次酉极因子的扰动界

涂媛媛，尚旭东

(南京师范大学泰州学院 数学科学与应用学院,江苏 泰州 225300)

近年来学者们对矩阵扰动的研究很有兴趣.论文主要利用广义极分解和奇异值分解讨论次酉极因子的扰动界,提出了

F

范数下新的扰动界,并与文献[1]中取

F

范数时的结果进行比较,发现论文的结果改进了原有结论,并利用文献[2]中新的换子不等式,对李仁仓的研究结论重新给出证明,论文的证明更加简洁.

定义

设∈×，有分解=，

(1)

若∈×是次酉矩阵,∈×为半正定阵,则这一分解叫作的广义极分解. 当

r

<

n

时,因子是不唯一的.

(2)

(3)

则=是的广义极分解.

(4)

(5)

(6)

Δ

=[

α

,

β

]⊂,

Δ

′=/(

α

-

δ

,

β

+

δ

),

δ

>0.

‖‖≤‖‖/

δ

，

(7)

引理4

设∈×,∈×是正规矩阵,并且

=diag(

δ

,…,

δ

)≥,

如果矩阵,满足下面条件

d

()-

d

()≥，

i

=1,2,…,

r

,

(8)

则

(9)

1 主要结果

(10)

又

所以,有

同理可得

因而

令

则

且

证毕.

注

当引理3中酉不变范数取

F

范数时,其结果为

(11)

比较(11)，(10)式,有

因而,定理1在酉不变范数取为

F

范数的情况下改进了文献[1]中定理3.1的结果.

其中

=,

需要说明的是,该结论已由李仁仓在文献[6]给出,论文下面给出简短的证明.

即