“设而不解”有奇效

黄旭军

最近学校在东南角刚建了一个长方形水池，一大堆同学在讨论这个水池的周长有多少。

工人叔叔说，这个水池砌的墙的横截面积是32平方米，墙厚2分米（如图中的灰色部分），周长他们没量过。

旁边还有同学想向体育老师借卷尺来量……

阿木老师哈哈一笑，说：“你们只要把长与宽设成一个未知数就行了，不一定要求出来。这是设而不解法，有时比设数法更快捷。”

“设而不解？”同学们听都没听说过这种方法，都在耐心地等老师介绍。

阿木老师说：“先把长设为a，宽设为b。去掉左下角的面积，余下部分面积就是3200-4=3196（平方分米）。可求出2a+2b=3196（平方分米）。它在数值上正好等于周长啊……这里设而不求，反而让解题更简单！”

例1

把9名学生参赛的名次从高到低排列，前5名的平均分比前4名的平均分少1分，后4名的平均分比后5名的平均分少2分。那么，前4名的平均分比后4名的平均分多几分？

观察

开始

这个题目的已知条件很少，很难用常规方法解。我们第一时间想到用设数法。

常规

思路

我们试着用设数法来解一下。假设前5名的平均分是20分，那么前4名的平均分就是21分，由20×5-21×4=16（分）可知，第5名一定是16分。由此可得：

21分，21分，21分，21分，16分，（   ），（   ），（   ），（   ）。

再设后4名的平均分为x分，那么后5名的平均分就是（16+4x）÷5=x+2，可求出x=6，由此，假设的分数如下：

21分，21分，21分，21分，16分，6分，6分，6分，6分。

也就是说，如果假设前4名平均分为21分，根据题目条件，相应的后4名平均分就是6分，21-6=15（分）。

答：前4名的平均分比后4名的平均分多15分。

另辟

蹊径

下面，我们来进行初次尝试——用设而不解法来解题。

设前4名的平均分为x分，那么前5名的平均分为（x-1）分。再设后4名的平均分为y分，那么后5名的平均分为（y+2）分。

根据前5名与后4名的学生总分之和，等于前4名与后5名的总分之和，我们可以列出方程：

5（x-1）+4y=4x+5（y+2）

5x-5+4y=4x+5y+10

5x+4y=4x+5y+15

利用等式的性質，解得：x-y=15。

不用分别求出未知数的具体值，这个算式的值，就是我们要求的结果。

例2

已知阴影部分的面积是6平方厘米，求这个圆环的面积（π取3.14）。

观察

开始

阴影部分是两个直角三角形的面积差，这两个直角三角形的直角边边长正好是两个圆的半径。

常规

思路

我们可以用设数法，设小圆半径是2厘米，那么小三角形面积是2×2÷2=2（平方厘米），那么大三角形的面积就是2+6=8（平方厘米），可求出大三角形直角边长是4厘米。

所以大圆半径是4厘米，小圆半径是2厘米。

圆环的面积就是大圆的面积减去小圆的面积，也就是3.14×4×4-3.14×2×2=37.68

（平方厘米）。

答：圆环的面积是37.68平方厘米。

另辟

蹊径

用设而不解法来解题，会是怎样的呢？我们一起往下看。

设大圆半径是R，小圆半径是r，那么：

大三角形的面积= R×R÷2= 1

2R2

小三角形的面积= r×r÷2= 1

2 r2

根据阴影部分面积=1

2R2-1

2 r2=6（平方厘米），可知R2- r2=12（平方厘米）。

圆环的面积=π（R2- r2）=3.14×12=37.68（平方厘米）

答：圆环的面积是37.68平方厘米。