寻“核”觅“心”，让计算学习有理有根

付春红

我与孙佳威老师认识已经将近20年了。20年的风风雨雨，我们一同经历了教学改革的洗礼，一起走过了实践创新的磨砺。在北师大项目学习中的每一次争论、研讨，在吴正宪导师带教团队中的每一次实践、辩论，在教学研究现场会上的每一次携手、互助，都使我们之间的感情越来越深厚。我们既是师徒，又是无话不谈的朋友。孙老师对教育的执着和热爱深深地影响着我，激励着我不断前行。

近年来，孙老师一直致力于“抓核心概念，构建知识结构”的研究，尤其是在数的认识和计算教学上，她已经梳理出了行之有效的策略和方法，并在课堂教学实施与展示的过程中给了教育同行们很多启发。“分数的简单计算”这节课就是孙老师的一个典型课例，整个教学过程为我们充分展示了抓“核心概念”进行计算教学的重要性和可行性。

认识这节课，我们可以先从“核心”这个词说起。核，核果中心的坚硬部分，有“核”，才有继续繁衍生息下去的可能;心，血液循环的重要器官，也指事物的中心，有“心”，血液的流动才能有目标和方向，机体才能充满生机活力。“核心”，即中心，是事物之间关系的主要部分。在丰富多彩的自然界中，事物之间是有联系、有核心的，数学知识之间也是有联系、有核心的。

众所周知，数学知识的基本细胞是数学概念，没有概念就无法构成数学知识体系。因此，只有找到数学概念的“核心”，才能构建知识体系，让知识在迁移运用中循环往复，在“认识—重识—前行”中，不断补充新鲜的血液，完善知识体系，也才能打通数学知识的任督二脉，让学习的发生“活”起来。那什么是数学的核心概念呢？就是诸多数学概念中那些最基本的概念。这些概念在反映事物的内在联系方面，更具有本质性和概括性。把握了核心概念，知识的大树就有了根基，数学知识才能有结构地生长。

下面，我们结合孙佳威老师的课例“分数的简单计算”，来具体说说怎样在计算教学中帮助学生寻“核”觅“心”，让计算变得有理有根。

培养运算能力是计算教学的一个重要目标。运算能力的培养离不开算理的理解、算法的掌握以及合理运算途径的寻求。而小学阶段数的运算中一个非常重要的算理就是数的意义。数的意义的理解离不开计数单位的理解和运用。培养学生的运算能力，也同样离不开计数单位。在“分数的简单计算”课堂教学的设计中，孙老师始终把计数单位作为计算教学的核心概念，并在环节设计中层层深入，通过重识、理解、抽象、应用等环节来凸显这一核心概念的作用，并以核心概念为核心，沟通知识的内在联系，使分数的加减法计算算理清晰透彻，为学生的迁移运用打下坚实的基础。

一、再识分数“寻”根，凸显核心概念

“分数的简单计算”是三年级学生在初步认识分数之后安排的计算课，是分数加减法计算的起始课。教材这样编排，除了要让学生掌握简单的算法外，还有一个重要的目的，那就是让学生在理解算理的过程中，深化对分数意义的理解。我们知道，数的意义的理解和计算算理的理解密不可分，而计数单位在这密不可分中又承担着重要的角色。因此，通过理解运算来深化对分数意义的理解，这一目标的实现离不开“计数单位”这一核心概念。

本节课用核心概念勾连数的意义及运算，这是孙老师的高站位思考。正因为有了这样高站位的思考，才使得简单的教学内容实现了学习理解的不简单。课堂教学一开始，孙老师就创设了一个分西瓜的情境，让学生在有趣的动画视频中感受“分”的意义和过程。这看似不经意的操作，却为后面理解“计数单位（几分之一）”的含义做了直观的铺垫。在此基础上，孙老师通过核心问题“这里的你是怎么理解的？呢”，引领学生把思维聚焦于“核心概念”—计数单位。

在“分数的初步认识”的学习中，对于和，学生只是借助直观图来理解分数的含义，但在探究“分数比大小”方法的过程中，学生已经尝试着借助计数单位个数的比较来进行判断了。所以，再识分数，孙老师引领学生不仅借助图直观理解分数的含义，还从计数单位个数的角度来抽象解释分数的意义。这样，就为分数加减法简单计算的算理理解和方法归纳做了铺垫，为以核心概念“计数单位”为核心的知识体系的建立打下了基础，也为学生理解算理的根（计数单位个数的累加和递减）提供了可能，促进了学生迁移学习的发生。

二、数形结合“见”根，感受运算本质

“计数单位”这一核心概念本身是抽象的，学生必须依托于具体的实物模型来描述和理解。因此，在计算的学习中，孙老师充分运用直观的模型，让学生感受分数加减法运算的本质—相同计数单位个数的累加和递减，直观凸显核心概念作用的过程，让计算的“根”可见。

孙老师的这一想法我们从“探究同分母分数加法计算的算理，掌握计算方法”的教学环节中可以明显感受出来。加法的教学环节孙老师用了这样的教学方式，减法的教学环节也出現了类似的方法。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”孙老师借助直观图形帮助学生理解“计数单位个数累加和递减”这一分数计算的本质，使学生在摆一摆、画一画、说一说的活动中，由图形语言到符号语言，最终理解算理;由符号语言对应图形语言，主动寻求表象支撑。双向沟通，帮助学生多层次理解分数加减法计算的算理，感受运算本质。

我们可以看出，孙老师的巧妙设计让学生运用图来表达计数单位、计数单位个数累加（递减）的过程，再用语言进行表达，使抽象的运算本质在学生眼前可见、脑中可想、手中可触摸。由“根”而发的知识在学生头脑中不再抽象而遥远，而是很近、很直观。

三、题组归纳“立”根，抽象运算方法

人类认识事物是有着一定的心理过程的，学生的学习也是这样。让学生明辨加减法运算本质，教师必须为他们提供一个丰富的感知过程。在丰富感知的支撑下，学生的抽象思考和表达才能达成。依据这一基本的学习心理特征，孙老师在设计中增加了题组练习，拉长学生感知运算本质的时间，让学生在题组中找相同点，感受运算本质支撑下的算式运算过程和方法的外在形式。

对分数加法计算方法的提炼，孙老师在第二部分“借助直观，明理知法”中设计了“巩固练习，提炼算法”环节。 表面上看，这只是简单的题组训练，但是对于学生感知计算本质却是不可或缺的一步。在前面的环节中，学生只是在教师的引领下初步感知，而此时的题组练习丰富了学生的感知，如4个加1个是5个，4个加2个是6个……学生用“计数单位”这一核心概念诠释着每个算式的计算过程和方法。在拉长的学习过程中，在丰富学生的感知后，再归纳同分母分数加减的计算方法，就水到渠成了。此时教师提问：“它们在计算的过程中有什么相同的地方？”“分母不动、分子相加”实际是学生对计数单位相加的这一抽象本质直观的感受和表达。虽然学生不能把目光一下子聚焦于计数单位的个数累加，但是在丰富的感知下，运算本质的“根”已经呼之欲出了。

四、前后沟通“归”根，抽象运算本质

小学阶段的所有计算教学其实都是在研究“计数单位”个数的变化。对这一运算本质的精准理解和把握，使得孙老师在本课例设计中加入了“归”根这一环节，从而实现了学习内容的沟通，为学生的学习构建了体系。整个教學过程显现了设计者的智慧，成就了学生理解和表达的精彩。

学生对计算的过程和方法有了初步的抽象概括之后，孙老师在第三部分“抽象提升，明理通法”再次以题组的形式呈现学习内容，让学生寻找不同表象下的相同之处。在新旧知识的对比沟通中，帮助学生梳理计算的本质—相同计数单位个数的累加和递减。

当学生通过题组训练有了充分的认知后，教师加以提炼总结。在这个环节中，教师引导学生在题组间进行对比，沟通整数加减法计算和分数加减法计算间的内在关系。通过沟通关系，学生找到了计算本质的“根”—相同计数单位个数的累加和递减。归“根”后，学生对于计算的本质有了更加清晰的认识和把握。而这一认识的形成，对于学生后续研究大数、小数、分数的加减法计算乃至乘除法计算都将起到重要的作用。可见核心概念是学生把握知识本质的“根”，学生的迁移学习和知识体系建构是由“根”而发，有“根”生长的。孙老师用自己有思考的教学设计诠释了什么叫“简单”背后的“不简单”。

认识事物的本质，就是要循“根”而上，建立事物之间的内在联系。孙老师的这节数学课，很好地践行了马芯兰数学教育思想—给核心概念以核心地位，引领学生在沟通中迁移，在迁移中前行，使学生的学习有根有据、有理有力。

（作者单位：北京明远教育书院实验小学）

责任编辑：赵继莹

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