不可约复特征标的顶点

靳平，赵建楠

（山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006）

0 引言

设G为有限群，F是特征为素数p的代数闭域，在研究群代数FG上不可直和分解的模时，Green[1]对每个不可分模M定义了一个p-子群，称之为M的顶点，证明了顶点子群是共轭唯一的，特别是借助顶点子群建立了著名的Green对应。在现代模表示的发展中，Green的顶点理论发挥了重要作用，获得了广泛而深刻的应用。因为单FG-模与其不可约Brauer特征标彼此唯一确定，故对每个不可约的Brauer特征标φ∈IBrp(G)均可相应地定义其顶点，由此得到Green顶点理论的特征标版本，为解决Brauer特征标的相关问题提供了一种强有力的技术工具。关于顶点的研究可以参考文献[2-6]。

当G为π-可分群时，Isaacs在一系列文章中建立了特征标的π-理论[7-9]，把关于素数p的不可约Brauer特征标推广为关于素数集合π的不可约π-部分特征标，简称为Iπ-特征标，全体记为Iπ(G)。特别地，如果取π={p}′为素数p在所有素数集合中的补集时，则 IBrp(G)=Iπ(G)，表明 Isaacs 的特征标π-理论包含了p-可解群的Brauer特征标理论。类似地，Isaacs和 Navarro 在[10]中也建立了Iπ-特征标的顶点理论，作为应用得到了Alperin权猜想的分块计数定理。Lewis在[11]中也研究了Iπ-特征标的顶点理论。

鉴于模特征标的顶点理论之极端重要性，人们自然期望把该理论“提升”到复特征标的情形，即设法建立不可约复特征标χ∈Irr(G)的顶点理论。其重要性和价值是显而易见的，因为在群表示理论中，诱导技术始终处于核心地位，但特征标的诱导过程又极其复杂，而顶点子群在诱导下保持不变，故可视为诱导过程的“不变量”，从而在某种程度上控制了诱导模式，可用来研究很多重要的特征标问题。事实上，Navarro[12]首先引入了不可约复特征标χ的正规原核(W，γ)，其中γ为W的一个π-可分解的特征标，即γ∈Fπ(W)，据此定义χ的一个顶点为特征标对 (Q，(γπ′)Q)，其中Q为W的一个 Hallπ′-子群，而γπ′为γ的π′-特殊的因子，并证明了如此“正规顶点”的共轭唯一性。类似地，使用次正规原核（见[7，13]）亦可定义χ的所谓“次正规顶点”，并建立相应的共轭唯一性。此外，Lewis[14]使用正规列也发现了一种顶点理论，并给出若干应用。值得指出的是，目前文献中出现的若干顶点理论，无论是定义还是性质，一般而言是不相同的，但这些顶点子群和顶点特征标都是从某种类型的Fπ-诱导过程构造而来。关于原核理论可参考文献[15]。

为了获得顶点子群和顶点特征标的统一构造模式，Cossey[16]对π-可分群G的每个不可约复特征标χ∈Irr(G)，均定义了“广义顶点”，即所有如此的特征标对(Q，α)，源自χ的某个Fπ-诱导对(W，γ)，使得Q∈ Hallπ′(W)而α=(γπ′)Q。简单计，本文称这些Cossey意义下的顶点为Cossey顶点。尽管Cossey给出反例说明这些广义顶点一般不是共轭唯一的，但在某些附加条件下，Cossey在[16]中的主要定理即证明了上述顶点的共轭唯一性。因为Cossey定理的内容是关于Brauer特征标的，我们将其改写成下述更为一般的Iπ-特征标版本。

Cossey顶点定理设G为奇数阶群，χ∈Irr(G)为一个π-提升的特征标，即χ0∈ Iπ(G)，则χ的所有Cossey顶点(Q，α)彼此共轭。

值得指出的是，Cossey在该文构造了两个反例，用以说明G为奇数阶群的条件，以及χ为π-提升的条件，均不可或缺。

本文的主要内容是推广上述Cossey顶点定理，设法减弱G为奇数阶群的假设，在更为一般的π-可分群中建立Cossey顶点的共轭唯一性。事实上，我们可以证明如此的顶点尽管不是共轭唯一的，但相差一个符号特征标（即满足δ2=1G的线性特征标δ）。方便起见，我们称群G的两个特征标对(Q，α)和(R，β)是“线性共轭的”，如果存在某个元素g∈G以及符号特征标λ∈Irr(G)，使得Qg=R且αg=λβ。显然，当λ=1G为主特征标时，特征标对的线性共轭等同于共轭，即(Q，α)g=(R，β)，故线性共轭是共轭关系的推广。当G为奇数阶群时，则χ(1)为奇数，并且奇数阶群的符号特征标只能是主特征标，由此可知本文主定理显然推广了上述Cossey顶点定理，相关的概念和符号见本文第二节。

定理A设G为π-可分群且2∉π，χ∈Irr(G)为一个π-提升的特征标，并且χ(1)为奇数，则χ的所有Cossey顶点(Q，α)彼此是线性共轭的。

为了进一步说明我们引入线性共轭关系的合理性，可重返Iπ-特征标情形（自然也包含了p-可解群的Brauer特征标的顶点理论）。因为2∉π，故群G的所有符号特征标在π-元素集合G0上的限制均平凡，由此表明线性共轭关系在Iπ-特征标理论中即等同于共轭关系。

推论B设G为π-可分群且2∉π，χ∈Irr(G)为φ∈Iπ(G)的一个提升，并且χ(1)为奇数，则χ的所有Cossey顶点子群恰为φ的所有顶点子群。

本文所使用的群和特征标的符号与术语，分别采用Isaacs的两本经典教材[17]和[18]。关于特征标的π-理论，则参考Isaacs的最新专著[13]。

1 预备知识

我们先给出所需的特征标π-理论中若干基本概念和结果。

定义1设G为π-可分群，χ∈Irr(G)。如果χ(1)为π-数，并且对G的每个次正规子群S以及χ的每个不可约分量θ∈ Irr(S)，均有o(θ)为π-数，则称χ为π-特殊的特征标，简称为Xπ-特征标，全体记为 Xπ(G)。

下述Fπ-特征标的定义和性质，在构造不可约复特征标的顶点时具有基本的重要性。

定义2设G为π-可分群，χ∈Irr(G)。如果χ=αβ，其中α∈Xπ(G)而β∈Xπ′(G)，则称χ为G的一个π-可分解的特征标，简称为Fπ-特征标。G的所有 Fπ-特征标的集合记为 Fπ(G)。

根据Gajendragadkar乘积定理（见[13]中定理2.2），在上述定义中，如果χ∈Fπ(G)，则其因子α和β均由χ唯一确定，分别称之为χ的π-特殊因子和π′-特殊因子。在本文中我们将依次记为χπ和χπ′。

我们需要π-特殊特征标的若干性质，特别是在限制和诱导下的动态。下述两个结论亦可见原始文献[8]，其中δ(G，H)为子群H在G中的π-标准符号特征标，其定义相当复杂，反映了H在G中的嵌入信息，相关性质亦可见Isaacs最新专著[13]。

下述结果表明π-特殊的特征标在诱导过程中出现了符号特征标的干扰现象，比较复杂，证明分别可见[13]中的定理2.29和定理7.25。

引理 1设G为π-可分群且 2∉π，H≤G，ψ∈Irr(H)使得χ=ψG∈Irr(G)。

（1）如果χ∈ Xπ(G)，则δ(G，H)ψ∈ Xπ(H)。

（2）如果δ(G，H)ψ∈ Xπ(H)，并且 |G：H|为π-数，则χ∈Xπ(G)。

然而，尽管在下述引理中π-特殊的特征标在限制过程不出现符号特征标的干扰，但其证明仍然要借助符号特征标的深刻性质，证明可见文献[13]中的定理7.26。

引理 2设G是π-可分群且 2∉π，χ∈Xπ(G)。如果H≤G且ψ=χH∈Irr(H)，则ψ∈Xπ(H)。

下述引理的主要用途是减弱奇数阶群的条件，见[13]中推论 5.4。

引理 3设G为π-可分群且2∉π，如果φ∈Iπ(G)为实数值的，并且φ(1)为奇数，则φ为主特征标，即φ=1G0。

我们需要关于Xπ-特征标的一个扩张定理，属于其经典扩张定理的简单推论。

引理4设G为π-可分群，U≤G且|G：U|为π′-数。如果β∈Xπ(U)可扩张到G上，则存在唯一的χ∈ Xπ(G)使得χU=β。

证明任取H为U的一个Hallπ-子群，从条件|G：U|为π′-数可知H也是G的一个Hallπ-子群。根据Gajendragadkar限制定理（见[13]中定理2.10），则α=βH不可约，故α亦可随β扩张到G上。再由[13]中推论3.15，可知α在G上存在唯一的扩张χ∈Xπ(G)。此时仍从限制定理可知χU∈Xπ(U)，并且χU和β均为α在U上的Xπ-扩张，迫使χU=β。

现在给出Cossey顶点的定义。简单计，如果χ∈Irr(G)可从子群U诱导 ，即χ=ψG，其 中ψ∈Irr(U)，则称(U，ψ)为χ的一个诱导对。进而，如果还有ψ∈Fπ(U)，则称(U，ψ)为χ的一个Fπ-诱导对。

定义3设G为π-可分群，χ∈Irr(G)为G的一个不可约复特征标，任取(U，ψ)为χ的一个Fπ-诱导对 ，令Q∈ Hallπ′(U)，则称 (Q，(ψπ′)Q)为χ的 一 个Cossey顶点。

根据π-特殊特征标的Gagendragadkar限制定理（见[13]中定理 2.10），可知 Fπ-特征标ψ的π′-特殊的因子ψπ′，在U的 Hallπ′-子群Q上的限制 (ψπ′)Q仍为不可约的，故上述Cossey顶点为G的一个特征标对。

最后需要说明的是，因为χ∈Irr(G)总存在本原诱导对（即ψ为本原特征标），而本原诱导对显然是Fπ-诱导对，故χ的Cossey顶点总是存在的，但一般而言缺乏共轭唯一性。此外，在本文定理A的证明中，我们还要用到Navarro在[12]中建立的正规原核理论，鉴于其复杂性，在此不拟叙述相关的概念和结果，所引用的结论均可参考该文。

2 主要结果

设G是π-可分群，如果χ∈Irr(G)是φ∈Iπ(G)的一个提升，简单计，我们称χ为π-提升的特征标，记为χ∈Lπ(G)。

引理5设G是π-可分群且2∉π，χ∈Lπ(G)且χ(1)为奇数。如果(U，ψ)为χ的一个 Fπ-诱导对，则ψ(1)为π-数。

证明因为ψ为 Fπ-特征标，故ψ=ψπψπ′，令β=ψπ′，我们只需证β(1)=1。事实上，从ψG=χ∈Lπ(G)可知

表明β0∈Iπ(U)。熟知π′-特殊的特征标β在U0的取值只能是有理数，从而β0为实数值的。注意到β0(1)=β(1)可整除χ(1)，故为奇数，应用引理 3，则β0为主特征标，所以β(1)=1。

在考虑Fπ-诱导对时，我们需要研究π′-特殊因子的限制性质。

引理6设G是π-可分群且2∉π，χ∈Fπ(G)且χ(1)为π-数。如果(U，ψ)为χ的一个Fπ-诱导对，则(χπ′)U=δ(G，U)ψπ′。

证明令λ=χπ′。已知χ(1)为π-数，故λ为线性特征标，并且|G：U|及ψ(1)均为π-数。注意到

为π-特殊的特征标，根据引理 1，则乘积ξ=δ(G，U)ψλ-1U也是π-特殊的特征标。因为ψ=ψπψπ′为Fπ-特征标，条件 2∉π表明符号特征标δ(G，U)显然是π′-特殊的，故δ(G，U)ψπ′λ-1U仍为π′-特殊的。由此表明ξ也是 Fπ-特征标，并且ξ∈ Xπ(U)，迫使ξπ′=1U，即δ(G，U)ψπ′λ-1U=1U，等价于λU=δ(G，U)ψπ′。

下面考虑Fπ-诱导对何时提供一个Fπ-特征标。

引理 7设G是π-可分群且 2∉π，χ∈Irr(G)。再设ψ∈Fπ(U)使得 (δ(G，U)ψ)G=χ。如果 |G：U|为π-数，并且ψπ′可扩张到G上，则χ∈ Fπ(G)。

证明根据引理4，从条件ψπ′可扩张到G上，可知其存在一个π′-特殊的扩张γ，即γU=ψπ′。我们有

由此表明α=(δ(G，U)ψπ)G不可约，并且从引理 1（2）可知α∈Xπ(G)，故χ=αγ恰为一个Fπ-特征标。

我们需要考虑Fπ-特征标的Clifford对应何时也是一个 Fπ-特征标。

引理8设G是π-可分群且2∉π，χ∈Fπ(G)且χ(1)是π-数。任取N⊲G，并且θ∈Irr(N)在χ的下方 ，令ψ∈Irr(Gθ|θ)是χ的 Clifford 对 应 ，则ψ∈Fπ(Gθ)且ψ(1)也是π-数。

证明因为χ为Fπ-特征标，故其正规分量θ也是 Fπ-特征标。已知χ(1)是π-数，亦即λ=χπ′为线性特征标。熟知 (N，θπ)≤(G，χπ)且 (N，θπ′)≤(G，λ)，从而θπ′=λN为G-不变的 ，迫使Gθ=Gθπ∩Gθπ′=Gθπ。设ξ∈Irr(Gθ)为χπ关于θπ的 Clifford 对应，则ξG=χπ。因为 2∉π，从引理 1（2）可知δ(G，Gθ)ξ为π-特殊的特征标。显然π′-特殊的线性特征标λ在任何子群（例如Gθ）上的限制仍为π′-特殊的特征标，并且

注意到λ也在θπ′上方，故ξλGθ也在θ上方，根据Clifford对应的唯一性，我们有

但上述已证δ(G，Gθ)ξ为 Xπ-特征标，由于π-标准符合特征标δ(G，Gθ)自动是π′-特殊的，故δ(G，Gθ)λGθ也是π′-特殊的，表明ψ即为一个Fπ-特征标。最后，从χ(1)=|G：Gθ|ψ(1)可知ψ(1)也是π-数。

以下是Fπ-诱导对的一个替换技术，即把Fπ-诱导对放置在某些正规子群的上方。

引理9设G是π-可分群且2∉π，χ∈Lπ(G)且χ(1)是奇数。如果N⊲G使得χN的不可约分量均为 Fπ-特征标，任取χ的一个 Fπ-诱导对(U，ψ)，均有|NU：U|为π-数。

证明设 (N，θ)≤(G，χ)，按假设θ∈Fπ(N)。因为N⊲G，故存在χ的正规原核(W，γ)使得

熟知χ的正规原核(W，γ)均为其一个Fπ-诱导对，根据引理 5，则γ(1)和ψ(1)均为π-数。此时从θ(1)整除γ(1)可知θ(1)也是π-数。特别地，θ0∈Iπ(N)具有π-次数，并且从ψG=χ可知(ψ0)G=χ0∈Iπ(G)，表明(U，ψ0)是χ0的一个π-次数诱导对。再使用[13]中引理5.21，即得 |NU：U|也是一个π-数。

我们还需要下述技术性引理，给出了Fπ-特征标的判别方法。

引理10设G是π-可分群且2∉π，χ∈Lπ(G)且χ(1)是奇数。再设G=NH，其中N⊲G且H≤G，使得χN的任意不可约分量θ均为Fπ-特征标，并且χ=ψG，对某个ψ∈Fπ(H)，则χ∈Fπ(G)，进而(χπ′)H=δ(G，H)ψπ′。

证明如果χ∈Fπ(G)，则从引理5可知χ(1)为π-数，再从引理 6 得到 (χπ′)H=δ(G，H)ψπ′。由此表明我们只需证明第一个结论即χ∈Fπ(G)，为此，我们依次对|G：H|和|N|做归纳法。

如果N=1，则G=H，此时χ=ψ为 Fπ-特征标，结论成立，故可设N＞1。任取N/K是G的一个主因子，令D=N∩H，我们区分几种情形。

（1）假设KD=N。此时G=NH=KDH=KH且 |K|＜ |N|，因为χK的不可约分量均为 Fπ-特征标，故从归纳假设可知χ也是Fπ-特征标，所证结论成立。

（2）假设KD＜N。令X=KD，则K≤X＜N。根据引理 9，则 |G：H|为π-数，故 |N：D|也是π-数，从而 |N：X|＞ 1为π-数，导致N/K为π-群。但已知2∉π，所以N/K为奇数阶群，从而可解，故主因子N/K只能是交换群，迫使X⊲N。显然H可正规化X，而G=NH，我们有X⊲G，只有X=K。此时D≤K＜N。

（3）假设D＜K＜N。注意到χK的所有分量均和θK的不可约分量共轭，故均为Fπ-特征标，并且从χ∈ Lπ(G)为π-提升的，可知ψKH也是π-提升的，即ψKH∈Lπ(KH)。因为|KH：H|＜ |G：H|，从归纳假设可知ψKH为 Fπ-特征标。进而，再从 |G：KH|＜ |G：H|，仍从归纳假设推出χ为Fπ-特征标，结论成立。如图1所示。

图1 Fπ-特征标Fig.1 Fπ-Character

（4）假设K=D。由Mackey公式，存在某个η∈Irr(K)同时在θ和ψ的下方，此时η显然是Fπ-特征标。根据引理5可知ψ(1)为π-数，但上述已证|G：H|为π-数，故χ(1)=|G：H|ψ(1)也是π-数，导致θ(1)和η(1)也都是π-数。由此表明θπ′和ηπ′均为线性特征标，并且θπ′显然是ηπ′到N上的典范扩张。进而，不难看出ψπ′也是线性特征标，从而也是ηπ′的一个扩张。特别地，从G=NH可知ηπ′必然是G-不变的，迫使θπ′也是G-不变的。 根据特征标限制的对应定理（见[13]中引理2.11），则特征标限制给出了从 Irr(G|θπ′)到 Irr(H|ηπ′)的一个双射，据此可知ψπ′∈ Irr(H|ηπ′)可扩张到G上。

根据[13]中引理2.35，在此情形下，我们有δ(G，H)=det(((1H)G)H)。令λ=det((1H)G)，则λH=δ(G，H)，即符号特征标δ(G，H)在此约化环境中可扩张为G的线性特征标λ。此时

使用引理7，则λχ为G的一个Fπ-特征标，从而χ也是Fπ-特征标。至此完成证明。

有了上述准备，现在可证本文定理A。方便起见，我们重述如下。

定理1设G是π-可分群且2∉π，χ∈Lπ(G)且χ(1)是奇数，则χ的所有Cossey顶点构成一个线性共轭类。

证明我们对|G|作归纳，分两种情形讨论。

（1）χ是G的一个Fπ-特征标。

因为χ∈Lπ(G)，根据引理5，则χ(1)是π-数。设(U，ψ)为χ的任意一个Fπ-诱导对，则|G：U|也是π-数，故U的Hallπ′-子群Q自动为G的Hallπ′-子群。再根据引理6，可知(χπ′)U=δ(G，U)ψπ′，所以(χπ′)Q=λ(ψπ′)Q，其中λ=(δ(G，U))Q，表明χ的两个 Cossey顶点(Q，(χπ′)Q)和 (Q，(ψπ′)Q)是线性共轭的，故所证结论成立。

（2）χ不是G的Fπ-特征标。

仍设(U，ψ)为χ的任意一个Fπ-诱导对，并且Q为U的一个 Hallπ′-子群，按定义(Q，(ψπ′)Q)即为χ的一个Cossey顶点。根据[12]中推论2.3和推论2.4，存在一个特征标对(N，θ)≤(G，χ)，使 得N⊲G且θ∈Fπ(N)，并且Gθ＜G。设η∈Irr(Gθ|θ)为χ的Clifford对应，从ηG=χ可知(η0)G=χ0∈Iπ(G)，迫使η0∈Iπ(Gθ)，即η∈ Lπ(Gθ)。显然η(1)整除χ(1)，故为奇数。因为 |Gθ|＜ |G|，故归纳假设推出η的所有Cossey顶点彼此是线性共轭的。以下我们将证明χ的上述 Cossey 顶点 (Q，(ψπ′)Q)和η的一个Cossey顶点也是线性共轭的，据此完成所证。

事实上，根据引理 9，则 |NU：U|是π-数。再由引理 5，可知ψ(1)也是π-数。令ξ=ψNU，则ξ(1)=|NU：U|ψ(1)也是π-数。又因为ξG=(ψNU)G=ψG=χ∈ Lπ(G)，不难看出ξ0∈Iπ(NU)，即ξ∈ Lπ(NU)。使用引理 10，则ξ∈ Fπ(NU)并且(ξπ′)U=δ(NU，U)ψπ′，再限制到Q上得到 (ξπ′)Q=(δ(NU，U))Q(ψπ′)Q。因为Q也是NU的一个Hallπ′-子群，故上式表明ξ的Cossey顶点(Q，(ξπ′)Q)和χ的Cossey顶点(Q，(ψπ′)Q)是线性共轭的。我们只需证ξ的Cossey顶点(Q，(ξπ′)Q)和η的一个Cossey顶点也是线性共轭的，为了简化符号，可进一步假设NU=U，此时ξ=ψ且N≤U。如有必要，再把θ替换为其某个共轭，使得θ在ψ的下方，在此情形下，我们有(N，θ)≤(U，ψ)≤(G，χ)。

设Uθ=Gθ∩U为θ在U中的惯性群，并且γ∈Irr(Uθ|θ)为ψ关于θ的Clifford对应，则γU=ψ。特别地，从ψ(1)为π-数，可知 |U：Uθ|也是π-数。注意到Q是U的Hallπ-子群，做适当的共轭替换，可进一步要求Q≤Uθ。根据引理8，从ψ∈Fπ(U)具有π-次数可知γ∈Fπ(Uθ)也有π-次数，并且γG=(γUθ)G=ψG=χ，表明(Uθ，γ)也是χ的一个 Fπ-诱导对。再由引理 6，则(ψπ′)Uθ=δ(U，Uθ)γπ′。进而，我们有(ψπ′)Q=δ(U，Uθ)Q(γπ′)Q，据此可知χ的两个 Cossey 顶点(Q，(ψπ′)Q)和(Q，(γπ′)Q)是线性共轭的。剩下的只需证明 (Q，(γπ′)Q)和η的一个 Cossey 顶点也是线性共轭的，简单计，我们可用(U，ψ)代替(Uθ，γ)，即进一步假设θ是U-不变的，迫使U≤Gθ。注意到ψG=χ不可约，故ψGθ也不可约，不仅在θ的上方，而且在χ的下方，根据Clifford对应的唯一性，迫使，表明 (U，ψ)也是η的一个 Fπ-诱导对，故(Q，(ψπ′)Q)按定义也是η的一个 Cossey顶点，至此完成证明。

按引言中定理A后面的说明，符号特征标在奇数阶元素的取值均为1，故在π-元素集合G0上的限制均平凡（因为2∉π，从而G0中的元素均为奇数阶），所以在Iπ-特征标情形，特征标对线性共轭即等同于通常的共轭关系，故从定理A可直接导出推论B。