基于一道向量问题的解题思考

陈扬帆

【摘要】向量所具备的“几何”与“代数”属性让向量问题更值得研究.向量问题一直是这几年浙江高考的热门问题，其中对“向量的模”的考查更为丰富，本文以此为切入点，从数与形两个角度解析向量问题.

【关键词】向量;模;数形结合

近几年向量问题仍是高考的重要考查内容，不少试题呈现出高立意、宽角度、多视点的特点.由于向量同时具备着“代数”和“几何”的两重性，因此学生对向量问题往往难以把控和掌握.笔者将通过一道向量问题，谈谈几种平面向量问题的解题策略.

例1 设向量a，b满足|a+b|=2|a-b|，|a|=3，则b的最大值是，最小值是.

策略1：小题小做，取特殊位置——a与b共线.

（1）当a与b同向时，若|a|≥|b|，则|a|+|b|=2（|a|-|b|），即|a|=3|b|=3|b|=1;

若|a|<|b|，则|a|+|b|=2（|b|-|a|），即|b|=3|a||b|=9.

（2）当a与b反向时，若|a|≥|b|，则|a|-|b|=2（|a|+|b|），即|a|=-3|b|=3不存在;

若|a|<|b|，则|b|-|a|=2（|b|+|a|），即|b|=-3|a|不存在.

∴|b|∈[1，9].故|b|的最大值是9，最小值是1.

分析：这种解法对于小题而言显得“性价比”极高.学生从平时的题海训练中可以发现：向量问题的最值往往在特殊位置取到，如共线、垂直等.学生如果抓住这点，那么很多题目都可以迅速抓到“要害”，快速并且准确地求解.当然，特殊位置法有风险，需要进一步验证和证明，但不失为考试解题的一个方向.

策略2：代数想法：向量模的问题——平方策略.

（a+b）2=4（a-b）23|a|2+3|b|2-10|a|·|b|cos θ=0

27+3|b|2-30|b|cos θ=0

cos θ=27+3|b|230|b|=9+|b|210|b|∈[-1，1]，

∴|b|∈[1，9].故|b|的最大值是9，最小值是1.

分析：这是本题的常规想法，模的问题可以利用平方转化为纯代数的问题，化简得到关于b与cos θ的关系，再借助三角函数的有界性，得到b的范围.

策略3：巧用图形，用几何解释.

令OA=a，OB=b，如图1，

|OD|=2|AB||OE|=2|AE|.

想法3.1：已知三角形边长之间的关系，求其中一边的范围——余弦定理.

设∠OEB=θ，|AE|=m，则|OE|=2m，在△OEB与△OEA中，

cos θ=m2+4m2-|b|24m2，cos（π-θ）=m2+4m2-324m2，得到|b|2=10m2-9，

因为2m+m≥3，2m-m≤3，所以1≤m≤3，

所以|b|2∈[1，81]，所以|b|∈[1，9].故|b|的最大值为9，最小值为1.

想法3.2：建立平面直角坐标系，回归坐标运算.

以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图2，A（3，0），设B（x，y），则D（x+3，y）.

想法3.2.1： 由|OD|=2|AB|，得（x+3）2+y2=4[（x-3）2+y2]，即（x-5）2+y2=16，

即B点的轨迹为以（5，0）为圆心，4为半径的圆（如图2），∴|b|∈[1，9].故|b|的最大值为9，最小值为1.

想法3.2.2：由|OE|=2|AE|，且|OA|=3，可知E点的轨迹为以（4，0）为圆心，2为半径的圆，即E：（x-4）2+y2=4（如图2），

因为E是A，B的中点，故设B（x，y），则Ex+32，y2，代入（x-4）2+y2=4，

故B：（x-5）2+y2=16，∴|b|∈[1，9].故|b|的最大值为9，最小值为1.

分析：几何特征是向量的重要特征，用好向量的几何意义往往能使问题剑走偏锋，迎刃而解.策略3的两个想法均基于几何角度，将向量的模转化为平行四边形的边长.切入点一旦找到，接下来的想法就源源不断了.这里笔者给了两个方向，一是根据平行四边形与三角形边长之间的关系，利用余弦定理及函数思想，得到b的范围;二是将问题坐标化，坐标化之后，由|OE|=2|AE|，可以看出E点的轨迹为以（4，0）为圆心，半径为2的圆，借助E点的轨迹方程求出B点的轨迹，再求b的范围，也可以直接由|OD|=2|AB|设B点坐标得到B点的轨迹.

策略4：换元调整.

令x=a+b，y=a-ba=x+y2，b=x-y2，则|x|=2|y|，|x+y|=6，求x-y2的范围.

想法4.1：三角不等式.

|y|=|x|-|y|≤|x+y|=6≤|x|+|y|=3|y|，即2≤|y|≤6;

∴2≤|y|=|x|-|y|≤|x-y|≤|x|+|y|=3|y|≤18，

∴x-y2∈[1，9]，即|b|∈[1，9].故|b|的最大值为9，最小值为1.

想法4.2：再次换元——三角换元.

设x=（2acos θ，2asin θ），y=（acos α，asin α），

则x+y=（2acos θ+acos α，2asin θ+asin α），

∴（2acos θ+acos α）2+（2asin θ+asin α）2=36，化简得5a2+4a2cos（θ-α）=36;

∴cos（θ-α）=36-5a24a2∈[-1，1]，∴a2∈[4，36]，

∵x-y=（2acos θ-acos α，2asin θ-asin α），∴|x-y|2=5a2-4a2cos（θ-α）=10a2-36∈[4，324]，∴x-y2∈[1，9]，即|b|∈[1，9].故|b|的最大值为9，最小值为1.

分析：这种换元其实是一种仿射变换，通过这样的变换，将已知条件简单化，模与模的关系更加清晰，给这道题带来了新的突破口.这里笔者提供了两个思路，一是借助三角不等式，二是再借助三角换元.

我们可以发现，这道向量题与2017年浙江数学高考第15题有着异曲同工之妙，上述的诸多解题策略同样适用于高考题，教师也可以顺着这条思路再谈谈对高考向量题的想法.

例2 （2017浙江高考15）已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，则|a+b|+|a-b|的最小值是，最大值是.

策略1：三角换元：令b=（2cos θ，2sin θ），a=（1，0），

|a+b|+|a-b|=5+4cos θ+5-4cos θ∈[4，25]，故最小值是4，最大值是25.

策略2：令x=a+b，y=a-ba=x+y2，b=x-y2，已知|x+y|=2，|x-y|=4，求|x|+|y|的范围.

想法2.1：平方，|x+y|2+|x-y|2=20，得到|x|2+|y|2=10，

由基本不等式得（|x|+|y|）2≤2（|x|2+|y|2）=20，∴|x|+|y|≤25，

由三角不等式得：|x|+|y|≥max{|x+y|，|x-y|}=4.故所求的最小值是4，最大值是25.

想法2.2：建系，坐标化.此处略.

结 语其實在解题过程中，如果能抓准一道题的切入点，就能找到解题的入口.而切入点正是由平时的例题、作业训练慢慢积累和错误中产生的.正如阿贝尔说，“精巧的论证常常不是一蹴而就的，而是人们长期切磋积累的结果，我也是慢慢学来的，而且还要继续不断地学习”.教师同样也和学生一样，需要在不断积累中找寻更好的数学方法.

【参考文献】

[1]陈志江.培育四种意识 突破向量解题[J].数学通讯，2014（Z4）.