝、周边缝和基础等各部分防渗体系工作性态以及水位、温度、降雨等多种复杂因素影响,渗漏量测值常不满足上述常用概率统计分布.因此,如何确定监测量的统计分布函数,成为典型小概率法拟定监控指标的关键.丛培江[5]应用最大熵原理,研究了确定监测量概率分布密度函数的方法,拟定了大坝水平位移监控指标,但最大熵法需要求解复杂非线性函数,计算困难;虞鸿等[6]利用威布尔分布替代传统的正态分布,取得了理想的效果,但模型参数求取过程复杂;聂兵兵[7]基于极值理论,研究了大坝变形监控指标拟定方法,并用实例验证了该方法的可行性和有效性,但模型选择复杂和阈值确定受主观影响大.实际上,由矩问题理论可知,通过分析监测量的各阶矩可以估计其概率分布函数.如郑祖康提出了一种混合矩法估计法,分布函数可由[0,1]上的多项式表示或逼近[8].马鸿杰等讨论了当分布函数经过特定变换后,可以采用局部多项式进行逼近,使用非参数分布的泛函估计,建立了分布函数的强相合估计[9].但这些分布函数的多项式矩估计方法,一般要求有较大样本.对小样本情况,可采用正交多项式法进行概率密度函数的估计,其计算简单,能够避免求高次多项式系数时遇到的病态问题.如王新等[10]提出随机加权多项式拟合法对小样本数据进行概率密度函数计算;黄天郎等[11]利用正交多项式推断方法,估计了小样本的岩土参数概率分布.为此,本文针对混凝土面板堆石坝渗流量测值序列概率分布未知情况,运用正交多项式和矩问题理论,估计渗流量测值概率分布函数,结合传统典型小概率方法,拟定混凝土面板堆石坝渗流量监控指标,为及时发现渗流异常情况提供判断依据.

1 监控指标的正交多项式法拟定

1.1 监测量分布函数的正交多项式估计

正交多项式估计是利用一组正交函数族以及样本的高阶矩信息,实现随机变量概率密度函数的近似表达[12].

设x为监测量,f(x)为监测量的概率密度函数,函数族φ0(x),φ1(x),…,φn(x)是[a,b]上带权w(x)的正交函数族,即内积(φj,φk)满足关系

对f(x)∈C[a,b]及C[a,b]中的一个子集φ={φ0(x),φ1(x),…,φn(x)},C[a,b]表示闭区间[a,b]上所有x的连续函数集,根据最佳平方逼近原理[8],存在,使得:

式(2)等价于求多元函数

的最小值.利用多元函数求极值方法,可得

解该方程组可得系数:

则监测量概率密度函数f(x)可用多项式(6)逼近,即

若f(t)∈C[-1,1],则可利用切比雪夫带权正交多项式{Tk(t)}逼近f(t),其中权函数w(t)=;{Tk(x)}满足递推关系,T0(t)=1,T1(t)=t,Tn+1(t)=2tTn(t)-Tn-1(t),且在区间[-1,1]上有

设Tk(t)=Bk0+Bk1t+…+Bkktk,记μk=为随机变量x的k阶原点矩,则有:

联立式(6)、式(8)和式(9)可得各项系数为:

当f(x)∈C[a,b],可用式(10)进行区间变换,使得f(t)∈C[-1,1].

由式(10)可知,t与x之间为线性关系,所以f(t)在[-1,1]上的分布频率与f(x)在[a,b]上的分布频率一致[9],由此即可获得监测量概率密度函数f(x)在[a,b]上的逼近表达式.

对估计的概率密度函数采用统计量Dn=supx|Fn(x)-F0(x)|进行K-S检验.给定样本数量n和显著性水平α下,统计量Dn的临界值Dn,α可查表获得.

当Dn＜Dn,α时,接受假设,即正交多项式法估计的概率密度函数通过显著性检验;

当Dn＞Dn,α时,拒绝假设.

同时,Dn越小,估计的概率密度函数与样本拟合度越高.

1.2 监控指标的确定

由式(11)获得渗流监测量概率密度函数后,可采用小概率法估计监测效应量的指标.Emi为随机变量,将监测效应量的极值设为Em.当E＞Em时,大坝将出现异常或者险情,其概率为:

根据正交多项式法求出监测量的概率密度函数后,只要确定失事概率Pα(以下简写为α)就可以由Emi的分布函数求得监控指标Em,即:

其中:α为显著性水平,取1%～5%.

2 工程实例

某混凝土面板堆石坝最大坝高为120.0m,坝顶长度为259.8m,面板厚度按t=0.3+0.00347H计算,面板厚度自顶部至底部线性变化,最小为0.3m,底部最大处为0.7m,上游坝坡坡度为1∶1.4,下游坝坡坡度为1∶1.35.大坝坝后设置有截渗墙和集水井,集水井的左、右两侧各布置1个量水堰测量过流量,总渗漏量由左、右两边量水堰相加得到.2002 年前一周测两次,2003年后均一周测一次,高水位蓄水期加强观测渗漏量.2000-2017年期间,共949组监测数据,以历年渗漏量的最大值xi作为样本(见表1),样本数目为17个,由于渗流量关注的是最大值监控,在此采用μ+3σ作为区间上界,取xi∈[4,35],将样本数据转换到[-1,1]的区间,即ti=(xi-19.5)/15.5,采用式(9)～(11)估计概率密度函数,显著性水平取1%;表2为变换后样本的前10阶矩,表3为切比雪夫多项式生成函数的各项系数.

表1 大坝渗透量最大值统计表 (单位:L·s-1)

表2 变换后样本的前10阶矩

表3 切比雪夫多项式生成函数各项系数

变换后的数据通过K-S分布检验,样本满足正态分布N(-0.3029,0.54392).为验证正交多项式法估计的概率密度函数对样本数据频率分布的拟合效果以及与相对于传统方法的优劣,表4列出了K-S检验结果.对于给定显著性水平为0.01,样本容量为17时,查得临界值D170.01=0.381.

当样本矩为3～10阶时,对应的统计量Dn分别为0.0945,0.0869,0.0871,0.0605,0.0700,0.0718,0.0849,0.0858,使用正态分布拟合得到的统计量Dn=0.1719.可以看出,3～10阶样本矩估计的概率密度函数,统计量Dn均小于0.381,接受原假设,即由正交多项式法估计的概率密度函数通过显著性检验,可以反映渗流量的概率分布情况,而各阶的Dn均小于正态分布的Dn,说明正交多项式法拟合的概率密度函数比正态分布更加接近渗流量的真实分布.由于6阶矩统计量Dn最小,因此采用6阶矩估计渗流量概率密度函数,拟定渗流量监控指标.取显著性水平为0.01,由6阶矩估计的概率密度函数拟定的监控指标为32.86L/s;由K-S检验,满足正态分布函数N(-0.3029,0.54392)拟定的监控指标为30.50L/s.由于6阶矩统计量Dn=0.0605远小于正态分布Dn=0.1719,6阶矩估计的监控指标应更接近实际情况.

3 结论

混凝土面板堆石坝渗流量测值变化影响因素复杂,变化过程常不平稳,一方面时有出现不满足传统概率统计分布,难以采用典型小概率法拟定渗流量监控指标的状况;另一方面,在小样本情况下,常常较易通过传统概率分布的K-S检验.针对上述情况,本文开展了混凝土面板堆石坝渗流量监控指标拟定方法研究.

1)基于矩问题理论,将样本矩替代原点矩,运用切比雪夫正交多项式,提出了小样本情况下渗流量测值概率密度函数的估计方法,为未知概率分布下拟定渗流量监控指标奠定了基础.

2)小样本情况下,常用概率分布易于被K-S检验通过,但与样本的拟合度差别较大.运用拟合度统计量Dn进行检验判别,有利于优选更贴近样本统计特性的的概率分布函数.

3)实例分析表明,采用正交多项式估计的概率分布函数与测值样本拟合度高,也优于通过K-S检验的正态分布函数,拟定的监控指标更加符合样本的统计特性.

4)运用切比雪夫正交多项式估计的概率密度函数,为区间[a,b]内样本的概率分布,区间[a,b]的选择会影响渗流量监控指标的拟定结果.当有新的极值出现后,应重新进行概率密度函数和监控指标的计算.