种子课：深度学习显现本真趣味

俞正强

数学是有乐趣的。有些乐趣是属于功用的，比如学了数学可以计算从甲地到乙地的时间;有些乐趣是功利的，比如学了数学可以升入高一级的学校，或者说学了数学可以得到一些肯定。这些功用也好，功利也罢，都不属于数学的本真乐趣。作为一名数学老师，真正在乎的是学生对数学本真乐趣的体验。这种本真乐趣是来自数学深处的、与人的内心抑制不住的认知冲突相联的，是让学生喜欢上数学的原因所在。

本文以“面积的认识”为例，谈谈什么是数学的本真乐趣，如何显现数学的本真乐趣，同时讨论本真乐趣之于数学学习的意义。

一、案例：“面积的认识”通常是这样教的

“面积的认识”是一节概念课。概念课都是枯燥无味的，其上课流程基本是：

1.定义：什么是面积？（物体表面或封闭图形的大小叫面积）

2.理解：什么是物体表面？什么是封闭图形？什么是大小？

3.练习：①判断题。

②其他类型题。

具体展开基本是这样的：

环节一：认识面积，达成对面积概念的理解

师：同学们，大家知道什么是面积吗？

生：物体表面或封闭图形的大小叫面积。

师：什么是物体表面？物体表面在哪里？

（操作：学生摸一摸）

师：什么是封闭图形？有哪些封闭图形？

（讨论：各种图形）

师：大小指什么？

（操作：给各种图形涂上颜色）

环节二：巩固认识，厘清面积概念与相关概念的区别

（过程略）

老师们在教“面积的认识”这一课时，通常精力都花在练习设计与批改上，教授面积概念本身花的时间是不多的。环节一用六七分钟即可结束。

二、讨论：面积该如何认识

小学数学中，图形的周长与面积的辨析是一个难点。因为学生极易混淆，所以老师很头痛，于是会增加许多练习，以为学生练习多了，混淆便清晰了。

而事实是，练习再多，学生依然会产生混淆。最后，老师会教一个诀窍：凡是单位带平方的，是面积;凡是单位不带平方的，是周长。这个诀窍对有单位的题目是有效的，但对于不带单位的题目，学生又抓狂了，毫无乐趣可言，唯留苦痛在心间。

面积与周长的混淆，其根本原因在于学生认识不清晰。认识模糊才是发生混淆的根本原因。所谓认识到位，行为正确。行为发生偏差的根本在于认识没有到位。

以面积的定义为例：物体表面或封闭图形的大小叫作面积。我们思考一下：学生读到“物体表面”这四个字的时候，脑中浮现的与之对应的表象应该是“体”;读到“封闭图形”这四个字的时候，脑中浮现的与之对应的表象应该是“线”。也就是说，在读面积定义的时候，学生脑中显现的与文字匹配的表象没有“面”。

须知，“面”是面积的主角啊！主角都没有出场，与主角相连的那些元素岂非成了流沙上的建筑？

所以我们在认识面积的时候，首先要认识的是“面”这个对象。认识这个对象主要有两方面内容：特征与属性。面的特征与属性都认识了，定义便寓于其中了。那么“面积的认识”该如何展开呢？

三、实践：如何认识面的特征与属性

如何认识面的特征与属性，进而形成面积的定义呢？我的做法基本是如下流程。

环节一：认识“面”的特征

（1）将“面”对象化

在黑板上写下“一个面”三个字。“一个”兩字写得比较小，“面”字写得比较大。

任务：请同学们给大家介绍一个自己非常熟悉的面。

【分析】因为“面”的前面写了“一个”两字，学生就不会讲方便面之类的事物，但介绍“一个面”这件事，却十分困难。大部分学生会说没有，个别学生会说长方形、正方形之类的。在长方形里涂面这件事的结果就是长方形、正方形上有面，此外便没有了。这个困难，充分显现了“面”作为对象的重要性。

教师可以启发学生：请同学们拿起书，书有个面叫什么面？

生：封面。

师：封面大家熟悉吗？这么熟悉为什么说不上来？你还能说出自己熟悉的面吗？

生：墙面、地面、脸面、水面、床面……

【分析】一旦打开生活库，关于面的说法便不胜枚举了。从开始时的愕然到现在的坦然，学生经历了“面”的对象化的过程，体会到原来我们就生活在“面”的世界里。“面”在学生熟悉而不知的世界里作为对象凸显出来。这个凸显的过程带给学生们极强的心理体验，这种心理体验便是乐趣的来源。

（2）厘清“面”与“形”的关系

师：这么多同学都回答了自己熟悉的面，让每个人都说，时间来不及，我想请大家把熟悉的面画下来。

（学生画）

师：（投影一位学生的画）请同学们猜一猜，他画的是一个什么面？

生：水面、墙面、地面……

师：这位同学画的面，为什么在不同的同学看来是如此不同呢？

生：这位同学画了一个长方形，而那些面都可能是长方形的。

（略过其他形状）

师：同学们在画面的过程中有什么体会要跟大家分享？

生：把面画下来就是一个一个的形。

师：这个世界是先有面还是先有形？

生：先有面。

【分析】“面”是一个对象，“面”是一个存在。“形”是我们对“面”的存在的一种区分。先有“面”而后有“形”，这一认识非常重要，这个认识颠覆了学生在课外学习班中经历的在“形”上找“面”的认识。从“形”上找“面”，学生就会形成先有“形”而后有“面”的认识，这样就把“形”作为对象了。这种颠覆给学生们带来的体验可以描述为“拨乱反正”的舒适感，这种舒适感正是认识的乐趣所在。

（3）厘清“面”与“体”的关系

师：同学们，你们认为这些“面”都可以撕下来吗？

生：地面不行，墙面不行，封面行。

师：同学们，封面能撕下来吗？

生：能撕下来。（学生撕下封面）

师：一本书有几个封面？

生：一个。

师：（请同学们仔细观察撕下的封页）这张有几个面？

生：两个。

师：一个面能撕下来吗？

生：撕的永远是一张纸，撕不下一个面。

结论：面是撕不下来的。

【分析】关于面能否撕下的讨论是反常识的，因为反常识，所以学生的情绪体验十分生动。他们一直以为封面是能撕下来的，讨论的结果是封面是撕不下来的。“面”是一种存在，却不是独立存在，只是“体”存在的一种方式。

（4）“面”的分类讨论

师：黑板上记录了同學们列举的熟悉的面，请问这些面中哪个面最特别？特别之处在哪里？

结论：脸面最特别。

【分析】这是对面的分类的讨论。脸面为曲面，其他面为平面。从情绪节奏上来看，是为撕面的讨论所引起的激烈情绪做一个平复的过渡，因为后面有关于面的属性的讨论，也是十分纠结的。

环节二：认识“面”的属性

（1）关于轻重

教师板书：轻重

师：请同学们讨论：面有轻重吗？或者说面有重量吗？观点一：面有轻重。观点二：面无轻重。请同学们说明面无轻重的理由。

生：因为面是撕不下来的，既然撕不下来，怎么称得出重量呢？

（2）关于大小

教师板书：长短 大小

师：请同学们说一说，两个面比较的时候，我们通常是比较大小还是长短呢？观点一：比长短。观点二：比大小。请大家说说自己的理由。

结论：面的属性是大小。

教师板书：轻重×

长短×

大小√

【分析】如果说认识面的特征是逐步抽象的认识过程，那么认识面的属性就是去伪存真的过程。面没有重量，就把“面”与“体”区分开;面不论长短，就把“面”与“线”区分开。面是论大小的，大小是面的属性。这个认识是在辨析中完成的。因为在生活中面与体有时很难分开，所以学生会很自然地认为面有轻重。当学生们明白面无轻重的时候，会感到惊诧，而这种惊诧，正是数学认识世界的本真乐趣。

四、辨析：什么是数学的本真乐趣

前文基本呈现了两个不同认识的版本。现在我们作一比较，从中体会二者的差别。

类别 一般性学习 深度学习

流程 一、定义：物体表面与封闭图形的大小叫面积

二、解释理解

1.物体表面

2.封闭图形

3.大小

三、练习巩固 一、面的特征

1.找面

2.画面

3.撕面

4.面的分类

二、面的属性

1.无轻重

2.不论长短，只论大小

三、定义：面的大小叫面积

学习类型 由外而内的接受性学习

概念内化的过程 由内而外的生成性学习

经验概念化的过程

什么是数学的本真乐趣？

本真乐趣，就像吃饭时的米香、吃面时的麦香，来自人类利用数学这一工具认识世界时所产生的情绪体验。体验若无，自然是无乐趣;体验越丰富，乐趣越浓郁。

本真乐趣的显现，就是将学生们带入真实的学习中，而真实的学习，往往是简单的、有深度的、充满乐趣的。

（作者系浙江省金华师范学校附属小学校长）

责任编辑：胡玉敏

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