利用函数性质解决数形问题的策略分析

摘 要：函数图像是研究函数性质的载体，一般是先由图像总结函数性质，借助学习正切函数的性质与图像的思路，利用函数性质，解决函数图像辨析、求参数问题以及导数中的压轴题等与数形结合有关的问题。

关键词：函数性质;图像;数形结合

数形结合思想方法是高中解决函数问题的基本方法之一，中国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休”。要熟练利用数形结合的方法解决问题，首先要作出图像，有时函数值不易求出导致描点法局限性较大，利用函数图像作图为人们提供了新的方法。事实上，在教学高中数学人教A版必修④《正切函数的性质与图像》这节内容时，由于正切函数图像的不连续性，教材采用先研究函数性质，再根据性质作出函数图像解决问题的方法。学完导数后，還可以利用导数研究更多的非基本初等函数的图像问题，为数形结合解决问题提供了可行的方法，下面举例说明。

一、 利用性质辨析函数图像

函数图像的识辨也是高考的常考题型，首先整体观察图像，发现明显不同，再决定（1）从函数的定义域，判断图像的左右位置;从函数的值域，判断图像的上下位置;（2）从函数的单调性，判断图像的变化趋势;（3）从函数的奇偶性，判断图像的对称性;（4）从函数的特征点等方面入手，排除不合要求的图像筛选选项。

二、 利用函数性质解决参数范围问题

数形结合是解决方程的根、函数的零点问题的常见策略，尽可能转化为基本初等函数或常见函数类型，要尽可能将函数变形为人们熟悉的函数，再研究它的图像。解题关键是准确作出函数图像。对于熟悉的基本初等函数，作图问题不大，若是不熟悉的较为复杂函数，就需要通过研究性质作出图像，这是一种重要的处理数形结合问题的典型方法。

三、 利用函数性质，解决导数压轴题

利用导数研究函数的性质，做出函数的图像，利用数形结合解决导数压轴题是常见策略。

类似的考查在全国高考中2014年，2015年，2017年，2020年都有。导数中的零点问题、极值问题，有时直接研究找不到突破口，如果能借助函数图像得到大致范围，再逻辑推理会使问题变得容易些。化抽象为直观，从抽象到具体学生就能很好地接受。因此可以考虑作出满足函数的图像，利用数形结合就达到化抽象为直观的目的，就能直观反映所解决的问题。

函数是高中数学的核心知识之一，贯穿数学学习的始终。学生学习起来比较困难，要突破函数的学习，回归函数本身，回归函数图像是一条学习之路，从初中的描点法作函数图像到高中的利用性质作图像出发点不一样但归属都是一样的，利用图像的直观性就能较好地解决有关函数问题，因此先研究函数性质再作出其图像的方法是一条学习研究函数的路径，学生应该掌握。

作者简介：李虹，新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市，新疆乌鲁木齐市幸福中学。