基于贝叶斯估计的小波脑电信号去噪算法研究

王宏旭，张晨洁，刘勇，郭滨

（长春理工大学 电子信息工程学院，长春 130022）

大脑是由亿万个神经元组成的复杂系统，负责身体的各个功能的协调运作，通过大脑皮层上电极记录下的大脑细胞群的电位活动称为脑电信号[1]。通过对脑电信号进行研究可以获得丰富的心理及生理的疾病信息，所以脑电信号的分析及去噪算法的研究无论是在临床的诊断和急病治疗上都是十分重要的。一般来说，脑电信号具有背景噪声强、信号微弱等特点，所以如何消除脑电数据的噪声，更好地获取对大脑有用的信息是当今研究的热门话题。

近年来小波变换广泛应用于信号处理和图像融合等领域。小波去噪的方法主要有模极大值法、空间滤波、阈值法，其中阈值法国内外学者广泛应用的方法[2]。阈值的选取是根据信号的长度设定，其设定的方法具有单一性，无法一次性对信号参数进行选定，由于选取过于零散，无法满足信号复杂等特点。所以针对这一问题，很多学者提出阈值选取的方法，文献[3]提出一种全局阈值选取方法，根据分解层数的不同对脑电信号进行去噪，虽然在信号中混入基线漂移，但是还原了脑电特征；文献[4]利用小波变换对EEG信号进行高频和低频系数分解，并且利用改进的阈值选取方法，根据分解层数，对小波变换后的小波系数进行自适应阈值处理，去噪效果优于硬阈值、软阈值、Garrote阈值；文献[5]设计了阈值选取器，结合最小均方误差和小波去噪方法，提出一种LMS算法来自适应控制阈值参数，可较大程度减少噪声，提高信噪比，且该方法比传统去噪方法更准确。

实验研究表明脑电去噪的效果好坏对大脑功能的分析和疾病诊断具有重要的意义，所以本文利用美国波恩医学中心的癫痫患者实测的脑电时间序列进行去噪处理，通过观察噪声特征模型，采用拉普拉斯最大后验概率进行估计，考虑到小波系数的长拖尾性和噪声干扰性，提出了一种贝叶斯估计的自适应算法，相比于小波阈值去噪和其他的去噪方法，本文的去噪算法有效的避免了常用的小波去噪造成的细节模糊和信息丢失，实验研究显示，本文的算法可较大程度保留原始脑电信号特征同时具有良好的去噪性能，并且可以有效地提高峰值信噪比。

1 小波基本理论

1.1 小波变换

小波变换是对基本小波进行伸缩和平移得到的，小波系数是原信号与小波基函数的相似系 数[6]。 设函数Φ（t）为可积函数且满足t=L2（R），则傅里叶变换满足如下条件：

则Φ（t）为小波母函数，将小波母函数进行伸缩和平移得到：

式中，a为尺度系数；b为平移系数；Φa，b（t）是经过伸缩平移后得到的连续小波基函数。信号f（t）在式（2）中进行展开，这样的变换为连续小波变换，简称CWT，表达式为：

式中，a大于0，在CWT中尺度参数和平移参数进行离散采样后，得到离散小波变换，其表达式为：

1.2 小波基的选择

小波基的选择对脑电去噪效果至关重要，一般对称性好的小波基不会产生相位畸变[8]。正则性好的小波基在进行脑电重构时脑电信号更加平滑，紧支撑的小波在脑电去噪时处理的速度更快。

本文选择的小波基为dbNv小波，可以满足以上的条件，db1（简称Haar）小波是小波基当中最简单的小波形式，局域性较差，因此本文选择db6小波，db6的特点是处理速度更快，MATLAB软件应用方便，其波形和脑电波形相似，对脑电去噪效果最好。db6小波曲线如图1所示。

图1 db6小波函数

1.3 小波去噪原理

小波去噪原理是将小波进行分解，再对小波进行多尺度变换，尽可能提取有用的脑电信号[7]。然后再根据波恩脑电信号特征和噪声特点，选择合适的去噪模型，利用贝叶斯估计后的系数进行小波重构，从而得到去噪后的脑电信号。其基本原理如图2所示，在进行小波变换前，脑电信号的突变处峰值很高，突变处集中了噪声，很多平稳有用的脑电信号幅值很小，从而大大增加了去噪难度，所以本文以拉普拉斯为去噪模型，结合贝叶斯进行小波估计，已达到去噪的目的。

图2 脑电去噪原理

2 拉普拉斯最大后验概率模型

由于拉普拉斯分布模型具有尖峰脉冲特性以及严重的拖尾特性、概率密度分布与癫痫患者脑电信号的概率密度分布相似，所以本文采用拉普拉斯为去噪模型，在利用贝叶斯估计方法进行脑电去噪，信号模型的先验准确性直接影响去噪效果，所以模型的选取至关重要，拉普拉斯分布去噪模型为：

式中，g为含噪的脑电信号；s为真实的脑电信号；ε为噪声信号。其中 ε服从N（0，∂2）高斯噪声分布，对于含噪的脑电信号g进行相应的小波变换，得到：

式中，y为含噪脑电信号；w为不含噪声的理想脑电信号；n为噪声的小波系数。对于小波变换n服从N(0，σ2)分布，拉普拉斯概率分布与噪声的高斯分布的概率密度函数非常相似，所以对于理想脑电信号w在0点附近有很长的峰值，并且有拖尾现象发生，这和高斯分布相符合，其拉普拉斯概率密度公式为：

式中，w为小波系数的先验模型；σ为尺度参数。该公式可以有效的估计噪声模型，对去噪效果至关重要。

3 贝叶斯估计基础理论

3.1 贝叶斯原理

在脑电信号中通常认为噪声都是相互独立的，经过小波变换后的噪声n的概率密度函数为：

最大后验估计（MAP）在贝叶斯理论中是一种常用的方法，在给定的脑电数据中，p（y|x）为似然密度函数，p（x）被称为先验密度函数，所以为了求p（y|x）的最大值，根据贝叶斯估计方法，可以将贝叶斯公式转化为：

在给定脑电信号y的条件下，使概率密度函数pw|y(w|y)最大的w，其表示含噪脑电信号为：

根据公式（6）的贝叶斯准则变换得到：

对公式（11）两边取对数，则得到如下公式：

将式（7）和式（8）代入上式，得到：

脑电信号的高斯白噪声符合均值μ=0，标准差为σ2=1，对上式w进行求导，得到公式：

另|w|=sign(w)，并设w=y则公式可转化为：

3.2 贝叶斯自适应去噪算法

为了使脑电信号去噪算法具有自适应性，可以将小波系数看作拉普拉斯的分布模型，根据公式（14）可估计真实脑电信号的小波系数w，在知道标准差σ和噪声方差σ2的情况下，噪声方差可描述噪声的统计特性，为了对噪声方差做出更好的估计，1995年Donoho和Johnstone等人[9]提出小波域鲁棒中值法对噪声方差进行估计。表达式是：

因信号与噪声相互独立，所以公式中y(i)是第一级小波系数分解后对子带的分解系数。要得到真实的脑电信号，首先对每个含噪信号进行方差估计，其公式为：

对含噪脑电信号的标准差估计为：

去噪后的小波系数具有不同的拉普拉斯分布，信号的边缘标准差具有相关的随机性，所以领域的估计系数标准差为：

根据公式推导基于贝叶斯自适应去噪算法流程为：

（1）对含噪的脑电信号进行小波变换；

（2）利用公式（15）进行噪声方差估计；

（3）按照公式（16）和公式（17）得到拉普拉斯分布模型的标准差估计，再利用公式（14）进行处理，最后得到真实小波系数的贝叶斯估计；

（4）进行小波反变换进行重构，得到去噪后的脑电信号。

4 脑电去噪性能的评价方法

4.1 信噪比和均方根误差

脑电去噪效果在主观和客观评价主要依靠观察者的主观感觉和客观评价方法。为了改进算法的优越性，本文采用信噪比（SNR）和均方根误差（RMSE）两个指标来检验贝叶斯估计去噪算法，其公式为：

式中，n为信号的长度；s(i)为原始信号；x(i)为去噪后的脑电信号。通常情况下信噪比越高去噪效果越好，而均方误差越低表明去噪后的脑电数据精确度越高，去噪效果越好。

4.2 功率谱估计

经典的功率谱估计需要掌握概率论的先验方法，而这些先验知识和方法往往是由人的主观思维决定的，所以往往会导致频率低等缺点[10]。现在的功率谱估计方法主要以随机过程的参数模型为基础，对加窗函数进行假设，脑电功率谱估计方法大致分为以下几个步骤：

（1）被估计的随机过程要选择一个模型，本文选自回归模型，即AR模型；

（2）根据观测数据模型进行白化处理；

（3）根据估计后的参数模型进行功率谱估计。

5 实验结果及分析

本文的脑电去噪实验在MATLAB2017a中进行，建立算法的M文件，通过软件对波恩医学中心脑电数据进行去噪实验，脑电去噪用的样本采样频率大致为173.61 Hz，采样时间为23.6 s，采样数据点个数为4 096个，为了计算方便，本文截取1 024个点进行分析。如图2所示为癫痫患者脑电数据图。从图中可以看出，癫痫患者的脑电波形持续时间小于70 ms则被称为棘波，70～200 ms之间常被称为尖波。

5.1 实验分析

实验1：通过第2层、第3层、第4层和第5层进行近似分解，如图4所示为全局阈值去噪波形图，小波分解过程中分解层数决定去噪效果，通过图3和图4可以看出，全局阈值去噪效果明显，分解层数越多，去噪效果越好，但是计算量会相应的增大，癫痫患者脑电信号去噪边缘相对平滑，边缘丢失了脑电数据信息，且不能很好的保留原始脑电信号特征。

图3 波恩医学中心脑电数据图

图4 全局阈值去噪

实验2：小波变换对脑电信号进行高频和低频系数分解，并且利用改进的阈值选取方法进行癫痫患者脑电去噪。如图5所示为改进阈值方法进行脑电信号降噪，该方法不仅抑制了高斯噪声，相比于全局阈值去噪，改进的阈值方法保留了大部分有用的细节信息，信噪比较高，但是计算量大，不能保留全部的脑电信号。

图5 改进阈值法

实验3：采用了自适应阈值选取器，根据脑电信号噪声强度的不同，在去噪过程中自适应的选取阈值，已达到最优阈值的目的。如图6所示为自适应阈值去噪方法，该方法有计算量低、运算速度快等特点，且实验研究表明，此方法优于传统方法，能较好地提取有用的癫痫患者脑电信号，更好地保留原始信号的细节信息。

图6 自适应阈值法

针对以上实验去噪方法存在的不足，本文设计了贝叶斯估计自适应去噪方法，如图7所示，从图中可以看出该方法几乎保留了癫痫患者脑电的高频部分和低频部分的所有细节信息，从肉眼可以看出该波形与原始脑电信号的波形相似度较高，光滑性较好，计算量低。

图7 贝叶斯自适应法

5.2 仿真结果分析

通过实验的对比可知贝叶斯算法去噪效果明显优于其他算法，在实验中也可对SNR和RMSE的值进行测试。从表1中对比SNR和RMSE的值，其中贝叶斯算法的值最高，同时RMSE的值最低，所以从数值和评价指标上表明了贝叶斯算法对脑电去噪效果优于其他算法。

表1 不同的算法去噪效果的SNR和RMSE结果对比

在对脑电进行去噪过程中，可以通过能量比对去噪效果进行评估。从图8可以得知贝叶斯算法的能量比高于其他算法，表明贝叶斯算法去噪效果最好。

图8 能量比指标对比

本文分别对不同算法的功率谱进行估计，结果如图9所示，从图可以看出全局阈值、改进阈值、自适应阈值的功率谱形状呈锯齿形，谱峰点位置不确定，而贝叶斯方法的功率谱更加平坦，去噪性能更好。

图9 不同算法的功率谱估计

6 结论

本文针对波恩癫痫脑电数据及噪声模型提出了一种以拉普拉斯为最大后验概率估计，再对脑电信号进行小波变换，利用贝叶斯算法估计小波变换后的系数，从而达到脑电去噪的目的。从贝叶斯估计算法、全局阈值算法、改进阈值算法和自适应阈值算法对比来看，贝叶斯估计算法取得的信噪比最高，均方根误差最低，从能量比和功率谱估计来看，贝叶斯算法不仅结构简单，计算速度快，而且几乎保留所有的高频部分和低频部分的细节信息，没有对有用的脑电信号频谱造成伤害，并取得了较大的信噪比增益。有利于未来推动临床医学和疾病诊断的研究和预防。