基于SI1SI2R模型的异质群体重复感染的传染病建模与仿真

孙 璐，薛晓斐，程妞妞

(郑州大学旅游管理学院，河南 郑州 450001)

0 引 言

2020年初，新型冠状病毒(COVID-19)疫情在我国湖北省武汉市爆发，之后随着春节返乡人流迅速蔓延至全国。4月8日，武汉市解封，这表明我国疫情已经得到基本控制，但国际疫情依然不容乐观，截至2020年8月1日，海外累计确诊病例已达1770.2万(不包括中国)，这次疫情规模之庞大，后果之严重，牵动着全世界人民的心。事实上，人类与传染病之间的战争从未停止，国际上有多次重大的抗疫事件，比如较早的有14世纪～17世纪的黑死病[1]，18世纪～19世纪的天花病毒[2]，还有20世纪起日渐流行的急性脊髓灰质炎[3]，最近的有2003年的SARS病毒[4]，2009年的甲型H1N1流感，2014年非洲爆发的埃博拉病毒[5]以及现如今的新冠肺炎，这些流行疾病的爆发不仅威胁着人类的健康，还使国民经济遭受巨大损失。

然而，最新研究表明，新型冠状病毒的抗体在人体内的有效时间为3～6个月，最长不超过1年，而无症状感染者抗体失效的时间更短，重庆医科大学黄爱龙教授领导的团队的研究结果表明，在8周时间里，81%的无症状感染者体内抗体会减少，而有症状人群中抗体减少的比例为62%[6]。这表明新冠病毒的抗体在人体中不是永久存在的，因此具有二次感染的风险。除此之外，登革热也有二次感染的可能，并且会由于抗体依赖增强现象导致第二次感染登革热病毒的感染率更高，症状也普遍要比第一次更加严重和危险；再如流感病毒，由于流感病毒都是RNA单链，结构不稳定，极易发生变异，因此存在重复感染的现象，并且流感病毒大都传染性强、传播速度快，引起的并发症与死亡现象也非常严重。因此，针对这一现象，建立具有重复性传染特征的疾病的仿真模型，关注其传播特点及发展趋势，对防控这类传染病有着重要的意义。

本文基于改进的传染病模型，构建存在重复传染特征的SI1SI2R传染病模型框架。其次，考虑到传染病传播群体存在的免疫力或者其他方面的差异导致感染率的不同，以及“超级传播者”这样的特殊人群，将仿真实验个体进行分类并设定不同的感染率，来体现传染病在多异质性群体间重复传播的特征，并对实验结果进行统计分析，最后，根据实验结论提出相关建议。

1 文献回顾

学者们对传染病传播的研究起源于18世纪，早期是由Bernoulli[7]以建立数学模型的方式对天花病毒的传播进行研究。20世纪20年代初，Kermack和McKendick[8]建立了著名的SIR舱室模型，用来研究17世纪在伦敦流行的黑死病，此后又有许多舱室模型相继出现，如SI[9]、SIS[10]、SEIR[11]、SIRS[12]、SEIRS[13]等。这些传染病模型为传染病动力学的研究做出了奠基性的贡献。

但是经典的舱室模型已经不能与重复感染的传染性疾病的传播过程完全吻合。对于此类传染性疾病，Melesse和Gumel[14]研究了具有重复感染阶段的SEIRS模型，通过设置标准的传染函数来表示不同感染阶段的感染力，最后利用与流感动力学相关的参数值进行模拟，用来说明一些现实情况。廖列法等[15]结合SIR和SEIR这2种传播模型的特性，提出了一种改进的具有多感染阶段的SInR模型，以探究不同感染阶段的非均匀感染力对不同网络结构上传染病传播及传播阈值的影响。李海燕等[16]研究了一类具有饱和发生率的双疾病重复传染SIRS传染病模型，得到了在某些条件下决定疾病灭绝和持久存在的随机基本再生数，并探讨了环境变化对疾病的影响。豆中丽等[17]提出了一类具有垂直传染率的重复性传染类疾病的SIS模型,并计算出该模型的基本再生数和平衡点。李淑一等[18]研究一类含Ornstein-Uhlenbeck过程的随机SIS传染病模型，得到阈值R0，并建立了疾病的灭绝性和持久性的判别条件：R0<1，疾病灭亡，R0>1，疾病持久。

然而，上述研究基本都基于宏观的均匀混合假设，无法描述微观个体的行为及特征差异，从而无法体现出传播个体的异质性。但事实上，传染病的传播群体可能由于免疫力、地域、感染阶段或者心理因素等差异导致其感染同一种传染病的概率不同。因此均匀混合的假设会与现实生活中的传播状况存在偏差，但基于异质性传播群体的研究尚且不多。瞿倩倩等[19]提出了一种基于个体异质传染率及状态转移的SIR模型，考虑了各种自身的内部因素导致的感染概率差异对传染病的传播造成的影响。牛伟纳等[20]考虑了僵尸网络在传播过程中区域的差异，并给其设置了不同感染率，结合疾病传播模型，提出了一种具有异构感染率的僵尸网络传播模型。

此外，传染病在人群中的传播是一个非常复杂的过程，牵扯到个体的行为、个体间的交互以及环境等因素，因此引入系统动力学的方法对传染病传播过程进行建模仿真的方式慢慢成为主流。余雷等[21]从复杂适应系统的观点，通过建立元胞自动机模型的方法对SARS的传播过程进行了模拟。瞿毅臻等[22]利用Repast平台，定义了主体的状态转换方式以及主体之间的行为规则，构建了SARS传播仿真模型。

本文利用主体建模的方法，以主体(Agent)的行为来模拟现实的人在社会中的行为以及人与人之间的交互关系，结合异质性传播群体的特征，对具有重复性感染可能性的传染病进行仿真研究，并对仿真结果进行统计分析，最后针对实验结果进行讨论，结合现实提出相关建议。

2 具有重复性传染特征的传染病模型

2.1 SI1SI2R模型简述

根据重复性传染病的特征，将个体的状态分为3种，其中，S代表易感者(Susceptible)，I代表感染者(Infected)，D代表死亡者(Death)，个体在某一次感染康复后经过一段时间的免疫期又会成为易感状态，有可能被再次感染；个体的种类分为2种，分别是普通潜在感染者和超级传播者，感染过程见图1。

图1 感染过程的动力学模型

如图1所示，在第一次传染过程中，当普通潜在感染者Ai1处于易感状态S时，其还未被感染，并且有αi1概率转变为感染者I1；当其处于感染状态I1时，有γ的概率转化为死亡状态，且有β的概率转化为康复者，重新进入易感状态；当其处于死亡状态D时，状态不会再改变，该个体退出传染病传播系统；之后的感染过程均类似，但每个感染阶段的感染率有所不同，而超级传播者As的感染率在每个感染阶段均不再发生变化。特殊地，最后一次感染康复后，所有个体永久免疫，即不会再被感染。本文主要讨论不同感染阶段的差异性，因此其他阶段不作做具体区分。

2.2 模型构建

2.2.1 模型基本假设

本文研究包含的基本假设及对应的符号定义如下：

1)M表示潜在疾病传播者总数，假设在整个传播的过程中总人数保持不变。

2)个体所处的状态共有3种，分别是易感态S、感染态I和死亡态D。St、It、Dt分别表示在t时刻处在该状态的个体数量，S(t)、I(t)、D(t)分别表示在t时刻处在各状态的比例，其中：S(t)+I(t)+D(t)=1。

3)为了使仿真实验更加贴合现实，本文将潜在感染者分为2种：第一种为普通的潜在感染者个体Aij(以下简称“普通个体”)，这种潜在感染者存在异质性，可以划分为更具体的异质性个体类别，其中i表示该个体所属的异质性个体类别，j表示该个体处在第j次的感染过程中，其感染概率随着个体类别和感染次数的差异而改变；第二种为超级传播者个体As，其感染概率在整个实验过程中保持不变，但其感染率相比普通个体更高，传播范围更广。

4)当某个体处于易感状态时，只要受到与其连接的某一个处于感染状态的邻居的影响，就有δ的概率转化为感染状态，随着个体周围的患者越来越多，该个体患病的概率也逐渐提升，因此该个体的实际感染率为α=1-(1-δij)x1(1-δs)x2，其中,x1为与普通个体相邻的处于感染状态的个体数量，x2为与超级传播者个体相邻的处于感染状态的个体数量，δij、δs分别为存在一个感染态邻居时，普通个体和超级传播者个体的感染率[23]。

2.2.2 异质性与连接关系描述

在现实生活中，人与人之间由于年龄、身体素质、免疫力存在差异等原因导致罹患某一种传染病的可能性不同，存在重复性感染现象的传染病还可能因为病毒变异或者传播个体产生抗体等因素导致感染概率在不同阶段的改变，这就是传染群体间的异质性，这种异质性可以通过感染率来体现。因此在仿真实验中，通过给不同类别以及处在不同感染阶段的传播群体设置不同的感染概率，来表达传播群体间的多异质性。此外，传染病的传播方向由网格领域的扩散方式来决定。假设传播群体所处的范围是一个M=N×N的二维网格空间，每个网格代表一个传播个体。病毒的扩散方式采用Von Neumann邻域，其原理如图2所示。

图2 Von Neumann邻域

图2分别展示了r=0、1、2、3时演化的过程，其中r为Von Neumann邻域的扩散半径，给定网格(x0,y0)时，其邻域范围定义为：V(x0,y0)={(x,y):|x-x0|+|y-y0|≤r}；演化范围内的方格数B(r)=2r(r+1)+1。仿真实验中，假设普通个体的单次传播范围为Von Neumann的一阶邻域，超级传播者个体的单次传播范围为Von Neumann的三阶邻域，由于现实生活中的人是移动的，因此某个体的邻域代表的不是地理位置与之相邻的个体，而是该个体在其活动中能接触到的所有其他个体。

2.2.3 模型的演化规则

为了便于描述个体所处的状态以及状态之间的转换过程，设定普通个体Aij=η，其中η∈{1，2，3}，不同的数值代表个体Aij感染过程中的不同状态，各状态的转化过程及条件为：

1)当Aij=1时，个体处于易感状态S，即个体未被感染，此时个体的实际感染概率αik与单个邻居的感染率δik和邻居的感染数量有关。其中，存在单个邻居时的感染率δij在不同类别人群以及不同感染次数时，其值均存在差异，差异视具体情况而定；而感染邻居数量越多，αij值越大。模型此时判断Aij是否以αij的概率转化为感染者，也就是Aij=2，否则仍为Aij=1。

2)当Aij=2时，个体处于感染状态I，此时个体具有一定的传染力，可以提高其邻居的患病概率，并且有β的概率康复，转化为免疫者，或者有γ的概率转化为死亡者。模型此时判断Aij是否可以转化为死亡(Aij=3)或康复(易感)(Aij=1)状态，否则仍为Aij=2。

3)当Aij=3时，个体处于死亡状态，此时个体不会再具有传染力，并且不会再进行任何的状态转化，个体退出传染病传播系统。

4)特殊地，Ai0≡1，Ain≡1(n为最后一次感染的次数)。

5)超级传播者个体As的感染过程与普通个体相仿，但感染率αs在整个传播过程中保持不变。

此外，各类异质性群体在网格间的位置都是随机分配的，其间均可相互传染，除去感染率不相同外并无其他隔阂。

根据上述规则，每个个体在同一时刻的状态同步更新，个体在t+1时刻的状态由t时刻其邻域内的个体状态或改变状态的概率来决定，通过个体间的交互变化来引起群体状态的改变。

2.3 模型演化测量指标设计

本实验根据以下指标来判断传染病传播的结果以及各项实验设定对其结果的影响：

1)t时刻感染者占总人数的比例I(t)。众所周知，在某一时刻的感染人数越多，给管理带来的挑战越大，因此用感染人数的比例来体现某一时刻传染病传播的情况。

3)感染者比例到达最大峰值的时间Tmax，以此来判断在某一传播过程中感染者到达峰值的速度。

4)感染者比例到达的最大峰值I(t)max。

5)感染者累计比例到达的最大峰值W(t)max。

此外，为了简化实验过程，本实验仅设定2类普通的潜在感染群体，且每个个体最多会被感染2次，个体第二次感染康复后，就会对疾病永久免疫。

3 仿真分析与结果讨论

本实验的平台是RepastSimphony 2.6(以下简称Repast)，Repast是一款基于Java语言环境的开源仿真工具，使用者可以通过它提供的API在Eclipse下建立所需的各种仿真模型。实验利用ABM(Agent-Based Modeling)建模思想，以Agent来模仿现实生活中处在传染病传播范围内的人。Agent具有状态、群体类别以及感染次数等属性，并通过既定的演化规则来决定自身所处的状态，从而使传染病在人群中传播或消失。传染病仿真效果如图3所示。在这里要说明一点，网格并无边界，它实际上是一个环面(torus)结构，所以从图3中看到的正方形网格的左边界和右边界、上边界和下边界均是相连的。

图3 重复性传染病在人群中传播仿真

图3分别展示了在t=0、25、50、100时，具有重复性传染特征的疾病在人群中传播的仿真实验效果。其中，白色区域代表易感者，灰色代表感染者，黑色代表死亡者。当t=0时，大部分Agent处于易感状态，只有极少数Agent为感染者，他们成为这次仿真实验的传播源头。随着时间的推进，传染病在传染源周边首先扩散开来，部分Agent最终死亡，但也有些Agent在患病后又康复，重新进入易感状态，还有些Agent自始至终一直保持易感状态，从未进入过传染病传播系统。最终，所有Agent均丧失了传播病毒的能力，退出传播系统。由于在本实验中未考虑防控措施，所以系统中死亡人数偏多。

3.1 仿真实验参数设定

本实验基于以上的模型设定，主要从传染病二次传染的传染率、异质性传播群体的比例这2个维度，讨论其对于整个传播过程的交互影响。实验各参数设置如表1所示。表1参数的设置是经过反复的试验确定的，与典型传播情景保持一致。

表1 仿真实验的主要参数设定

如表1所示，对照实验分别细分为以下几种情形，第二次感染率分为4种情况：不存在第二次感染(δ12=0、δ22=0)，低于第一次感染率(δ12=0.1、δ22=0.15)，等于第一次感染率(δ12=0.2、δ22=0.3)，高于第一次感染率(δ12=0.3、δ22=0.45)；人群比例分为5种情况：均为第二类的极端情况(v1=0)，第二类群体占主导(v1=0.25)，各占一半的中间情况(v1=0.5)，第一类群体占主导(v1=0.75)，均为第一类的极端情况(v1=1)，以上指标各交互实验一次，共计实验20小项。每个实验的仿真回合为100，为保证实验结果的代表性，每个实验重复20次，对其结果取平均。

3.2 实验结果分析

相关结果汇总如图4、图5所示。图4展示了每组实验过程中，感染者比例与累计感染者比例随时间的变化情况，图5则展示了每组实验Tmax、I(t)max和W(t)max的值随异质性人群比例以及二次感染率变化的情况。

图4 I(t)与W(t)的变化情况

如图4所示，异质性人群比例以及二次感染率均会对重复性传染病的扩散结果造成影响。由实验参数设定可知，第一类群体的感染率低于第二类群体，当第一类人群占比逐渐增加时，感染者比例以及累计感染者比例均减小，并且增速变缓；横向比较各图不难发现，感染者比例以及累计感染者比例均随着二次感染率的增高而增加，当该传染病不存在二次感染现象时，传染病的扩散范围更是明显缩小。各组实验的具体相关数据如图5所示。

表2 二次传染率对传染病传播影响的方差分析

从图5的数据及方差分析结果可以看出，随着第一类人群占比的增加，感染者比例到达峰值的时间逐渐推迟，意味着传播速度变缓；感染的人数明显下降，以等于第一次感染率实验为例，感染者比例依次下降到全为第二类人群的极端情况下的88.6%、81.0%、67.3%、56.7%，方差分析结果显著；累计感染者比例受二次感染率影响不明显，但也呈现依次下降趋势。因此，在管理工作中，要着重关注老年、婴幼儿等免疫力低下的人群，传染性疾病在这些群体中传播速度更快，造成的后果更严重。另外，我国人口老龄化的特征逐渐显现，因此更要重视传染病带来的威胁。

图5 Tmax、I(t)max和W(t)max的变化情况

横向比较各图可知，随着第二次传染率的提升，感染者比例到达峰值的时间并无明显变化，方差分析结果也不显著；而感染人数逐渐增加，以2类人群各占一半的中间情况为例，感染者比例依次增加到不存在二次感染情况下的132.4%、163.2%、176.1%，累计感染者比例依次增加154.8%、160.8%、163.0%，方差分析结果均显著。这就意味着,具有重复传染特征的传染病在管理和控制上的难度比一般传染病要大，尤其是由于病毒变异等原因导致二次感染率增加的传染病。因此，对于这种具有重复传染性的传染病，在防控过程中更要提高警惕，以免造成更多的人被传染，甚至丧命。

综合图片分析及方差分析结果可以看出，二次传染率和异质性人群比例对各测量指标的交互影响效果十分显著。因此，在防控工作中双管齐下，可以达到更好的防控效果。

结合实际情况，对实验结果进一步讨论如下：

1)对于Tmax来说，在本次实验中，受二次传染率的影响并不明显，而受异质性人群比例的影响十分明显，因此针对类似的传染病的管理举措中，想要遏制传染病的快速传播，可以从传播人群下手。例如在传染病的传播初期就提出高质量、高效率的个人防护措施，可以让潜在的传播人群变成低感染率、高免疫力的“第一类人群”。

2)基于图4及图5的数据可以看出，无论二次感染率是高还是低，只要传染病存在二次感染的现象，感染人数就会出现急速增长的趋势。仅从实验就可以看出具有重复性传染特征的疾病对于人类健康的威胁以及对于管控和防治工作的挑战。针对此类疾病，疫苗是比较有效的防止措施，若无法在短时间内通过疫苗达到防止患者二次感染的目的，便要时刻保持警惕，实现疫情防控工作的常态化。

3)人口老龄化是我国现阶段的基本国情，结合实验结果来看，易感群体中感染率高的人群所占比例越大，传染病的传播速度就越快，患病人数也越多，而老年人恰好是高感染率、低免疫力的“第二类群体”，因此，控制老年患者数量无疑是防治传染病的一个关键突破口，通过减少老年易感者的患病人数，提升这些患者的治愈率，可以更有效地遏制传染病的传播势头，减少传染病引起的不良后果。而一旦忽视老年传染病患者的防控和救治，不仅会存在伦理方面的问题，还会影响更多人的健康，给整个社会带来严重的负担。

4 结束语

4.1 研究结论

本文主要研究了具有重复性传染特征的传染病在异质性群体中的传播，建立了与此现象符合的SI1SI2R模型。研究问题贴近现实，也提醒人们在管理和防控此类传染病时要加大力度，早发现、早隔离、早治疗，即使患者痊愈也丝毫不能掉以轻心，避免造成二次甚至多次的传播。另外，实验设计没有仅针对单一的易感群体，而是考虑到易感人群的免疫力或其他因素对疾病传播过程的影响，体现出传播群体的异质性。另外，本文也讨论了不同的二次感染率对传染病传播过程的影响，体现了传染病重复传染的危害性。

实验方面，本文首先探究了具有重复传染特性的传染病在异质性群体中的传播规律，实验结果表明，群体的异质性不仅会影响传染者的比例和累计比例，还会影响传染者比例达到峰值的时间；随着感染率低的人群占比逐渐降低，感染者比例和累计比例都出现了快速增长的趋势。其次，讨论了传染病的二次感染率对感染者人数的影响，实验结果表明，在二次传染率还较低时，累积的感染人数已经出现大量增加的情况，这对相关部门的管理工作、对人民群众的生命安全都会产生巨大的影响。因此，要增强群众的防护意识，降低传染病多次传染的可能性。

4.2 研究展望

由于本文的研究还存在一定的局限性，未来关于此类的研究可以基于以下几个方面：首先，本文以网格中的Von Neumann邻域来模拟现实世界中的社交网络，但事实上人与人之间的交往关系要更加复杂，社交网络存在动态性变换，因此，可以考虑更加契合现实的动态网络来模拟真实的人际关系网络。其次，本文的实验仅仅将传染人群分为2类异质性群体，但现实中的传染群体的种类更加复杂多样，可以考虑其他不同组合的传染人群。再次，人与人之间的物理距离也是影响传染病传播的重要因素，之后的研究可以考虑个体之间的物理距离，并可以通过增加个体的移动性来改变其物理距离。最后，传染病的仿真研究还可以加入防治措施、医疗资源等控制变量，探究防控资源对传染病的传播过程产生的影响等。