一个新四维超混沌系统及其在图像加密中的应用*

黄迎久

(内蒙古科技大学 工程训练中心，内蒙古 包头 014010)

随着互联网技术的快速发展，图像、视频等多媒体信息已成为网络传输的主要信息载体，同时其安全问题也成为网络安全方面的热点课题.由于混沌系统具有初值敏感、伪随机数离散度高等优点，目前已被广泛应用于信息安全领域，尤其在图像加密[1-5]方面.但是低维的混沌系统由于具有较低的Lyapunov指数和狭小的混沌区间等缺陷，使得在图像加密算法中容易导致密钥空间偏小和离散度偏低等漏洞，因此，运用低维混沌系统的图像加密算法极有可能被成功破解[6-9].近几年的研究表明，基于混沌系统的图像加密算法，其安全性很大程度依赖于混沌系统动力学行为的复杂性，而四维以上的超混沌系统其动力学行为更为复杂，是目前图像加密算法的主要应用系统[10-13].

文中新构建了1个四维的超混沌系统，具有较高的Lyapunov指数，更为宽广的混沌区间，能够克服密钥空间偏小等缺陷.文中的图像加密算法结合了与明文相关联的方法，将图像分块分解，并采用了两轮次不同的置乱和扩散过程.

1 新构建的四维超混沌系统

(1)

式中：当a=14，b=36，c=7,m=4，p=-1，k=-10时，式(1)处于超混沌状态，部分相图如图1所示.

2 基本动力学行为分析

2.1 耗散性

对于式(1)，有

(2)

根据耗散性理论可知，式(1)将以e△t指数速度收敛，当t→∞时，系统的体积元V会以e△t的速率趋近于零，所以式(1)为耗散性系统，因此确定式(1)存在混沌吸引子.

图1 系统相图(a)x-y-z方向；(b)x-y-w方向；(c)x-z方向；(d)y-z方向

2.2 平衡点

(3)

得(0,0,0,0)为式(3)的唯一解，因此，P(0,0,0,0)为式(1)仅有的1个平衡点，则在平衡点P的雅可比(Jacobian)矩阵为：

(4)

设λ为特征根，I为四阶单位矩阵，求解行列式|λI-J|=0，得到4个特征根：λ1=-18.465 2，λ2=1.732 6+8.659 3i，λ3=1.732 6-8.659 3i，λ4=-9.其中，λ2和λ3均具有正的实数部分，根据Routh-hurwitz判断条件，确定平衡点P(0,0,0,0)为不稳定的鞍点.因此，系统存在混沌吸引子.

2.3 Lyapunov指数

Lyapunov指数是衡量非线性动力系统混沌状态的1个重要的指标系数.当具有1个正的Lyapunov指数时，为混沌状态；当具有2个或以上正的Lyapunov指数时，为超混沌状态.

图2 Lyapunov指数谱图

2.4 庞加莱截面分析

庞加莱截面上的截点分布形状，可以验证非线性动力系统的混沌状态.若截面上出现大量截点，并且呈现片状且具有分形的结构时，则系统处于混沌状态.

图3为x-z和y-z方向上的庞加莱截面图.图中的大量截点呈现分支形状，因此确定式(1)处于混沌状态.

图3 庞加莱截面图(a)x-z方向；(b)y-z方向

3 图像加密算法

图像加密流程如图4所示.测试图像选用分辨率为256×256的灰度图Airport，Lena和Peppers，图像加密效果如图5所示.

图4 图像加密流程图

图像加密算法具体过程如下：

(1)将明文图像P平均分解为4个分块P1，P2，P3，P4.

(2)第一次置乱.将P1，P2，P3，P4对应的像素点按以下方法进行对换位置.

取P1中的像素点P1(i1,j1)：

若(i1+j1)mod4=1，则P1(i1,j1)与P2(i1,j1)进行对换；若(i1+j1)mod4=2，则P1(i1,j1)与P3(i1,j1)进行对换；若(i1+j1)mod4=3，则P1(i1,j1)与P4(i1,j1)进行对换.

取P2中的像素点P2(i2,j2)：

若(i2+j2)mod4=2，则P2(i2,j2)与P4(i2,j2)进行对换；若(i2+j2)mod4=3，则P2(i2,j2)与P3(i2,j2)进行对换.

取P3中的像素点P3(i3,j3)：

若(i3+j3)mod4=0，则P3(i3,j3)与P4(i3,j3)进行对换.

(3)任取超混沌系统的一组初始值，如(x0=0.1,y0=0.1,z0=0.1,w0=0.1)，带入式(1)，采用四阶龙格-库塔迭代法，迭代N次(N>500)，取出一组迭代的值{x(N-100),y(N-100),z(N-100),w(N-100)}，根据以下公式分别将其转换为整数：

i(x(N-100)×264+w(N-100)×264)mod128 ，

(5)

j(y(N-100)×264+z(N-100)×264)mod128 .

(6)

(4)从P1，P2，P3，P4中各自1个像素点Pm(i,j)，m=1,2,3,4.根据以下公式生成4个值k1，k2，k3，k4.

(7)

得到一组密钥key={x0+k1,y0+k2,z0+k3,w0+k4}.

获取明文图像P的高度H与宽度W，利用密钥key结合根据四阶龙格-库塔迭代法，迭代式(1)20 000次，获取4个长度均为H×W的伪随机序列S1，S2，S3，S4.

利用以下公式将4个伪随机序列转换为4个H×W的二维矩阵M1，M2，M3，M4.

Mi=(|Si|×264)mod256，i=1,2,3,4 .

(8)

(5)按照明文图像分解的方法，将M1和M2分别分解为与P1，P2，P3，P4同样大小的4个矩阵M11，M12，M13，M14；M21，M22，M23，M24.

共享云。包含外文期刊数据库元数据、外文期刊（含纸本）元数据、外文期刊论文元数据、外文期刊核心目录元数据、外文期刊论文引文元数据等若干元数据，主题规范词表、学科规范词表、机构规范词表以及管理统计分析指标体系、管理统计分析系统。

(6)第一次扩散.根据下列公式将P1，P2，P3，P4中每一个像素点的值进行变换.

C1=(P1⊕M11)mod256⊕M21

C2=(P2⊕M12)mod256⊕M22

C3=(P3⊕M13)mod256⊕M23

C4=(P4⊕M14)mod256⊕M24.

(9)

(7)第二次扩散.将M3和M4分别分解为与C1，C2，C3，C4同样大小的4个矩阵M31，M32，M33，M34；M41，M42，M43，M44.根据下列公式将C1，C2，C3，C4中每1个像素点的值进行变换.

Q1=((C1⊕M31)+M41)mod256

Q2=((C2⊕M32)+M42)mod256

Q3=((C3⊕M33)+M43)mod256

Q4=((C1⊕M34)+M44)mod256 .

(10)

(8)第二次置乱.按Q1，Q3，Q2，Q4的顺序合并成为1个H×W的矩阵T，顺时针旋转90°；而后采用根据文献[14]改进的Z字形变换，对矩阵T进行置乱，如图6所示.

图5 Airport加密与解密效果图(a)明文图像；(b)加密图像；(c)还原图像

图6 Z字形变换图

最终得到的T矩阵就是加密图像的像素矩阵.

加密图像的解密过程为图像加密的逆过程，这里就不重复叙述.

4 仿真测试

4.1 密钥空间分析

若式(1)的密钥K={k1,k2,k3,k4}.其中k1，k2，k3，k4是由明文分块P1，P2，P3，P4中各取1个像素点计算而生，若明文图像分辨率为256×256，各分块大小均为128×128，按64位CPU的计算能力来估算，密钥K的每一个分量的浮点数运算精度均可达到1064，其则密钥K的取值空间至少可达到232×10256，可见密钥空间足够大，完全可以抵御针对密钥的暴力破解.

4.2 直方图分析

由于明文图像的相邻像素点之间具有一定的关联关系，所以其直方图一般表现为波浪形状，而加密图像的相邻像素点间的相邻关系已被彻底打乱，因而其像素点均匀而密集分布在1个矩形区域内.

图7为测试图像Lena的明文图像直方图与加密图像直方图.

图7 Lena直方图(a)明文图像直方图；(b)加密图像直方图

4.3 相关系数分析

相关系数是衡量相邻像素之间关联性的1个指标系数.相关系数越趋近于1，相邻像素点之间的相关性越高；相关系数的值越趋近于0，相邻像素点之间的相关性越低.加密图像的相关系数越低，就表明加密算法的安全性越高.相关系数的计算公式如下：

(11)

(12)

(13)

(14)

式(12)～(14)中：xi和yi为2个相邻像素点的灰度值，N(N≥4000)为选取像素点的样本数.

表1 相关系数测试结果表

从表1的测试结果可以确定：加密图像的相关系数都趋近于0，表明加密算法已彻底破坏了相邻像素点之间的关联关系，使得加密图像中很难直接获取明文图像的原始像素，可见文中加密算法的性能优于文献[15]，[16]，[17]的加密算法.

图8，9为测试图像Peppers的明文图像和加密图像的相邻像素相图，其中横、纵坐标均代表像素点的灰度值.

图8 Peppers明文图像相邻像素方向相图(a)水平方向；(b)垂直方向；(c)对角方向

图9 Peppers加密图像相邻像素方向相图(a)水平方向；(b)垂直方向；(c)对角方向

图8中，像素点都密集地聚集在1条线段上，也证实了明文图像的相邻像素点之间具有密切的关联性；图9中，加密图像的像素点都散布在1个矩形区域内，也证实了加密图像的相邻像素点已完全不具备关联性.

4.4 明文图像敏感性分析

明文图像敏感性是指当明文图像的一些像素点的灰度值被改变后，用同一密钥加密后，不同加密图像之间的差异程度.加密图像之间的差异越大，加密的效果越好，抵御差分攻击能力越强.通常用像素改变率(number of pixels change rate,NPCR)和归一化平均改变幅度(unified average changing intensity,UACI)2个指标系数来进行评测.NPCR和UACI的计算公式如下：

(15)

(16)

(17)

式(15)～(17)中：H和W为图像的高和宽，C1(i,j)、C2(i,j)为2个不同加密图像的像素点的灰度值.其中，NPCR的理论最佳值为99.605 4%，UACI的理论最佳值为33.463 5%.

表2 NPCR和UACI测试结果表

表2的测试结果显示，NPCR和UACI的测试结果非常接近于理论最佳值，优于文献[15]，[16]，[17]的测试结果.

4.5 密钥敏感性分析

密钥的敏感性是指当密钥发生极其微小的改变后，2个加密图像之间产生的差异程度.密钥敏感性越强，加密图像所产生的差异程度越大，表明加密算法的安全性越高.

令密钥Key={0.1,0.01,0.001,0.000 1}，将其4个分量分别进行微小的扰动，产生4个不同的密钥，Key1={0.1+10-10,0.01,0.001,0.000 1}，Key2={0.1,0.01+10-10,0.001,0.000 1}，Key3={0.1,0.01,0.001+10-10,0.000 1}，Key4={0.1,0.01,0.001,0.000 1+10-10}.用密钥Key对明文图像Lena进行加密，再分别用密钥Key1，Key2，Key3，Key4对加密图像进行解密，解密效果如图10所示.

从图10看出，4个密钥均无法正确还原出明文图像，表明图像加密算法的密钥敏感性极强，完全有能力抵御针对密钥的暴力攻击.

图10 密钥敏感性测试效果图(a)使用密钥Key加密的图像；(b)使用密钥Key1解密的图像；(c)使用密钥Key2解密的图像；(d)使用密钥Key3解密的图像；(e)使用密钥Key4解密的图像

4.6 信息熵分析

信息熵是香农(Claude E.Shannon)提出来的1个度量信息不确定性的量.1个系统越是混乱，信息熵就越高.在图像加密中，信息熵可以用来度量像素分布的离散度，像素排列得越混乱、越离散，信息熵就越高.信息熵的计算公式如下：

(20)

式中：p(xi)为像素点xi在图像中出现的概率值，八位灰度图的信息熵理论最佳值为8，表3为加密图像信息熵的测试结果.

表3的测试数据显示，加密图像的信息熵都非常趋近于理论最佳值，表明文中加密图像像素点的排列杂乱无序，离散度高，加密算法的可靠性高.

表3 信息熵测试结果

5 总结

通过仿真与测试，确定新构建的超混沌系统具有更为复杂的动力学行为和混沌属性.在图像加密的应用中，其相关系数、信息熵等指标系数均非常接近于理论最佳值，可以确定图像加密算法具有更强的鲁棒性和安全性，完全能够抵御各种相关的攻击，充分体现了其独特的混沌特性在信息安全和信号处理等领域具有更为广阔的应用前景.