Taylor公式求极限时“阶”的分析

吕志宇

【摘要】Taylor公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，其充分运用“无限接近”这一数学理论，将一些复杂的数学函数转化为简易的多项式函数，是数学函数中最基本的理论.本文阐述Taylor公式，分析并归纳Taylor公式求极限的具体方法，以期为初学者提供理论参考.

【关键词】Taylor公式;极限;“阶”

引 言

在高等数学中，极限通常是讨论数学函数的基础方式，是解析数学函数的基本形式，还是数学微积分中重点学习的内容.在学习数学函数时，学生掌握求取极限的基本方法尤为重要.应用泰勒公式求取函数极限是高等数学学习的重点.Taylor公式作为表达数学函数的一种基本形态，其将“无限接近”作为解析数学函数的基本思想理论，让繁杂函数以多项式数学函数形态呈现出来，为数学函数解析提供多重解析方法.在运用Taylor公式过程中，未定式极限计算是其重点与难点，更是专升本考试中的一个重要考点.为进一步了解Taylor公式在求极限时的具体应用，本文主要就Taylor公式求极限时“阶”的具体计算进行分析.

一、Taylor公式求極限时“阶”的具体分析

1.Taylor公式求极限时的具体应用

1.1利用Taylor公式展开求极限

在求极限过程中我们可以将其中一项应用泰勒公式展开，将原复杂函数转化为多项式函数形式来求极限.

例 求limx→∞x-x2ln1+1x.

解 根据泰勒公式展开，ln1+1x=1x-12x2+13x3-1[]4x4+…，

其中x指数最高为2，

因此原极限=limx→∞x-x2×1x-12x2+o1x2=limx→∞x-x+12-o1x2[]1[]x2=12.

1.2求满足Taylor公式的θ的极限

例 如果f′（x）在D上存在连续导函数，f ″（x）≠0，那么对于x0+h∈D有 f（x0+h）=f（x0）+hf′（x0+θh）（0<θ<1），求limh→0 θ.

解 已知f（x0+h）=f（x0）+hf′（x0+θh），

那么应用泰勒公式可得出

f（x0+h）

=f（x0）+hf′（x0）+12f ″（x0+θ1h）h2，

两式相减可得到

hf′（x0+θh）-hf′（x0）

=12f ″（x0+θ1h）h2，

limh→0f′（x0+θh）-f′（x0）h

=limh→012f ″（x0+θ1h）=12f ″（x0），

又因为 limh→0f′（x0+θh）-f′（x0）h=limh→0f′（x0+θh）-f′（x0）θh×θ=f ″（x0）limh→0 θ=1[]2f ″（x0），

所以limh→0 θ=12.

同理，如果已知

f（x0+h）=f（x0）+hf′（x0）+12f ″（x0+θh）h2，

那么应用泰勒公式可得

f（x0+h）=f（x0）+hf′（x0）+12f ″（x0）h2+16f （x0+θ1h）h3，

两式相减可以得到 f ″（x0+θh）h2-f ″（x0）h2=13f （x0+θ1h）h3，

即f ″（x0+θh）-f ″（x0）θh×θ=13f （x0+θ1h），limh→0f ″（x0+θh）-f ″（x0）θh×θ=limh→013f （x0+θ1h），

最终得到f （x0）limh→0 θ=13f （x0），

所以limh→0 θ=13.

二、Taylor公式求极限时的方法

1.实例分析

在应用泰勒公式求极限时，一般情况下需要解决三个问题：一是函数具体需要在哪个点上进行泰勒展开，即需要明确展开泰勒公式所需要的函数点;二是泰勒公式需要展开到第几次幂结束，一般情况下，泰勒公式通常是展开至展开系数无法相互抵消为止;三是在应用泰勒公式展开过程中，具体需要应用哪种带有余项形式的泰勒公式.通常情况下，在计算未定式极限时，使用已知的麦克劳林公式较为常见，且并不需要客观评估余项，因此只需选择皮亚诺型余项.

例 求极限limx→∞x-x2ln1+1x.

具体分析 由题目可知从极限变化过程为x→∞，归属于∞-0×∞类型，这与洛必达法则定理不相符.其中x和x2皆是x的幂的形式，因此可以将ln1+1x展开成泰勒公式，由于x→∞时，1x→0，因此只需使用ln（1+u）在点u=0处的泰勒公式展开式，同时令u=1x便可.

然而

x2ln1+1x

=x21x-12x2+13x3+o1x3，

将泰勒公式展开至三次幂是因为

x-x2ln1+1x

=x-x21x-12x2+13x3+o1x3=12+o1x

的系数无法相互抵消，因此

limx→∞x-x2ln1+1x

=limx→∞x-x21x-12x2+13x3+o1x3=limx→∞12+o1x=12.

在应用泰勒公式过程中，如果一般形式为f（x）xk或者xkf（x），那么f（x）展开至x的k次方，遵循上下同阶原则;如果一般形式为f（x）-g（x），那么将f（x），g（x）分别展开至其系数不相等的最低次幂为止.

2.错解分析

在计算极限过程中，应用泰勒公式能够快速解出答案，十分适用.但是在应用泰勒公式时，学生必须要掌握精准的计算技巧.学生在实际计算过程中极易计算错误，并且很难发现错误之处，这给学生掌握用泰勒公式求极限造成一定难度.再举一例.

例 用泰勒公式求極限limx→0ex（x-2）+x+2sin 3x.

错误解答 原式=limx→01+x+x22（x-2）+x+2x3=limx→012x3x3=12.

具体分析 以上解答表面看上去十分正确，实则存在多处错误.如在展开时没有写余项，此处乃初学者常犯错误之一.其实，按照正确计算方式将展开

至二阶ex=1+x+x22+o（x2），

ex（x-2）+x+2=1+x+x22+o（x2）（x-2）+x+2=x32+o（x2）=o（x2），（x→0）

此刻再代入原式中问题便凸显出来了，实际上，

limx→0ex（x-2）+x+2sin 3x=limx→01+x+x22+o（x2）（x-2）+x+2x3=limx→012x3+o（x2）x3≠12.

讨论：泰勒公式求极限时具体展开至几阶才算合适？

将ex泰勒公式展开至一阶，ex=1+x+o（x），那么

ex（x-2）+x+2=1+x+o（x）（x-2）+x+2=x-2+x2-2x+o（x）+x+2=x2+o（x）=o（x），（x→0）

进而

limx→0ex（x-2）+x+2sin 3x[ZK（]=limx→0（1+x+o（x））（x-2）+x+2x3=limx→0o（x）x3，[ZK）]

不存在正常极限.

将ex泰勒公式展开至三阶

ex=1+x+12！x2+13！x3+o（x3），

则ex（x-2）+x+2=1+x+12！x2+13！x3+o（x3）（x-2）+x+2=16x3+o（x3），（x→0）（1）将ex泰勒公式展开至nn≥4阶，那么

ex=1+x+12！x2+13！x3+14！x4+…+1n！xn+o（xn），

ex（x-2）+x+2=1+x+12！x2+13！x3+14！x4+…+1n！xn+o（xn）（x-2）+x+2=12x3-26x3+13！x4-24！x4+14！x5+…+o（xn+1）=16x3+o（x3），（x→0）（2）

因此，由（1）（2）综合可得

limx→0ex（x-2）+x+2sin 3x=limx→016x3+o（x3）x3=16+limx→0o（x3）x3=16.

综上所得，应用泰勒公式求00型的limx→0f（x）-g（x）xa形式的极限，具体有以下几点结论：一是如果将分子展开至小于a阶时，那么得不到正确极限;二是如果将分子展开至a阶，那么可以得到正确极限，而且计算快速方便，较为节约时间;三是如果将分子展开至大于a阶，那么可以得到正确极限，但是比较浪费时间，精力.

3.题型分类探讨

类型1

limx→0f（x）-g（x）xa=limx→0cxa+oxaxa=c.（1.1）

例 使用泰勒公式求极限：

limx→0exsin x-xx+1xsin x·tan x.

解 原式=limx→01+x+x22+o（x2）x-16x3+o（x3）-xx+1x3=limx→0x-16x3+x2+12x3+o（x3）-x-x2x3=13.

类型2

limx→0xaf（x）-g（x）=limx→0xadxa+oxa=limx→01d+oxaxa=1d.（1.2）

例2 使用泰勒公式求极限：

limx→0x4ln1+sin 2x-632-cos x-1.

解

原式=limx→0x4x2-56x4+o（x4）-616x2-124x4+o（x4）=limx→0x4-712x4+o（x4）=-127.

公式（1.1），（1.2）的积为类型3：

limx→0f（x）-g（x）u（x）-v（x）=limx→0cxa+oxadxa+oxa=limx→0c+oxaxad+oxaxa=cd.

4.结论

根据以上分析讨论可得以下几点结论：一是对于单侧极限x→0+，x→0-，以上分析讨论完全有效;二是当存在x→+∞，x→-∞，x→∞情况时，可以将变量进行替换，如t=1x，将其转化为x→0+，x→0-，x→0;三是当出现极限为0和无穷情况时，仍然可以使用泰勒展开式求极限，分别对应（1.1）中c=0和（1.2）中d=0的情况.

例 使用泰勒公式求极限：

limx→0cos x-e-x22x2.

解 由于cos x-e-x22=1-x22！+o（x2）-1-x22+o（x2）=o（x2），

同时根据公式（1.1）可得知

limx→0cos x-e-x22x2=limx→0o（x2）x2=0.

注：应用洛必达法则可以验证此结论，实际上有

limx→0cos x-e-x22x2=limx→0-sin x+xe-x222x=limx→0-cos x+e-x22-x2e-x222=0.

根据公式（1.2）可得知

limx→0x2cos x-e-x22=limx→0x2o（x2）=∞.

结 语综上所述，泰勒公式是一种将复杂函数转化为多项式函数的公式，在求取函数极限时发挥着至关重要的作用.在应用泰勒公式求极限过程中，泰勒公式应用条件较为苛刻，限制性较大，函数必须是n阶可连续函数，且求取的函数值与函数阶数息息相关，阶数越小，最终结果误差便会越大.因此，在应用泰勒公式求极限时，要注意分析题意，了解题目特点与函数形式，准确把握泰勒公式基本规律，熟练掌握应用泰勒公式求取极限时的方法与技巧.

【参考文献】

[1]陈叻，赵向青，吴涛.Taylor公式求极限时“阶”的分析[J].高等数学研究，2019（05）：16-18.

[2]黄辉.巧用等价无穷小与泰勒公式求极限[J].江西电力职业技术学院学报，2019（04）：50-51，54.

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