求三角形周长（面积）范围类问题解法探究

赵泽民

解三角形是高考的常考题型，主要出现在高考试卷的解答题中，以解答题第17题的位置较为常见，偶尔也会出现在选择题和填空题中.其考法主要围绕着正、余弦定理，结合三角恒等变换，重点考查正、余弦定理的边角互化及三角恒等变换公式的灵活应用，往往要求考生计算边长、周长和面积的大小或范围.这类试题以中档题为主，是考生志在必得却又容易卡壳的题目之一.本文主要以三角形周长范围的求解为例，探讨此类题的解法，总结解题规律，帮助考生摆脱“会而不对，对而不全”的苦恼.

解决这类问题的方法主要有两种：一是利用“正弦定理结合三角函数的值域”来求得最终范围;二是利用“余弦定理结合基本不等式”来构造不等式使问题得到很好的解决.在遇到此类问题时，学生往往偏向于计算量相对较少的“余弦定理结合基本不等式”的解题思路来解决问题，但随着解题的深入，往往会遇到诸如范围被放大或缩小的困境;另外一部分学生会考虑用“正弦定理结合三角函数值域”的求解策略，但随着解决问题的深入往往会受正弦定理转化的影响使问题变得“无从下手”，最终使自己的心态从“满满的期待”转变为“满心的无奈与紧张”.那么，当我们遇到这样的问题时，应该采取什么样的解题策略呢？

原题呈现：在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，sinA+asinB=2.

（1）求角A的大小;

（2）求△ABC周长的取值范围.

对于△ABC周长的取值范围问题，我们驾轻就熟的往往是“已知三角形的一个内角和其对边求周长的大小或周长的最值”这一类问题.而本题的第（2）问却巧妙地避开了平时复习中“练熟练透”的解题方法，把已知条件由常规的“已知三角形的一个内角和其对边”变为“已知三角形的一边和与这条边不相对的角”，还加上了一条限制——“△ABC為锐角三角形”，最终要求考生求“周长的取值范围”，成功地把一道毫无新意的“陈题”装满了“新酒”.解决该题的第（2）问时无论考生选择“余弦定理结合基本不等式”，还是选择“正弦定理结合三角函数值域”的解题策略都会不同程度受挫，造成一定的心理负担.

一、一波三折，尝试解答

在解决第（2）问时，如果采用“余弦定理结合基本不等式”的解题策略，能顺利地解决问题吗？我们又会遇到哪些困惑呢？

第一种境遇，由第（1）问很容易求得A=，结合已知条件b=3，我们容易想到b2=a2+c2-2accosB或b2=（a+c）2

-2ac（1+cosB），但苦于B角未知导致解题受阻，进而尝试a2=b2+c2-2bccosA或a2=（b+c）2-2bc（1+cosA），也因没有任何解题进展而放弃，最终无奈地写下“a+c>3”这一常见结论，出现虽“惺惺相惜，但不得不罢手”的遗憾，因为这个题由不得考生花太多的时间尝试.

第二种境遇，尝试用“正弦定理结合三角函数值域”求解，考生受制于定式思维的影响，往往第一时间想到a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，进一步得到a+c=

2R（sinA+sinC），结合A+B+C=π，快速地达到统一角的目标，欣喜之余，发现2R成了解下去的拦路虎，解题受挫，产生“放弃与坚持”的纠结.

第三种境遇，考生静下心来认真审视正弦定理===2R的结构和已知条件“b=3，A=”，找到解决问题的突破口，通过尝试发现，虽然“边不是角的对边，角也不是边的对角”，但只要搭配得当，也一样可以达到统一角的目标，由=可知，a=;再由=可知，c=，进一步得到a+c=+，结合三角形内角和定理可知a+c=+，化简得a+c=·+=·+=·+.到此，本题基本上可以算是考生的囊中之物了，但部分欣喜若狂的考生可能会忘记题设对“三角形为锐角三角形”这一条件的限制而出现“大意失荆州”的苦恼与失落.由△ABC为锐角三角形可知∈（，），进一步求得tan∈（2-，1），从而求得∈（1，2+），a+c∈（，3+6），又因为b=3，所以周长的取值范围为a+b+c∈（，3+9）.

通过上述分析与解答，我们不难发现该题虽属中档题，每一个学生都是有思路的，但在解答的过程中却总是遇到或这样或那样的解题挫折，从心理上给学生造成相当大的压力，致使学生出现求之不得、弃之可惜的犹豫，导致宝贵的作答时间白白浪费.本题命题者设置了较多的“陷阱”，稍不留神，就会出现“会而不对，对而不全”的遗憾.另外，本题解题过程看似很新，实则还是利用了常规的“正弦定理结合三角函数值域”的解题策略，只是方法和以往解题常规略有差异导致考生解题时“困难重重”.

二、遇见真题，强化巩固

变式：（2019年全国卷Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin=bsinA.

（1）求B;

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.

分析：（1）已知边角等式asin=bsinA.结合三角形内角和定理得到sin=cos，进一步可求得sin，最终求出角B.（2）由（1）求得角B，结合三角形面积公式、正弦定理，以及三角形内角和定理得到关于面积的表达式，从△ABC为锐角三角形出发，可求得面积的范围.有前面的解题实践，我们很快就可以将解题策略放在“正弦定理结合三角函数求值域”这一路径上.

解答：（2）由（1）可知B=，又因为c=1，所以S=a.由正弦定理可知a===+.因为△ABC为锐角三角形，所以C∈（，），a∈（，2），S∈（，）.

点评：在本题第（2）问的解答过程中，准确地用好正弦定理是关键，其易错点是忽视“△ABC为锐角三角形”这一题设条件，导致角A，C的取值偏大，从而影响最终结果.

三、反思

人教A版《数学》（必修五）第一章“解三角形”重点讲了正弦定理及其变形、余弦定理及其变形和三角形面积公式，而这些内容往往结合三角恒等变换成为高考的热点，深受命题者青睐.近几年，这一题型的命题方式呈现考点被细化、方法更灵活、解题“陷阱”更隐秘的特点.表面上考生入手是容易的，但要做对、做全却并非易事.在平时的教学中，无论是教师，还是学生都认为这道题往往是考卷中解答题的第一题，其难度中档，是平时训练力度较大、解题方法较全的题型.在大多数学生心中这类题是志在必得的题目，是后进生突破90分，中等生突破120分的关键题型之一，也是考生愉悦地解决后续大题的心理基础，对提升应考状态也至关重要.解决这类问题，定理的选择很重要，有效的边角互化是解题的关键，方法一旦出错，便容易在这个问题上绕弯，甚至出现“无法自拔”的解题投入，最终是“求之不得，弃之不舍”的无奈.所以，教师在平时讲解训练时，一定要注重对方法的总结，鼓励学生大胆尝试，重视对一题多解和多题一解的强化.总之，所有解题时的从容应对，都是平时解题方法的日积月累，静下心来，用心投入，所有的问题都经不起琢磨.

解三角形中的面积与周长的相关问题其难度一般属于中档题，解题关键是灵活应用正（余）弦定理及其变形，有效地结合三角函数值域或基本不等式来找到解题的突破口，但在解题时需破除解题定式干扰，勇于尝试.一般情况是若已知当中给定的边是角的对边（或角是边的对角），则选择“余弦定理结合基本不等式”或“正弦定理结合三角函数值域”都可以解决问题;但如果题设条件中限制三角形为锐角三角形（或钝角三角形）则宜选择“正弦定理结合三角函数值域”来解决问题;若已知三角形的边不是已知角的对边（或已知三角形的角不是已知边的对角），则优先选择“正弦定理结合三角函数值域”来解决问题.在使用正弦定理时，应规避三角形外接圆半径对解题的影响，直接使用正弦定理解决问题即可.解题时，必须注意三角形形状对解题结果的影响，注意角的取值范围.

从近几年高考题来看，命题者往往选择比较熟悉的命题背景，在题目中布下隐秘的陷阱.如在求周长或面积的范围时，考生往往比较熟悉最值，而命题者在考生熟悉的解题题型上，稍加改进，就可能困住考生.譬如在已知条件中限制三角形形状或所给的边与角并不对应等.这提醒我们在平时的教学训练中，应有针对性地进行一题多解和多题一解的训练.这样可有效地提高学生识别问题和解决问题的效率，可有效增强学生的解题自信.

在教学中，教师强化学生的解后反思意识是非常有必要的.引导学生写好解题反思有助于学生发现解题亮点，关注解题过程中遇到的困难，优化解题过程和解题思路.通过对解题过程的回顾与探讨、分析与研究，领悟解题的主要思想，关键因素，掌握数学中的基本思想和通性通法，并能灵活地应用其去解决不同的问题.

◇责任编辑 邱 艳◇