基于改进电极敏感场的ECT 图像重建算法研究*

龚 君王 丽周 涛

(1.正德职业技术学院机电工程系，江苏南京 211106；2.东南大学能环学院，江苏南京 210096)

电容层析成像(Electrical Capacitance Tomography，ECT)技术是一种基于电容传感器机理的无损检测技术[1-2]，其原理是将均匀分布于管道外壁电极之间的电容值采集到计算机，然后通过相应的图像重建算法将管道中的介质分布情况以可视化图像形式呈现[3-4]。该技术以其非侵入、无辐射、成本低、安全性能好等优点在石油、化工、冶金等领域[5]具有广泛的应用前景。

针对目前电容层析成像技术中重建图像质量有待提高的问题，可以从增加电容投影数据[6]和改进图像重建算法2 个途径来解决此问题。由于ECT 技术在求解过程中需要将电容值作为投影数据来进行敏感场内介质分布情况的重建，而电极数目对投影数据起着重要的影响，因而将对该参数进行优化从而提高成像质量。另外，图像重建算法也是反问题求解的关键技术之一，针对经典图像算法中灵敏度场分布不均匀而影响成像精度的问题，将经典图像算法LBP 算法和Landweber 迭代算法中的灵敏度矩阵进行了均值滤波处理，从而在一定程度上提高了中心区域的灵敏度而降低了极板区域附近的灵敏度，使得灵敏度场分布更加均匀，图像重建精度进一步提高。

1 电容层析成像技术的成像原理

电容层析成像技术的成像的数学原理可以概括为正问题和反问题[7]，如图1 所示。

图1 正问题与反问题框图

正问题是在已知传感器的结构参数和管道中介质分布先决条件下，求解各电极相互组合形成的电容值[8]，可用式(1)所示的数学模型表示:

式中:Cij表示i极板和j极板之间的电容值，ε(x，y)表示管道截面的介电常数分布，D为管道截面面积，Sij((x，y)，ε(x，y))表示当(x，y)点处的介质分布为ε(x，y)时i-j极板对间电容的灵敏度场分布。

反问题则通过测量得到的电容数据和已建立的数学模型对被测介质分布进行求解[9]，可用式(2)所示数学模型表示:

式中:λ是m维的归一化电容向量，m为独立电容数目；g是n维归一化介电常数分布向量，也表示图像灰度分布，n为成像区域像素个数；S为m×n阶矩阵，表示灵敏度分布矩阵。

可以依据正、反问题来提高图像重建质量。正问题将通过增加电极数目来优化电容传感器结构，反问题将对图像重建算法进行改进，这些改进方法最终对图像质量造成影响，而图像质量可以通过重建图像和原始图像之间的图像差异程度来评价，即图像误差，可用式(3)表示:

式中:g和分别代表原始图像和重建图像灰度值，该值可以反映图像重建的精度，该值越小，表示图像重建精度越高。

2 不同电极数目的成像仿真与比较

对于N个电极的电容传感器，采用单电极激励模式时，将产生M＝N(N-1)/2 个独立电容。传统ECT 系统中电容传感器的电极数目通常是8 个，独立电容数目为28 个，本研究将电极数目增加至12电极，独立电容增加为66 个。图2 所示为8 电极和12 电极的二维截面模型，图3 所示为8 电极与12电极时管道中介质为低介电常数，即空管与介质全部为高介电常数，即满管情况下的电容值曲线图，以及与之对应电极之间电容变化量的曲线图，图4 所示为8 电极和12 电极不同流型的成像结果对比。

图2 8 电极和12 电极二维截面模型图

由图3 可知，电极数目增加表示各极板之间相互组合形成的独立电容数目增加，即用于图像重建的投影数据增加，这会改善图像重建的欠定性。

由图4 可以得出，12 电极的重建图像更接近真实图像，中心介质边缘更为清晰，多物体流型也更容易区分，图像重建误差比8 电极的小，成像效果更为理想，因此极板数目的增多有利于重建图像质量的提高。但是电极数目不断增加，能够反映对介质敏感程度的电容变化量随之减小，而且电极数目的增加也会增加计算量，因此，经过综合考虑，电极数目不能无限增加。

图3 8、12 电极空满管电容值及变化量曲线图

图4 8 电极和12 电极成像结果对比图

3 图像重建算法

3.1 灵敏度均值滤波处理

由式(2)可知，灵敏度场是ECT 技术中反问题求解的关键，该参数最终会影响成像质量。研究将围绕优化后的12 电极电容传感器的灵敏度场展开研究，因此将有66 个独立电容值，对应有66 个敏感场，总的敏感场分布可用灵敏度矩阵S表示。排布在ECT 传感器管道外壁的极板是均匀对称分布的，因此将会形成6 种典型的灵敏度矩阵分布。6 种未作任何处理的灵敏度分布如图5 所示。

由图5 可知，传感器灵敏度分布中心低周围高，分布非常不均匀，并且还存在一些尖峰值，这将造成ECT 系统对管道内部各处的分辨率差异较大，从而影响图像重建的精度。针对该问题，将通过均值滤波的方法对原始灵敏度矩阵进行改进，使得灵敏度场更加均匀，从而进一步改善重建图像质量。

均值滤波的原理是采用模板计算的思想，选择某一包含N个像素的模块作为滤波模块，将该模块覆盖的所有像素点的平均值用作该模块的中心像素，假设第e个像素的位置就是模板中心，均值滤波后像素点e的灵敏度可表示为:

Sa(i，j)(e)表示第e个像素点经过均值滤波处理后的灵敏度，S(i，j)(k)表示第k个像素点未处理的灵敏度值，邻近像素点的灵敏度差异通过均值滤波的方法变小，该方法可起到均匀灵敏度场分布的作用。

图5 处理前的部分极板间灵敏度分布图

图6 所示为经过均值滤波处理的部分极板间灵敏度场分布。由该图可知，相较于原始灵敏度场管道中心区域，灵敏度值显著提高，同时在一定程度上消除了原始灵敏度场中局部区域的尖峰值。

图6 处理后的部分极板间灵敏度分布图

3.2 LBP 算法及其改进

线性反投影算法，即LBP 算法是一种线性单步重建算法，具有计算量小、简单快速的特点。该算法实质是将某点的所有投影射线进行累加，然后再把射线积分均匀地反投影到射线所经过的各点[10]。电容值作为投影数据，其个数远小于像素个数，因此求解时存在病态问题，于是该算法采用ST作为S-1的近似解，线性反投影算法的表达式如下:

式中:表示归一化后的电容矢量，ST表示灵敏度矩阵的转置矩阵，g表示灰度向量。

为了改善该算法带来的边缘模糊现象，需对LBP 算法做如下阈值处理:

t的求解公式如式(7)所示:

式中:AVG 是平均因子，λij为灵敏度矩阵S的奇异值。

LBP 算法的改进是通过将均值滤波处理后的灵敏度矩阵取代原始算法中的灵敏度矩阵，即改进后LBP 算法公式为:

Sa表示均值滤波处理后的灵敏度矩阵。

3.3 Landweber 迭代法及其改进

Landweber 迭代法以最速下降法作为其数学基础，该算法目标是将数据的迭代残差最小化，即得到最小化目标为[11-13]:

以灰度值g作为自变量，优化的目标函数为:

其梯度为:

按最优化理论原理，以负梯度作为迭代方向，迭代公式为:

式中:αk表示迭代步长，通常可取为固定迭代步长α，其取值范围在之间。

Landweber 迭代法的改进与LBP 算法改进类似，同样用滤波处理后的灵敏度矩阵取代原始灵敏度矩阵，则改进后的迭代公式为:

式中:Sa表示均值滤波处理后的灵敏度矩阵。

4 仿真实验对比

为验证算法的有效性，采用数值仿真法来进行图像重建的仿真实验，最终以图像重建误差error 作为重建图像质量的衡量标准，见图7 和图8。

图7 改进前后的LBP 算法成像结果对比图

图8 改进前后的Landweber 迭代法成像结果对比图

ECT 传感器采用12 电极敏感阵列，采用COMSOL Multiphysics 4.2 有限元分析软件对传感器3 种典型介质分布建模，成像介质介电常数设为3，最终得到66 个独立电容用于图像重建，并利用MATLAB 软件编程构建66×4 096 维的灵敏度矩阵，改进前后的LBP 算法和Landweber 迭代法成像结果图如图7 和图8 所示，由图可知，改进后的2 种算法的重建图像效果更为理想，中心介质更加清晰，多个介质的流型也更易区分，图像边缘更加清晰，较之于原始算法图像误差，2 种改进后的算法图像误差均变小，因此图像重建精度提高，且相比于LBP 算法，Landweber 迭代法整体成像效果更为理想。

5 结论

通过数值仿真实验对电容层析成像技术的正问题和反问题分别进行了改进。通过增加电极数目来增加投影数据从而提高重建图像质量，并且在12 电极敏感阵列的基础上对灵敏度场进行均值滤波处理，从而使得灵敏度场靠近极板区域与中心区域差异减小，分布更加均匀，基于改进后的灵敏度场对经典图像算法LBP 算法和Landweber 迭代法进行了改进，仿真结果表明改进后的2 种算法较之于原始算法，成像精度提高，且2 种算法中，改进后的Landweber 迭代法成像效果更好。