温度变化对悬索非线性内共振响应特性影响

林恒辉， 赵珧冰

(华侨大学 土木工程学院,福建 厦门 361021)

由于材料轻质高强，结构受力合理，索结构在工程中应用极为广泛[1-2]。这类结构受太阳辐射、风等环境因素影响，其周围温度场变化复杂[3]。而结构动力响应往往是多场耦合作用的结果，其分析、设计、评估、试验和控制等一直都是重点研究方向[4]。研究表明：温度会通过改变材料弹性模量及其应力-应变关系，从而影响结构的振动特性。但由于结构整体复杂，环境因素时变，其他关于影响机理的共识并不多。同时复杂的边界条件亦受到温度变化影响，如果单纯基于弹性模量和应力-应变关系来解释温度效应，已无法满足理论研究与工程需求。因此全面描述索结构在温度场中的动力学行为虽难度较大，无论是理论探索还是工程实践而言，均有重大意义。

对于拉索温度效应，Treyssede[5]将Irvine的拉索温度模型拓展到其频率和振型研究。Rega等[6]在一个温度可控环境中展开悬索线性与非线性振动特性测试，结果表明当环境温度上升20 ℃时，阻尼系数增大52%，阻尼比增大18%，同时发现悬索非线性振动特性对于温度变化十分敏感。Vairo等[7]基于悬链线理论，提出一种解决均匀温度影响下索力变化的非线性分析方法。Bouaanani等[8]利用有限差分法开展了拉索热弹性响应研究，其建立的有限差分模型中考虑几何与材料非线性、温度变化、温度敏感性材料等多个影响因素。Lepidi等[9]通过引入与张力和垂度相关的两个无量纲参数，重新推导出考虑均匀温度变化影响下拉索的非线性运动微分方程。最近，Zhao等[10-13]基于均匀温度场中悬索非线性动力学模型，利用各类摄动法和数值计算方法，系统深入研究了温度变化对悬索的非线性自由振动、主共振和次共振、联合和组合共振响应特性的影响。

然而为研究简便，上述非线性振动特性分析时，均忽略了模态间的内共振，不考虑模态间的能量传递。事实上悬索作为一类典型的、同时包含平方和立方非线性的柔性结构，其模态间存在多种形式的内共振[14]。以2∶1内共振为例，近年来研究人员对各类非线性系统开展了系统丰富的研究：索-质量系统[15]、弹性约束浅拱[16]、蜂窝夹芯板[17]、变转速预变形叶片[18]、横向补给系统高架索[19]、变速运动黏弹性板[20]、偏心旋转环桁架天线[21]以及空间绳系系统柔性梁[22]等。

对于极易发生内共振响应的非线性系统而言，其参数的微小变化可能引发系统共振响应特性的显著改变。已有研究显示：悬索线性和非线性振动特性受温度效应影响，会产生明显定性和定量的改变。倘若进一步考虑模态间的内共振及其能量传递，温度变化对系统的内共振响应特性有何影响，现有的研究并没有给出。因此本文在作者已有研究的基础上，进一步考虑模态间的2∶1内共振，探究温度效应影响下系统的共振响应特性。

1 数学模型

如图1所示水平悬挂于O和B两点的悬索，以O为原点，建立坐标轴O-xy。当周围环境温度发生整体均匀改变时，基于增量热场理论，悬索将产生新的热应力平衡状态。图中:b和bΔT分别为悬索初始状态和热应力状态时的垂度；L为跨度；u(x,t)和v(x,t)分别为悬索轴向和竖向的位移。外激励为均匀分布的简谐荷载。在常规温度变化的范围内(比如：±40 ℃)，悬索弹性模量、阻尼系数以及横截面面积受温度变化的影响较小，因此本文忽略温度变化对上述参数的影响。

图1 悬索构形及特性

基于拟静定假设，考虑整体均匀温度变化，利用Hamilton变分原理，得到忽略弯曲、扭转以及剪切刚度时，悬索面内非线性运动微分方程

(1)

引入以下无量纲参数

(2)

忽略上标“*”，可得无量纲化后的运动方程

(3)

利用Galerkin截断，将空间x和时间t分离

(4)

式中：φn(x)为模态函数;qn(t)为广义坐标。

将式(4)代入式(3)中，可得

(5)

式中，阻尼项、激励项、线性项、平方和立方非线性项系数,如附录A所示。

2 摄动分析

为了便于求解，式(5)可以改写为

(6)

(7)

采用多尺度法，设位移和速度的广义坐标为

qk(t;ε)=εqk1(T0,T1,T2)+ε2qk2(T0,T1,T2)+ε3qk3(T0,T1,T2)+…

(8)

zk(t;ε)=εzk1(T0,T1,T2)+ε2zk2(T0,T1,T2)+ε3zk3(T0,T1,T2)+…

(9)

将式(8)和式(9)代入式(6)和式(7)中，并令ε的各次幂系数等于0，整理可得各阶微分方程组。由于仅考虑m和n阶模态之间的内共振，一阶方程的解可以假设为

qk1=Ak(T1,T2)eiωkT0(δkm+δkn)+cc

(10)

zk1=iωkAk(T1,T2)eiωkT0(δkm+δkn)+cc

(11)

将上式代入二阶方程中，可求得二阶近似解。对于2∶1内共振，引入调谐参数σ1来描述Ω和ωm(ωn)相接近的程度，引入调谐参数σ2来描述2ωm和ωn相接近的程度

Ω=ωi+εσ1,ωn=2ωm+εσ2,(i=m,n)

(12)

将二阶近似解代入三阶微分方程，可得可解性条件

(13)

(14)

式中,非线性相互作用系数Kij见附录B。

(15)

(16)

式中，Sm=Λmmn+Λmnm；Sn=Λnmm。

Aj可表示为极坐标形式：Aj=aj(t)eiβj(t)/2,j=m,n，式中，aj，βj分别为幅值和相位，将其代入式(15)和式(16)，可得极坐标形式的平均方程

(17)

(18)

(19)

(20)

式中：Δ=βn-2βm+σ2t;当Ω=ωm时υm=σ1,υn=2σ1-σ2,γm=σ1t-βm,γn=(σ1-σ2)t-βn+βm;当Ω=ωn时υm=σ1+σ2,υn=σ1,γn=σ1t-βn,γm=(σ1+σ2)t-2βm。S=Sm=2Sn, 其他非线性系数见附录B。

此外，解Aj还可以表示为直角坐标形式：Aj=[pj(t)-iqj(t)]eiβj(t)/2,j=m,n，代入式(15)和式(16)可得

(21)

(22)

(23)

(24)

式中：当激励直接作用在低阶模态时(Ω=ωm)，υm=σ1，υn=(2σ1-σ2)；当激励直接作用在高阶模态时(Ω=ωn),υm=(σ1+σ2)/2,υn=σ1。

3 数值算例与分析

悬索的各项物理参数分别为：L=200.0 m，A=7.069×10-2m2，E=200 GPa，ρ=7 800.0 kg/m3，α=1.2×10-5℃-1以及g=9.81 m/s2。无量纲化后的阻尼系数，低阶模态为0.005，高阶模态为0.006。基于线性系统的特征值分析，图2给出了考虑温度变化影响下，悬索的前六阶模态频率与Irvine参数λ2的关系曲线。如图所示，对于反对称模态频率，温度上升，频率下降；而正对称模态频率与温度变化的关系则较为复杂，随着温度升高，模态频率降低/升高均有可能出现，与Irvine参数大小密切相关。随着Irvine参数的增大，前三阶正/反对称模态频率会出现交点，在交点附近，该非线性系统容易发生1∶1内共振响应。温度改变时，由于频率改变，交点会发生明显漂移。与此类似，如图2中(a)～(d)所示，当不考虑温度变化时，在图中黑点处，两个模态频率之间时常呈现出2倍关系。而此时悬索在外激励作用下，极易发生2∶1内共振响应(当然并非两个模态频率之间存在两倍关系，就一定会发生2∶1内共振)。然而随着温度发生变化，频率之间的公倍关系也将随之改变，从而导致对应的内共振响应也发生变化。

图2中(a)～(d)所示四个位置，非线性系统易发生2∶1内共振，为研究简便，本文以一阶和三阶正对称模态之间发生2∶1内共振为例(见图2中(b))，探究温度变化对系统内共振响应特性影响。此时一阶和三阶正对称模态频率对应的是悬索的第二阶和第五阶频率(m=2,n=5)。原本可能发生2∶1内共振的悬索，由于其频率之间的公倍关系被温度变化所打破，系统发生内共振的位置将产生漂移。如图2(b)所示，当温度上升时，更小Irvine参数的悬索，其频率之间将呈现出两倍关系，反之，频率呈两倍关系将发生在更大Irvine参数处。

表1给出了不同温度变化下，悬索的各个参数以及线性和非线性相互作用系数的大小。由于模态之间存在明显的相互作用，因此在计算有限非线性系数时，考虑了前九阶模态。已有研究表明[23]：无论是对于水平悬索还是斜拉索，无论是拉索垂度大还是小，计算时取前九阶模态完全可以保证非线性系数的可靠性以及收敛性。

确定了不同温度情况下的线性和非线性系数后，基于直角形式的平均方程式(21)～式(24)，选择合适的初始条件，利用Newton-Raphson法求得不动点，动态解(极限环)则利用打靶法求得。不动点的稳定性通过其Jacobian矩阵的特征值来判断，有且仅有所有特征值的实数部分为负时，解为稳定，否则不稳定。在霍普分岔附近，不动点的稳定性会发生改变，此时极限环的稳定性，则利用Floquet理论来判断。计算伊始，通过给定的初始条件，求得系统远离共振区域的解，之后采用拟弧长延拓法得到其余区域的共振响应曲线。利用分岔和混沌计算软件XPPAUT可以轻松实现上述计算流程[24]。

图2 考虑温度变化影响下悬索前六阶模态频率

当激励分别作用在高阶和低阶模态时，本文通过激励响应幅值曲线、幅频响应曲线、动态解、时程曲线、相位图、频率谱以及庞加莱截面，来展现不同温度变化情况下悬索的2∶1内共振响应特性。三角形和圆形分别表示温度升高和降低40 ℃时的数值积分解，实线表示稳定解，虚线表示不稳定解。图中:SN表示鞍结点分岔;PF表示叉形分岔;HB表示霍普分岔;PD表示倍周期分岔。由于内共振响应复杂，曲线较多，图中省略了温度不发生改变的情况(ΔT=0 ℃)。

表1 不同温度变化时悬索参数、线性与非线性相互作用系数

首先，假设激励直接作用在高阶模态(n=5)，此时低阶模态(m=2)将通过2∶1内共振的形式被间接激发。图3描述了当调谐参数σ1=-0.1和σ2=0时，系统的激励响应幅值曲线。图中当激励幅值f5从0开始不断增大，高阶模态振幅a5不断增加，由于激励直接作用在高阶，在PF1之前低阶模态振幅a2始终等于0。激励幅值f5持续增长，直到PF1，此时低阶模态振幅a2通过内共振被激发，能量从高阶模态传递到低阶模态，导致振幅迅速增加，并且逐渐大于高阶模态振幅a5。倘若激励幅值f5进一步增大，高阶模态振幅a5则持续增加，而低阶模态振幅a2则不断下降。

当激励幅值f5从0.006开始不断减小，高阶和低阶模态被同时激发，而且随着激励幅值的不断减小，高阶模态振幅a5不断减小，而低阶模态振幅a2则不断增加，直到HB2点。此后，激励幅值进一步减小，低阶模态振幅a2随之减小，直到SN1后a2消失。

图3 考虑温度变化影响的激励响应幅值曲线(σ1=-0.1和σ2=0)

对于温度效应，如图3所示，无论是高阶还是低阶模态，温度升高，振幅增大，温度降低，幅值减小。不过随着激励幅值不断增加，温度变化对高阶模态振幅的影响越来越明显，而对低阶模态振幅的影响则逐渐降低。此外温度变化对动态分岔(HB)的影响明显大于静态分岔(SN和PF)。为了验证理论分析的结果，对于初始的常微分方程式(5)，采用四阶龙格-库塔法直接进行数值积分，选取合适的初始条件，可以得到稳定的幅值(图中深色和灰色实心点)。如图3所示，数值积分解与摄动分析解吻合较好，从而也验证了理论分析的正确性。

图4描述了当激励幅值f5=0.000 4和调谐参数σ2=0时，外激励调谐参数σ1与响应幅值(a2和a5)关系曲线。如图所示，由于激励直接作用在高阶模态，在非内共振区间，低阶模态振幅a2均为0，此时高阶模态振幅a5随着温度上升而增加，尤其是振动幅值较大时，影响较为明显。在内共振区域，温度变化对低阶模态振幅a2影响明显大于高阶模态振幅a5，而且随着温度的上升，曲线向左偏转幅度降低，振幅a2增加。对于系统展现出的三类分岔，温度变化对两个霍普分岔(HB)的影响更加明显，鞍结点分岔(SN)和叉形分岔(PF)受温度变化的影响可以忽略。当外激励频率从大到小不断减小时，随着温度上升，霍普分岔的出现较为滞后。

图4 考虑温度变化影响的幅频响应曲线(f5=0.000 4和σ2=0)

由图3和图4可知，动态分岔受温度变化的影响明显强于静态分岔。因此图5描述了系统在两个霍普分岔点附近的动态解，其中实心图形和空心图形分别表示稳定和不稳定的动态解。如图所示，HB1和HB2均为超临界霍普分岔，从两点出来的动态解均为稳定；此外动态解中将出现两个倍周期分岔PD1和PD2。受温度上升影响，两个霍普分岔HB1和HB2以及倍周期分岔PD2明显向左移动，将出现在更小的激励频率附近。倍周期分岔PD1受温度变化的影响并不明显，但两个倍周期分岔PD1和PD2之间的范围在升温时会明显减小。

图5 考虑温度变化影响时霍普分岔点处的动态解

由于倍周期分岔是系统进入多周期、拟周期或者混沌运动的一种途径。因此图6给出了一组调谐参数下(σ1=-0.047和σ2=0)，该非线性系统振动的时程曲线、相位图、频率谱以及庞加莱截面。如图5所示，当环境温度上升和下降时，PD2将分别出现在-0.048 8和-0.027 2。为了探究不同温度条件下的周期运动，外激励的调谐参数σ1取为-0.047 0如果激励频率由大到小变化，此时系统在降温环境中已超过倍周期分岔PD2(-0.027 2)，而在升温环境中，尚未到达倍周期分岔PD2(-0.048 8)。

如图6所示，时程曲线对于温度的变化非常敏感，对比相位图，升温时一个圈，降温时八个圈。根据频率谱以及庞加莱截面不难看出，温度下降时，系统响应频率将出现约八个峰值，而温度上升时，却只有一个明显的峰值。再对比庞加莱截面，降温时为八个点，升温时为一个。从这些振动特性均不难看出，一个系统做八周期运动，另一个则是一周期运动。由此可见，在内共振区域，受温度变化的影响，尽管调谐参数相同，但是系统会展现出截然不同的周期运动。

图6 考虑温度变化影响的时程曲线、相位图、频谱以及庞加莱截面(f5=0.000 4，σ1=-0.047,σ2=0)

当激励由直接作用在高阶模态转换为低阶模态时，低阶模态振幅直接被激发，高阶模态振幅则通过模态间内共振被激发，此时能量将直接从低阶模态传递到高阶模态。图7给出了当激励直接作用在低阶模态时，系统的激励响应幅值曲线受温度变化的影响(σ1=0.2和σ2=0)。对比图7和图3不难发现，当激励幅值f2从零开始增加时，高阶模态振幅a5一开始就不等于0。且随着激励幅值的不断增加，a2和a5均不断增大。而随着温度上升，直接激励模态的响应幅值a2不断增加，而高阶模态振幅a5受温度变化的影响则不明显。当激励幅值f2从0.01不断减小时，选取合适初始条件，可以得到另外一根共振曲线。此时，通过内共振激发的振幅a5大于直接激发的振幅a2。而且随着激励幅值的不断减小，系统会出现鞍结点分岔SN1，但是该分岔受温度变化的影响并不明显。此时无论是低阶还是高阶模态，其振动幅值均随着温度的降低而减小。

图7 温度变化对激励响应幅值曲线影响(σ1=0.2和σ2=0)

图8给出了激励直接作用在低阶模态时，系统幅频响应曲线受温度变化影响，此时外激励幅值f2选取为0.006，内共振调谐参数σ2=0。系统展现出两个鞍结点分岔点(SN1和SN2)和两个霍普分岔点(HB1和HB2)。直接激励模态的响应幅值a2明显大于因内共振而激发的响应幅值a5，且前者受温度变化的影响更加明显。对于低阶模态，随着温度的降低，曲线向左偏转的程度加剧，系统响应幅值a2降低。温度变化对霍普分岔点的影响明显大于鞍节点分岔点，当外激励调谐参数σ1从0.4不断减小时，在升温的环境中，霍普分岔的出现明显滞后，该结论与激励作用在高阶模态时的均一致。

图8 温度变化对幅频响应曲线影响(f2=0.006和σ2=0)

4 结 论

本文以悬索同时发生主共振和2∶1内共振为例，研究了该非线性系统共振响应特性受温度变化的影响。研究结果表明：温度会明显改变悬索模态频率，影响系统内共振响应，温度上升时，内共振更容易发生在Irvine参数较小的悬索，反之就更容易发生于较大Irvine参数的悬索；无论激励直接作用在高阶还是低阶模态，共振响应的幅值随着温度上升而增加，反之则减小；直接激发的模态响应幅值与因内共振激发的响应幅值受温度变化影响的敏感程度有明显区别；温度变化对动态分岔(霍普和倍周期分岔)影响要比对静态分岔(鞍结点和叉形分岔)明显得多；动态分岔会随着温度上升，向更小激励幅值和频率方向移动；系统的动态解和周期运动与温度变化密切相关，相同的调谐参数，不同的温度，系统的周期运动可能截然不同。研究悬索内共振响应受温度变化的影响，可以为其他同时包含平方和立方非线性系统(比如：浅拱、索梁和旋转叶片等)振动特性的温度效应提供参考和依据。