聚焦核心素养 关注学生发展——《鸽巢问题》教学设计

文|刘兴盛

【教学内容】

人教版六年级下册第68页例1。

【教学过程】

一、创设情境导入新课

师：同学们玩过扑克牌吗？

生：玩过。

师：下面我们用扑克牌来玩个游戏。大家知道一副扑克牌有54张，取出大小王后，还剩52 张牌，如果从这52 张中随意抽出5 张牌，我敢肯定地说，这5 张扑克牌中至少有2 张是同花色的。你们相信吗？

生：信。

生：不信。

师：那我们就来验证一下。五位同学各抽1 张，验证至少有2 张是同花色的。

师：如果再请五位同学来抽，我还敢肯定地说，抽取的这5 张牌中至少有2 张是同花色的。

师：其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学问题，这节课我们就一起来研究鸽巢问题。（板书课题）

二、合作探究，解决问题

1.出示课件。

例1：把4 支铅笔放进3 个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有（ ）支铅笔。

师：把4 支铅笔放进3 个笔筒中，请小组的同学摆摆看，在动手之前请看活动要求。

要求：（1）摆一摆：四人为一组，所有的笔都必须放进笔筒里，允许某个笔筒空着。不考虑笔筒的顺序，只考虑笔筒内笔的支数。

（2）想一想：怎样放才能做到既不重复，也不遗漏？

（3）写一写：用喜欢的方式表示出来。

（4）每个组要边摆边记录，记录时，用0 表示笔筒，用1 表示铅笔，画一画，看看一共有几种摆法？

2.汇报展示。

（1）枚举法。

师：谁来说说你们是怎么摆的？

学习小组派代表到台前展示成果，可能会出现以下几种放法：

生：我们一共摆出四种情况，在每一种情况中，都总有一个笔筒里至少有2 支铅笔。

生：把4 支铅笔放进3 个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2 支铅笔。

师：“总有”是什么意思？

生：总会有、一定有、肯定有、一定存在。

师：“至少”是什么意思？

生：最少、不低于、不少于、最低限度。

师：在数学上，把“总有……至少……”称为最不利的情况，即该现象存在的最少情况。“至少有2支”是什么意思？

生：最少有2 支，不少于2 支，可能是2 支，也可能多于2 支。

师：不管怎么放，总有一个笔筒里放了2 支或2 支以上的铅笔。

师：（指着图）这种方法叫枚举法，直观列出所有的结果，能很清楚地进行解释。但有局限性，数字大了操作起来相当繁琐。

师：你们还有不同的方法吗？

生：我们组是把4 分解成3 个数，共有四种分法，（4 0 0）、（3 1 0）、（2 2 0）、（2 1 1）。

师：你有什么发现？

师：在每种情况分得的三个数中，至少有一个数是不小于2（大于或等于2）的数，就说明总有一个笔筒里至少有2 支铅笔。

师：真是个聪明的孩子，用数字帮助解决问题，简洁、明了。

（2）假设法。

师：假设每个笔筒中只放1 支铅笔，那会是怎样的结果呢？

生：我是这样想的，在每个笔筒中放1 支，3 个笔筒就放了3支。剩下的1 支就要放进其中的一个笔筒。所以至少有一个笔筒中有2 支铅笔。

师：你为什么要先在每个笔筒中放1 支呢？

生：因为总共有4 支，平均分，每个笔筒只能分到一支。

师：你为什么一开始就要平均分呢？

生：因为平均分，就可以使每个笔筒的笔尽可能少，以保证得到至少数。

（板书：4÷3=1……1 2）

师：到现在为止，我们可以得出什么结论？

生：（齐读）把4 支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2 支铅笔。

小结：我们把这种思考方法叫假设法。抽象，不受数据的限制，具有一般性，能很清楚、简洁地说明问题。

3.认识“鸽巢问题”。

师：像这样的数学问题，就是“鸽巢问题”或“抽屉问题”，它里面蕴含着一个数学道理，叫“鸽巢原理”或“抽屉原理”。最先是由19 世纪的德国数学家狄利克雷提出的，因此又叫做狄利克雷原理。

师：在这里“4 支铅笔”看作“4只鸽子”，“3 个笔筒”看作“3 个鸽巢”。上面这个问题就变成了鸽子飞回鸽巢的问题了，把此问题用鸽巢问题的语言描述就是让4 只鸽子飞进3 个鸽巢中，总有一个鸽巢里至少飞进2 只鸽子。

三、提升思维，构建模型

1.加深感悟。

师：刚才我们通过不同的方法验证了这句话是正确的。现在老师不断改变数据，你们看看发现了什么？

师：把5 支铅笔放进4 个笔筒里，会出现什么情况？

生：总有一个笔筒至少放2 支铅笔。

师：能用一个数学式表示吗？

（板书：5÷4=1……1 2）

师：把6 支铅笔放进5 个笔筒里，会出现什么情况？

生：总有一个笔筒至少放2 支铅笔。

师：能用一个数学式表示吗？

（板书：6÷5=1……1 2）

师：把100 支铅笔放进99 个笔筒呢？

生：还是总有一个笔筒至少放2 支铅笔。

师：能用一个数学式表示吗？

（板书：100÷99=1……1 2）

（n+1）÷n（n 是正整数）=1……1 2

师：通过刚才的分析，你发现了什么规律？

生：只要铅笔的支数比笔筒的个数多1，就总有一个笔筒里至少要放进2 支铅笔。

生：如果铅笔的支数比笔筒的个数多2，也总有一个笔筒里至少要放进2 支铅笔；如果铅笔的支数比笔筒的个数多3，也总有一个笔筒里至少要放进2 支铅笔……

师：我们可以用“鸽巢问题”的语言描述：有多于n 只鸽子飞进n个鸽巢，总有一个鸽巢里至少飞进2 只鸽子。

2.揭秘扑克牌游戏。

师：现在，你能利用这一原理揭秘扑克牌游戏吗？5 人抽出了5 张牌，这5 张牌相当于5 个待分物体，扑克牌有4 个花色，相当于4 个鸽巢，5 张牌归入4 个花色，那么总有一个花色至少有2 张牌。

四、运用模型，内化提高

师：鸽巢问题在生活中随处可见，它其实就是解决该类问题的一种方法、一个模型，在解决问题时关键是要看清什么是“鸽巢”，什么是“待分物体”。

1.鸽巢问题。

课件出示做一做：11 只鸽子飞进3 个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了4 只鸽子。为什么？

师：组内讨论解决，汇报：你能用一个数学式表示吗？

生：用物体的总数除以鸽笼数：11÷3=3……2。

小结：尽量平均分，目的是为了找至少数，所以总有一个鸽笼至少飞进了4 只鸽子。即除得的商有余数，至少数=商+1；或反之，除得的商没有余数，至少数=商。

2.你能举出一些用鸽巢问题解释的生活中的例子吗？

生：3 个人中，至少有2 个人是同一性别的；任意13 个人中，至少有2 个人是同一属相的；高速路口同时有4 辆车通过3 个收费站，至少有2 辆车通过同一个收费站……

五、回顾整理，反思提升（略）