轨道不平顺随机性对高速铁路桥梁动力响应的影响

辛莉峰，李小珍，肖 林，王 铭

(西南交通大学 土木工程学院, 四川 成都 610031)

受人为建造误差、复杂运营环境、材料性能的经时劣化等内外、主客观因素的影响，列车与桥梁之间的相互作用具有显著的随机性。现阶段，国内外学者已经逐步开展车桥耦合随机振动的相关研究[1-7]，以期更准确地描述现实中列车运行于高速铁路桥梁上的动力学状态。

车桥耦合系统中，最为主要且常见的随机激励源为轨道不平顺。在传统确定性计算模型中，轨道不平顺的空间序列是由某一功率谱密度函数转变而来的，如具有代表性的德国轨道谱、美国轨道谱、中国轨道谱等。然而，这些轨道谱实质上是统计平均谱，不能完整地反映实际线路中轨道不平顺的离散特性。因此，既有基于平均轨道谱的车桥耦合振动研究可能准确度欠佳、可靠性不足。近年来，研究者们已逐步开展轨道不平顺随机场模型的研究，如Perrin等[8]提出的轨道不平顺随机模型，Xu等[9-10]提出的轨道不平顺概率模型等。以之为基础，可进一步研究轨道随机不平顺对车桥耦合系统动力响应的影响规律。

本文建立了一种基于整体式建模方法的车-轨-桥耦合系统动力学模型，结合文献[9-10]所提出的轨道不平顺概率模型，综合运用概率密度演化及极值分析等方法，研究了轨道不平顺随机性对桥梁动力响应的影响。

1 车-轨-桥耦合计算模型

如图1所示，三维车-轨-桥动力学模型主要由车辆模型、有砟轨道模型、桥梁模型、轮轨相互作用、桥轨相互作用及数值积分方法共6大模块组成。不同于传统分离式建模方法，本文采用整体式建模方法构造车-轨-桥耦合系统，系统的动力学方程可表示为

图1 车辆-有砟轨道-桥梁相互作用示意

(1)

将铁路四轴车辆简化为由一个车体、两个构架和四位轮对组成的多刚体系统，车辆一系和二系悬挂等效为线性弹簧与阻尼器。车辆系统中的每个刚体具有垂直位移、侧向位移、侧倾角、横摆角和俯仰角5个自由度，整个车辆子系统共有35个自由度。依据能量变分原理[11]可推导出车辆的质量、刚度、阻尼矩阵。忽略不同车辆之间的车钩作用，可直接构造整个列车的动力矩阵Mnn、Knn和Cnn。

铁路有砟轨道主要包括钢轨、扣件、轨枕和道床。依据轨道动力学原理[12]，钢轨可模拟为空间欧拉-伯努利梁，扣件可等效为线性弹簧和阻尼器，轨道可模拟为考虑垂向、横向和扭转自由度的刚体，道床可视为仅考虑竖向振动的质量块，相邻道床的剪切作用模拟为线性弹簧和阻尼器。同样，依据能量变分原理可推导出有砟轨道结构的动力矩阵，即Mtt、Ktt和Ctt[11]。

桥梁系统采用有限单元法模拟，其中空间欧拉-伯努利梁单元作为基本的建模单元。与常规有限元软件建模方法相同，先计算各个单元的单元矩阵进而用转换矩阵形成整个桥梁系统的动力矩阵，即Mbb、Kbb和Cbb。

车辆与有砟轨道之间的轮轨相互作用通过新型轮轨空间耦合模型[13]模拟，具体为：采用迹线法确定轮轨空间接触几何关系，基于Hertz接触理论求解轮轨法向力，依据Shen-Hedrick-Elkins饱和非线性修正方法和Kalker线性蠕滑理论求解轮轨蠕滑力和蠕滑力矩。该模型可模拟轮轨之间的分离状态，较密贴模型更为准确。由于所求得的轮轨相互作用力位于轮轨接触点位置，需将力分别转换至轮对坐标系及钢轨坐标系中，形成式(1)中的轮轨相互作用力Fnt及Ftn。

桥梁与轨道的相互作用模拟为线性弹簧与阻尼器。只需确定某时刻桥梁及轨道的振动位移和振动速度，依照其相对位移及相对速度可求解出相应的桥轨相互作用力Ftb及Fbt。

列车、轨道和桥梁三系统的质量、刚度及阻尼矩阵没有耦合，即方程(1)中的动力矩阵中的耦合项均置为0矩阵。系统动力方程采用Houbolt积分格式求解，积分步长为0.000 1 s。至此，基于整体式建模方法的车-轨-桥耦合模型已经全部建立完毕。

2 车桥耦合计算模型验证

为了确保车-轨-桥耦合模型的正确性，本文将程序仿真结果与车桥现场试验数据进行了对比。测试桥梁为达成线涪江2×64 m下承式栓焊连续钢桁梁桥，现场桥型及有限元模型分别见图2。桥梁主桁、纵梁、横梁、上下平纵联、桥门架及横向连接系均采用16Mnq，截面形状主要为H形截面。桁架结构采用带竖杆的华氏桁架，每跨8个节间，节间距8.0 m，桁高11 m，主桁中心距5.75 m。纵梁中心距2 m，采用明桥面设计。连续钢桁梁“达”端支座为固定支座，“成”端及中支座为活动支座。桥梁上部线路为Ⅰ级单线有砟轨道，其中钢轨为国标60 kg/m钢轨，轨枕为Ⅱ型轨枕。试验列车编组为SS3(韶山3型电力机车)+10C70(货车)重车+10C70空车+SS3，测试速度包括5、60、65、70、75、80 km/h共6个等级。模拟中所采用的车辆及轨道参数可参看文献[13]，轨道不平顺采用三角级数法转换美国五级谱所得。

图2 桥梁有限元模型

首先对比有限元模型与现场实测的桥梁自振特性，见表1。由表1可知，计算值和实测值相差较小，证明该桥梁有限元模型可进一步用于车桥耦合模型中。

表1 桥梁自振特性

对第一跨右侧下弦杆跨中处的峰值位移及加速度仿真结果与实测结果进行对比分析。计算值与实测值均采用低通滤波进行处理，滤波频率为竖向20 Hz、横向40 Hz。由表2和表3可知，位移的实测值与计算值非常相近，而加速度的误差较位移项略大。原因在于影响位移的主要因素为测试车辆本身的重力特性，而加速度的误差与轨道不平顺情况密切相关，差别来自输入的轨道不平顺与实际情况的偏差等。整体而言，该车-轨-桥耦合动力分析模型可预测实际车桥系统的动力响应，模型较为可靠。

表2 右侧下弦杆跨中位移值

表3 右侧下弦杆跨中加速度值

3 轨道不平顺概率模型

实际线路中的轨道不平顺往往距离很长，可达成百上千公里。线路不同位置的外界环境差异很大，整条线路的轨道不平顺不能视为平稳随机过程。若采用大数据方法遍历整条线路的轨道不平顺，显然计算效率较低，不能满足高效分析的要求。Xu等[9-10]提出的轨道不平顺概率模型，可在小样本情况下，保证轨道不平顺的遍历性，较好地解决了这些问题。模型可简单表述为以下步骤：

Step1通过区段划分，可将大量的不平顺实测数据表达为空间向量集

XΩ(s)=[XI1,k(s),XI2,k(s),XI3,k(s),XI4,k(s)]

(2)

Step2视短距离下的轨道不平顺仍符合平稳随机过程。设l(·)为功率谱算子，对轨道不平顺样本集合XΩ(s)进行功率谱计算，可形成样本频域矩阵为

(3)

式中：ω为离散频率矢量；ϑ(ω)为功率谱密度。

图3为2012年5月15日于汉宜线荆门桥工段实测的高低不平顺功率谱，可以看出其频带较宽，单一轨道谱不能完整反映实际轨道不平顺的离散性。

图3 实测汉宜线有砟轨道的高低不平顺功率谱集合

Step3分析样本频域矩阵Jk(ω)中不同离散频率下功率值的概率密度，并按照功率谱密度由低到高重新排序，形成概率密度矩阵

(4)

(5)

由于不同累计概率下的轨道不平顺功率谱之间具有相似性特征，任意轨道不平顺功率谱ζI(τ,ω)的概率可表示为

(6)

图4 有砟轨道高低不平顺谱概率分布

Step5将4种不平顺类型作为相互独立的随机变量，根据轨道谱的概率分布特性，采用数学方法便可方便地提取代表性的功率谱，如蒙特卡洛方法、舍选法、数论方法等。

Step6由Step5提取得出的代表性功率谱，根据常规时频变换方法即可生成空间序列，如三角级数法、逆傅里叶变换法等。图5为采用三角级数法模拟生成的轨道不平顺空间序列及功率谱，其精确性和有效性显而易见。

图5 轨道不平顺序列的生成

轨道不平顺的概率密度函数(PDF)及累计分布函数(CDF)统计情况见图6，由图6可知，实测值和模拟值在0均值处具有一定的区别，其他部分两者的PDF及CDF特征基本吻合，原因在于实测轨道不平顺难免受到人为测量误差和病害的影响。该模型有效保证了原测试数据的信息完备性，可作为车桥耦合计算模型的激励输入。此外，与原500 km的不平顺测试数据相比，该轨道不平顺概率模型的样本数量减少了近95%，大大减少了计算量。

图6 有砟轨道高低不平顺实测值与模拟值对比

4 数值分析条件及算法流程

依据已验证的车-轨-桥动力分析模型及轨道不平顺概率模型，引入概率密度演化方法[14]，评估轨道不平顺的随机性对系统响应均值、均方差、极值等统计量及可靠度等指标的影响，分析流程见图7。

图7 分析流程

4.1 动力计算模型及条件

以高速铁路桥梁中应用非常广泛的32 m高速铁路简支梁桥作为桥梁模型算例。该桥由5跨C50混凝土箱梁组成上部结构，下部结构则采用C35混凝土空心墩，墩高为15 m。主梁与墩的截面见图8。主梁和墩均采用欧拉-伯努利梁单元进行模拟。桥面二期荷载174 kN/m采用附加质量分配于主梁上。墩、梁连接处的支座按主从约束处理，墩底采用刚性固结，即不考虑地基与桥梁基础动力相互作用的影响。结构的阻尼比取0.02。

图8 桥梁截面(单位：mm)

车辆采用8节ICE3列车，编组情况为(动+拖+动+拖+拖+动+拖+动)，轨道为Ⅰ级单线有砟轨道，其中钢轨为国标60 kg/m钢轨，轨枕为Ⅱ型轨枕。详尽的列车及轨道参数可参考文献[13]。轨道不平顺来源于第3节的模拟方法。

4.2 概率密度演化方法[14]

式(1)的车-轨-桥系统的动力方程可表示为

(7)

系统任意状态量Z(t)唯一且连续依赖于系统参数和初始条件，可表示为

Z(t)=H(Θ,t)

(8)

式中：H(·)为确定性算子。

根据动力系统的拉格朗日描述，Z(t)的随机性来源于Θ的随机性，因此[Z(t),Θ]所构成的增广系统满足随机系统的概率守恒原理，可表达为

(9)

式中：pZΘ(z,θ,t)为增广系统[Z(t),Θ]的联合概率密度函数；Ω为时间和随机变量形成的增广域。

概率密度函数pZ(z,t)可通过定义状态向量的初始条件，并由TVD差分方法求得

(10)

详细的推导过程及求解方法可参考文献[14]。

5 结果分析

5.1 对桥梁加速度项的影响

桥梁加速度动力响应需控制在一定范围内，才能保证道砟的动力稳定性。根据TB 10621—2014《高速铁路设计规范》[15]，桥梁横、竖向振动加速度限值分别设定为0.14g和0.35g，该数值已经考虑了一定的安全系数。根据概率密度演化方法，可求得桥梁任意一点横竖向振动加速度的概率密度演化情况。图9为列车以200 km/h的速度运行于桥梁上时，桥梁第三跨跨中加速度概率密度随时间的演化情况。由图9可知，在随机轨道不平顺激励下，桥梁的加速度响应呈现出复杂的概率演化过程，具体表现为：在车辆进入该跨桥梁前及出桥梁后，概率均在0附近波动；而在列车通过该桥梁时，桥梁加速度的概率密度呈现出波动较大的情况。该概率演化过程与实际的列车运行状态相符合。

根据所得到的概率密度演化曲面，可获取均值和标准差等常用统计矩。图10为列车通过桥梁时桥梁加速度的平均值及标准差。由图10可知，在随机轨道不平顺激励下，桥梁横竖向动力响应均存在很大的离散性，说明确定性车桥耦合分析不足以完整描述桥梁响应的动力行为。与文献[1]的研究相比，图10(a)与图10(b)所显示的竖向加速度的均值及标准差波形特征基本相同，均值基本相似，但是本文的均方差值要大许多，原因在于本文中轨道不平顺的离散性相比于文献[1]的更大，也说明了考虑轨道不平顺谱随机性的必要性。

图10 桥梁第三跨跨中加速度均值及标准差曲线

桥梁系统动力指标的可靠度可直接由概率密度演化曲面求得

(11)

式中：R(t)为动力指标的动力可靠度；au和al分别代表了动力指标的上下界；A(a,t)为动力指标的概率密度演化情况。

图11给出了列车行驶速度为200 km/h时桥梁第三跨跨中加速度的动力可靠度情况。由图11可知，动力指标的可靠度均为1.0，即均未超过规范所规定的限值，证明在该随机轨道不平顺激励下，道砟的稳定性可以得到保证。

图11 桥梁加速度动力可靠度

在上述分析中，虽得出了桥梁加速度的动力可靠度情况，然而并未得到其极值分布情况。极值分布在实际应用中具有重要意义，可有效判别动力指标距离限值的远近。图12为列车在200、220、240、260、280、300、330 km/h行驶速度下桥梁加速度极值的分布情况，由图12可知，轨道不平顺的随机性对于桥梁加速度响应有较大的影响，响应分布范围较广。取置信区间为95%，桥梁加速度由200 km/h时的0.2 m/s2到1.2 m/s2逐渐发展为330 km/h时的0.65 m/s2到2.8 m/s2。当车速为330 km/h时，桥梁加速度响应的增幅明显较大，原因在于330 km/h已经接近了该桥的共振车速。

图12 桥梁加速度极值分布情况

5.2 对桥梁位移项的影响

对于桥梁动力响应位移项，根据TB 10621—2014《高速铁路设计规范》[15]，跨度不超过40 m的简支梁在设计速度250 km/h下的竖向挠度限值为L/1 400，m；而跨中的横向振幅应满足L/26，mm。事实上，桥梁的竖向挠度及横向动位移主要由车辆及轨道本身的确定性荷载所决定其大小，对于轨道不平顺的敏感度均不高。图13为在不同累计概率的轨道不平顺激励下的桥梁第三跨跨中位移情况，可以看出，在不同累计概率的轨道不平顺激励下，桥梁的竖向挠度几乎无差别，桥梁的横向振幅的变化也不大，其最大差异仅在0.046 mm。因此，若仅为了分析桥梁的位移项，考虑轨道不平顺随机性的意义不大。

图13 不同轨道不平顺累计概率下桥梁的位移项

6 结论

本文提出了基于整体式建模方法的车-轨-桥耦合计算模型，与现场实测数据进行了对比，证明了模型的可靠性。结合轨道不平顺概率模型，采用概率密度演化方法及极值分析理论研究了轨道不平顺对于桥梁系统动力响应的影响。具体结论如下：

(1) 轨道不平顺的随机性对于桥梁加速度动力响应影响较大，且应合理考虑轨道不平顺的全概率波动特征。

(2) 结合轨道不平顺概率模型及概率密度演化方法，可有效地推导出车桥耦合系统的动力可靠度。

(3) 在本文的轨道不平顺条件下，桥梁加速度动力响应均在限值内，可保障道砟的稳定性。

(4) 轨道不平顺的时空随机性对桥梁位移动力响应影响较小。