巧用几何模型解决三角形的相关问题

丰志胜

在面对图形较为复杂的几何问题时，我们往往会采取将图形分解的方式来求解。而一些固定结构的图形在其中起到一定的支撑作用，我们将这些固定结构的图形称之为几何模型。几何模型的结论会对问题的解决起到关键作用，那么究竟如何在解题中使用几何模型呢？我们一起来看下面这道中考题。

例题 （2020·江苏宿迁）【感知】如图1，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，點E在边CD上，∠AEB=90°。求证：[AEEB]=[DECB]。

【探究】如图2，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且[FEEG]=[AEEB]，连接BG交CD于点H。求证：BH=GH。

【拓展】如图3，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且[AEEB]=[DEEC]，过E作EF交AD于点F，使∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G。求证：BG=CG。

【分析】图1是初中阶段非常典型的几何模型，我们一般称它为“一线三等角”或“K”型图。它是构造相似的典型结构图形，很容易通过相似得出结论。图2可以进行分解，线段CD的左边就是图1，右边可以过G点作CD的垂线GQ，垂足为点Q，也能构建出一个“K”型图，所以图2就转化为两个“K”型图合并的问题，通过【感知】的结论和【探究】的条件得到BC=GQ，再构造全等三角形得出结论。图3在图2的基础上经历由特殊到一般的过程，是将直角变为一般角，“一线三等角”的结论仍然成立，利用辅助线建立模型，即可根据【探究】中的思维过程解决问题。

证明：【感知】如图1，∵∠AEB=90°，

∴∠BEC+∠AED=90°。

∵∠D=90°，∴∠EAD+∠AED=90°，

∴∠BEC=∠EAD。

又∵∠C=∠D=90°，

∴△ADE∽△ECB，∴[AEEB]=[DECB]。

【探究】如图4，过点G作GQ⊥CD，垂足为点Q。

由【感知】结论易知，△ADE∽△ECB，△DEF∽△QGE。

∴[AEEB]=[DECB]，[EFGE]=[DEQG]。

∵[FEEG]=[AEEB]，∴[DECB]=[DEQG]，

∴CB=QG。

∵∠C=∠GQH=90°，∠BHC=∠GHQ，

∴△BCH≌△GQH（AAS），∴BH=GH。

【拓展】如图5，在FG上取一点M，使得∠BME=∠AEB，作CN∥BM交FG的延长线于点N。

∴∠N=∠BMG。

∵∠BMG+∠BME=180°，

∠AEB+∠DEC=180°，

∠AFE+∠DFE=180°，

且∠EFA=∠AEB=∠BME，

∴∠DFE=∠DEC=∠N。

由【感知】可得“K”型图证出相似三角形。

由【探究】可证得BM=CN。

∵CN∥BM，可证△BGM≌△CGN，

∴BG=CG。

【点评】本题图形分解变化的过程可以显示为：

“一线三等角”是相似图形中非常典型的模型。图6是建模;图7是模型运用与整合，同时需要作辅助线构建模型;图8是模型拓展，由直角变成一般角。本题是几何模型的运用探究，同时也是思维建模的过程，由浅入深、由特殊到一般，形成解决问题的一般思维模式。当然，图8还有多种解法，在此不再一一分析，有兴趣的同学可以自己尝试一下。

（作者单位：江苏省宿迁市宿北中学）