具Stokes阻尼项的六阶非线性波动方程整体解的存在性与解的爆破

2021-05-10 02:27洋,
关键词:初值阻尼定理

华 洋, 王 颖

(电子科技大学 数学科学学院,四川 成都611731)

1 引言与预备知识

近年来,国内外学者对KdV方程的初值问题进行了大量研究,该方程模拟平面波在几种非线性色散介质中的单向传播,但不能预测高振幅波的动向.因此,Rosenau[1-2]提出了Rosenau方程自然地想到在初始能量E(0)<0,E(0)=0,E(0)>0时对方程的整体解进行研究.结合初值条件,本文主要研究如下具有Stokes阻尼项的六阶非线性波动方程

考虑到由系统内部发生的不可逆过程引起的内部摩擦,由文献[3]知,耗散函数依赖于相对位移的时间导数引出具有流体动力阻尼项的Rosenau方程文献[4]研究了(1)式的Cauchy问题小振幅解的整体存在性.基于相对应线性方程(1)的解的衰减估计和Banach不动点定理,文献[5]证明了(1)式在初值条件t=0,u=v0(x),ut=v1(x),x∈Rn下解的整体存在性和渐近性,其中v0(x)∈W˙-2γ,q,Cauchy问题解的爆破及其在超临界初始能量E(0)>0时整体解的存在唯一性,其中u(x,t)为未知函数,f为非线性函数,φ(x)与ψ(x)为已知的初始函数,ν为常数.本文将采用文献[7]中的方法,构建新的势阱来讨论问题.在本文中分别用Lp和Hs来表示空间Lp(Rn)和空间Hs(Rn),其范数为.若将流体动力阻尼项νΔut替换为Stokes阻尼项νut,则可得到非线性波动方程

文献[6]主要在小初值条件下利用压缩映射原理研究了上式的衰减性,而并未提及初始能量.所以很

为了在任意正能量时得到解的整体存在性,定义如下空间:

2 整体解的存在唯一性

3 解的爆破

下面讨论问题(2)(3)解的爆破[15-16].

定理1.3的证明 不妨设φ∈V,u(t)是问题(2)在E(0)>d,u0∈V时的解,则由引理2.4知u(t)∈V.假设u(x,t)是全局解的这一命题矛盾.对任意T1>0,定义

定理得证.

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