水平井分段多簇压裂裂缝扩展数值模拟

何右安，高武彬，路 敏

(1.长庆油田分公司勘探开发研究院，陕西 西安 710018；2.低渗透油气田勘探开发国家工程重点实验室，陕西 西安 710018)

采取水平井开发和大规模水力压力投产是非常规油气资源开发的重要手段[1-5]，然而水平井多级压裂过程中的裂缝扩展容易受到地应力、裂缝间的相互作用和施工参数等因素的影响[6-8]，因此，预测和模拟多簇压裂裂缝扩展动态规律对确保水平井多级压裂效果十分重要。经典裂缝理论模型包括KGD模型[9]和PKN糢型[10]，在此基础上学者们提出了拟三维模型[11-13]和全三维模型[14]，但这些模型主要用于描述单条裂缝扩展。此后，许多学者借助各种数值模拟方法如Cohesive单元法、扩展有限元法和离散元法等[15-18]来描述非常规储层中多裂缝同时扩展的复杂形态，这些研究模拟的裂缝多为二维形态，并且将注入地层中的压裂液视为纯液体，没有考虑实际压裂液中有支撑剂的存在，导致模拟结果与现场实际结果存在较大差异，难以直接应用于现场优化设计。三维位移不连续法[19]能够很好地描述岩体的三维变形，并且只需要对边界区域(即裂缝面)进行剖分，可极大减少计算量，同时省去了对远离裂缝区域的多余计算，节省大量计算空间，非常适用于描述致密非常规储层的三维裂缝扩展形态。因此，基于三维位移不连续法，分别考虑压裂液、支撑剂在井筒和水力裂缝中的流动，结合J井建立了三维分段多簇压裂数值模型，采用Newton-Raphson法求解数值模型，并分析了压裂液排量、黏度、砂比和簇间距等工程因素对多裂缝扩展的影响。

1 分段多簇压裂裂缝扩展数值模型

1.1 井筒部分

1.1.1 压裂液在井筒中的流动

井筒中流体流动的质量守恒方程见式(1)[20-21]。

(1)

井筒中支撑剂的质量守恒方程见式(2)[22-23]。

(2)

1.1.2 压裂裂缝在井筒壁上起裂判断

当井筒内压力达到破裂压力时，此时井周周向应力大于抗拉强度，岩石发生拉伸破坏，裂缝开始沿壁面起裂，见式(3)。

(3)

式中：p为井筒内压力，MPa；pb为破裂压力，MPa；σmin为最小水平主应力，MPa；σmax为最大水平主应力，MPa；St为抗拉强度，MPa；pw为地层压力，MPa；α为Biot常数；v为泊松比，无量纲；φ为孔隙度，%。

1.2 裂缝部分

1.2.1 采用位移不连续法求解应力应变

三维模型与二维模型相比增加了裂缝维度。对于二维空间，裂缝采用线段表征，而在三维空间中，裂缝为二维平面。传统的二维模型认为裂缝高度为常数，当裂缝能够很好约束在目标层时，该假设是合理的，但是当纵向相邻层束缚不足，裂缝很有可能会穿过目标层位进入其他地层中。压裂的层理模型认为地层由不同厚度的水平层组成，每一层有特定的力学属性和应力大小。相比于简单的二维模型，本文中的拟三维模型能够提供裂缝高度这一关键信息，而相较于全三维模型，拟三维模型可以显著节省计算时间。

在本文建立的拟三维模型中，裂缝在Oxy平面的变形采用位移不连续法求解，裂缝高度采用Cell-Based model计算[24]，即裂缝的高度由当前位置裂缝的压强决定，该位置裂缝形态满足截面弹性力学判据。

采用位移不连续量计算裂缝中任意点的应力应变和位移，公式见式(4)[25]。

(4)

式中，f、g为分别为沿裂缝单元的格林函数积分，下标表示对不同方向的微分。f、g计算见式(5)。

(5)

式中：ux为x方向位移分量，m；uy为y方向位移分量，m；σxx为xx方向应力分量，MPa；σyy为yy方向应力分量，MPa；τxy为xy方向剪切应力，MPa；G为剪切模量，MPa；Ds为切向位移不连续量；Dn为法向位移不连续量。

1.2.2 裂缝流动控制方程

裂缝中流体流动的质量守恒方程见式(6)[26]。

(6)

式中，w为裂缝宽度，m。

裂缝中支撑剂流动的质量守恒方程见式(7)。

(7)

式中，ρp为支撑剂密度，kg/m3。

1.2.3 裂缝扩展方向判断

采用线弹性断裂力学中的最大周向应力判断裂缝扩展方向，将式(8)求导取零即可求得裂缝扩展方向[27]。

(8)

式中：σθ为周向应力，MPa；r为距离，m；θ为角度，(°)；KI为I型应力强度因子，MPa·m0.5；KII为II型应力强度因子，MPa·m0.5。

1.3 流固耦合求解方法

流体方程中的流体压力p、裂缝宽度w通过全隐式耦合求解，支撑剂体积分数等其他参数可在时间步层面上迭代求解。在裂缝还未从井筒壁面上起裂时，模型求解流程见图1(a)；裂缝起裂后，模型求解流程见图1(b)。

图1 模型求解过程Fig.1 Model solving process

1.4 模型验证

为验证建立的数值模型在计算多条裂缝同时扩展下的可靠性，计算了两条裂缝同时扩展的情况(图2(a))，其中虚线代表压裂裂缝，实线代表井筒所在位置，Sh为最小水平主应力，SH为最大水平主应力。考虑到多裂缝扩展并没有现存的解析解，将计算结果与WU等[28]的研究成果进行了对比，结果如图2(b)所示。对于两条裂缝同时扩展的情况，由于缝间应力干扰，造成裂缝间相互排斥，从而远离彼此向外扩展，裂缝路径呈现排斥形态，对称分布于井筒两侧。

从图2(b)可以看出，本文的计算结果与WU等的计算结果符合性良好，证明本文建立的数值模型可靠性较好。

图2 两条平行裂缝同时扩展Fig.2 Two parallel cracks spread simultaneously

2 J井实例与裂缝扩展影响因素研究

2.1 J井案例分析

J水平井最小水平主应力为60～65 MPa，井筒沿着最小水平应力方向延伸；最大水平主应力为70～75 MPa，杨氏模量为43～47 GPa，泊松比范围为0.25～0.27，裂缝断裂韧性为5 MPa·m0.5。J井第1压裂段～第4压裂段分别有2簇射孔、3簇射孔、2簇射孔和2簇射孔，模型中等效为第1压裂段～第4压裂段分别有2条、3条、2条和2条水力裂缝，簇间距为20 m， 段间距为30 m， 如图3所示。施工注入压裂液排量为14 m3/min、注入量为2 000 m3，压裂液黏度为10 mPa·s，平均砂比为10%，单段压裂时间为150 min，施工压力曲线如图4所示。基于采用建立的位移不连续法多裂缝扩展数值模型，采用以上数据，模拟结果如图5所示。由图5可知，压裂后形成九条三维水力裂缝，并且每条裂缝尺寸不一，主要表现为中间压裂段裂缝长度和宽度受到限制，为更好地指导现场压裂设计，有必要开展工程因素对裂缝扩展参数敏感性分析。

图3 第1压裂段～第4压裂段示意图Fig.3 Schematic diagram of fracturing section from No.1 to No.4

图4 第1压裂段～第4压裂段施工曲线Fig.4 Operation curve of fracturing section from No.1 to No.4

图5 多段压裂模拟结果Fig.5 Simulation results of multi-stage fracturing

2.2 排量

压裂液注入排量对于压裂施工与裂缝延伸具有重要影响。 排量分别设置为14 m3/min和28 m3/min，为保证不同情况下总注入液量相等，排量为28 m3/min时的单段压裂时间缩减为原来的一半。结果表明(图6)，随着注入排量的增加，各簇水力裂缝宽度增大，而长度变短，表明高注入排量条件下更易产生短宽型水力裂缝。此外，注入的压裂液排量越大，缝内流体压力越高，越有利于裂缝高度扩展，但裂缝长度会一定程度减小，压裂裂缝宽度也随排量增加而增加。说明大排量施工有利于形成短而宽的裂缝，有利于加砂，在压裂优化设计中应考虑。

图6 排量为2倍时多段压裂模拟结果Fig.6 Simulation results of multi-stage fracturing with 2 times displacement

2.3 黏度

黏度分别设置为10 mPa·s和20 mPa·s，模拟黏度对裂缝扩展的影响，结果如图7所示。从图7可以看出，黏度对裂缝扩展的影响规律与排量类似。压裂液黏度越大，各簇水力裂缝宽度增大，而长度变短，表明高压裂液黏度条件下更易产生短宽型水力裂缝。这是由于压裂液黏度越大，压裂液在裂缝内流动的摩阻也越大，促使裂缝内流体净压力提高，从而使裂缝宽度增大。

图7 压裂液黏度为2倍时多段压裂模拟结果Fig.7 Simulation results of multi-stage fracturing when the viscosity of fracturing fluid is 2 times

2.4 簇间距

簇间距的大小决定了裂缝间应力干扰的强弱。模拟当簇间距分别为20 m和40 m时的裂缝延伸形态。模拟结果(图8)表明，随着簇间距增大，中间裂缝(特别是第2簇)扩展越充分，缝长越长。这是由于簇间距越大，缝间诱导应力干扰越小，有利于中部裂缝的扩展，随着簇间距增大，各裂缝宽度增加，这是由于应力阴影减小，减弱了周边裂缝的相互挤压。

图8 簇间距为2倍时多段压裂模拟结果Fig.8 Simulation results of multi-stage fracturing when cluster spacing is 2 times

2.5 砂比

模拟了当砂比分别为10%和20%时的裂缝延伸形态(图9)。从图9中可以看出，支撑剂运移距离小于裂缝扩展长度。这是由于随着砂比增加，压裂裂缝中支撑剂分布浓度增大，即支撑剂的体积分数增大，导致流体黏度增大，同时裂缝远端缝宽变小，裂缝内流体流动受阻，因此支撑剂运输距离小于裂缝长度。与不注入支撑剂相比，压裂裂缝高度变高，长度变窄，是由于加入支撑剂可改变流体黏度和密度。此外还可以看出，高砂比压裂下不一定能够获得更大的有效支撑面积，要获得更大的有效支撑裂缝面积，需要对各项施工参数进行综合优化设计，以获得最优压裂效果。

图9 砂比为2倍时多段压裂模拟结果Fig.9 Simulation results of multi-stage fracturing when sand ratio is 2 times

3 结 论

1) 高黏度、高排量的压裂容易形成宽而短的裂缝，这类裂缝允许大颗粒的支撑剂流入，更利于形成高导流通道，而低黏度和低排量压裂会产生较窄而长的裂缝，可能会影响支撑剂的运移，进而影响压裂效果。

2) 随着砂比增加，压裂裂缝高度增加，长度变短，此时压裂裂缝中支撑剂分布浓度增大，导致流体黏度增大，同时裂缝远端缝宽变小，裂缝内流体流动受阻，可能会导致砂堵。

3) 簇间距设计对裂缝扩展影响较大，簇间距增大应力阴影效应减小、裂缝更容易独立扩展；簇间距减小应力阴影效应变大、中间裂缝扩展会受到抑制。