轨道力学问题导向式教学培养轨道设计能力的实践1)

杨洪伟 李 爽

(南京航空航天大学航天学院，南京210016)

轨道力学是高等学校航天类专业一门必修的重要专业基础课程。我校轨道力学相关课程包括本科生必修课“航天器动力学基础”和研究生学位课“航天器轨道基础” (主要面向本科非航天类专业的学生)。培养学生应用轨道力学知识进行轨道设计的能力是轨道力学的重要教学目标之一。但是轨道力学教材[1-2]涉及大量的数学公式推导，如果仅采用以课堂讲授为主的传统教学方式，学生在学习过程中难免会感到枯燥乏味，并且难以将离散、抽象的知识点与轨道设计建立起有机联系。在教学过程中适当引入前沿热点问题[3]，加强教学互动[4]，则非常有利于改善教学效果。

问题导向式教学是一种以学生为中心的教学方式，通过解决实际问题，提升学生学习的兴趣，培养学生解决问题的能力[5]。轨道力学是一门与航天任务设计联系十分紧密的课程，基于问题导向式教学的思路，在教学过程中适当引入具有热点航天任务背景的轨道任务设计问题，让学生以主动学习的方式通过动手实践解决问题，可以帮助学生直观地理解与掌握轨道力学知识，建立与航天任务轨道设计的联系，是培养学生轨道设计能力的有效途径。近十年的全国空间轨道设计竞赛发展历程[6]也反映出通过轨道设计实践可以有效地促进轨道设计水平的提升。近年来，国内外各种类型航天任务的不断发展，为轨道力学教学中构建的轨道设计问题提供了丰富的背景素材。教材《轨道力学》[2]配套的轨道力学Matlab 程序包也为轨道设计实践的教学提供了良好的条件。本文将介绍作者对教学措施的思考，以及在教学探索实践中采用的案例问题和教学效果。

1 轨道力学问题导向式教学措施的思考

为了实现培养学生轨道设计能力的目标，在轨道力学问题导向式教学中需要采取一些必要的措施，下面给出对相关教学措施的思考。

1.1 优化教学问题的设计

问题设计是能否成功实现问题导向式教学的关键[5]。为了调用学生的积极性，提升学生的参与度，让学生能够通过动手实践理解和掌握轨道力学知识点在轨道设计中的应用，有必要对教学问题的设计进行优化。一方面，引入的轨道设计问题可以结合前沿热点的航天任务并适当简化，不仅可以增强轨道设计的趣味性、激发学生的兴趣，而且可以帮助学生建立轨道力学理论知识与工程实际任务的联系。另一方面，给出的轨道设计问题应该充分考虑学生的知识和能力范围，保障学生动手参与的可行性。对于轨道设计问题涉及的知识点应与教材内容联系较为紧密，让学生在动手实践时已经学习过轨道设计所需的主要知识点；对于多个轨道设计问题应该循序渐进，由浅到深，引导学生逐步掌握复杂轨道设计的能力。

1.2 充分发挥教师辅助指导作用

虽然问题导向式教学是以学生为中心的教学方式，但是教师在学生主动学习的过程中依然十分关键。应当充分发挥教师辅助指导作用，帮助学生推进轨道设计问题的解决并建立轨道设计的知识。在教学过程中，教师应该对学生进行必要的知识引导。虽然给出的轨道设计问题已经过简化处理，但是难免仍会涉及教材之外的知识难点，应当给予必要的讲解或者提示，避免学生因为个别难以理解的知识点而无法推进轨道设计。对于本科生教学，也需要了解学生对Matlab 软件使用的能力程度。如果学生对Matlab 了解很少，可以在课堂上花少量时间对基本的功能进行简要介绍，帮助学生克服使用新软件时的心理困难。另一方面，应该建立信息反馈机制。完成轨道设计问题需要学生在课堂之外投入时间。对于学生课外学习遇到的问题，鼓励学生以学习小组的形式互相帮助解决，对于不易解决的问题可以通过邮件、微信等方式反馈给教师，教师整理后可以将学生反馈的普遍问题通过微信群、课堂等途径进行及时答疑。此外，教师可以通过设计报告及课堂演示等方式对学生完成情况进行评估。

2 轨道力学教学中的实践

根据轨道力学教学顺序，在教学实践中依次引入了具有我国航天任务背景的轨道设计问题。下面给出教学案例来详细介绍并进行教学效果分析。

2.1 引入阶段性轨道设计问题，培养轨道设计基础能力

2.1.1 航天器运行轨道设计问题——轨道预报

航天器轨道预报是轨道力学主要目的之一。在二体问题下进行轨道预报计算，本质是求解二体问题运动微分方程的解。教材《轨道力学》[2]用了第2至4 章共3 章内容介绍相关知识，是轨道力学课程的基础核心。在二体问题解的推导过程中，会涉及大量的数学运算和知识点。学生在听讲过程中容易陷入对枯燥的数学推导的困惑之中，并且不容易清晰地把握各知识点之间的逻辑关系。在实际的教学过程中，可以通过一个地球航天器的运行轨道仿真设计问题帮助同学们从宏观的层面将这些知识点串联起来，梳理章节知识点背后的逻辑关系，让学生更直观地了解这部分知识在航天任务设计中的作用。作者选取了“天宫二号”作为目标航天器，通过网络查询给出了轨道六根数的值，要求学生基于教材配套的 Matlab 代码编写设计程序绘制三维空间轨道及轨道状态量随时间的变化关系图(部分结果如图1)。在此运行轨道设计问题中，需要综合应用前五个轨道根数守恒与平近点角随时间线性变化的特性、开普勒方程和牛顿迭代法、坐标变换、以及轨道根数与位置速度转换等知识点。在教学实践中可以在课堂上引导学生思考讨论算法的主要流程和涉及的知识点，初步形成正确的算法方案；在课后让学生进行Matlab 仿真实践。由于配套的 Matlab 程序包含有主要的基本轨道函数，学生在编程实现时较为容易，动手绘制出轨道也可以激发他们的学习热情。通过本问题的锻炼，学生可以掌握已知轨道根数的二体轨道设计方法。

图1 “天宫二号” 运行轨道设计问题结果示意图

2.1.2 火星探测最优发射窗口设计问题−轨道机动

轨道机动是轨道力学课程又一核心重点内容。教材《轨道力学》第6 至8 章均涉及轨道机动。学生在学完行星际轨道这一章后，已经初步具备了兰伯特转移和行星星历计算等理论知识。以2020 年我国火星探测任务为背景，作者在教学中引入了火星探测最优发射窗口设计问题。要求学生基于教材配套Matlab 代码中的兰伯特求解器、大行星的星历计算函数及时间系统转换函数，通过离散发射时间和飞行时间并计算不同转移轨道所需速度增量等高线图(如图2) 的方式，编写Matlab 仿真程序，找出2020年的火星探测最优发射窗口。在本案例问题中，由于考虑了星历计算，轨道设计与时间系统建立了联系。另外，在轨道设计中并未限制于理想的共面霍曼转移，比教材中霍曼转移的例子更接近于真实情况。在教学实践中仍然可以先引导学生思考和讨论初步的解决方案，再让学生通过Matlab 仿真实践。学生通过该设计问题可以获得 2020 年 7 月的最优发射窗口，并可以发现与网络搜索到的国内外2020 火星发射日期基本吻合。通过本设计问题可以帮助学生将课堂所学知识与实际的航天任务建立起联系，体会轨道力学在航天任务中的重要性，也可以增强轨道力学学习的趣味性。此外，通过本问题的锻炼，学生可以初步掌握双脉冲机动转移轨道的设计方法。

图2 2020 年火星探测最优发射窗口搜索示意图

2.2 引入轨道优化设计问题，提升轨道设计能力

考虑到实际的轨道设计中往往需要求解多变量的非线性优化问题，在轨道力学理论课结束后的课程设计中可以进一步引入更具挑战性的轨道优化设计问题。作者结合我国未来深空探测的发展方向和自身在深空探测方面的研究经历，在2018 年和2019年教学中分别布置了近地小行星采样返回的轨道初步优化设计问题和火星引力辅助探测木星[7]轨道初步优化设计问题。图3 给出了其中的木星探测问题设计结果。通过两个轨道设计问题引导学生综合使用轨道递推、轨道机动、兰伯特方法等知识对轨道进行优化设计并绘制出轨道。为了提升学生完成轨道设计问题的可行性，作者首先对问题进行简化以降低难度，其中包括小行星采样返回轨道设计中，将采样段简化为探测器交会小行星之后固定时长之内保持与小行星相同的轨道状态量；对于三维的火星引力辅助计算，提供了引力辅助模型[7]的Matlab 计算程序。学生在设计轨道时只需编写求解以时间节点为优化变量的速度增量优化问题。其次，由于轨道力学教材并未涉及数值优化知识，作者在学生开始课程设计之前补充演示了 Matlab 中非线性优化函数“fmincon”的基本使用方法。通过深空探测轨道优化设计问题的锻炼，学生可以初步掌握轨道优化设计的方法，进一步提升轨道设计的能力。

图3 火星引力辅助探测木星的轨道设计问题结果示意图

2.3 效果评价与讨论

经过近两年在轨道力学教学中的初步探索和实践发现，多数学生能够积极地参与到解决轨道设计问题之中。除了在教室中的交流讨论，很多学生在课后通过微信、邮件等方式与作者进行较多的互动交流和讨论。其中 2019—2020 学年就有 15 名学生通过微信方式交流了轨道设计问题。大部分大三学生之前尚未用 Matlab 解决过课程中的问题，通过Matlab 编程解决轨道设计问题，不仅加深了对轨道的理解，同时也锻炼了Matlab 动手编程的能力。通过学生随设计结果一同提交的心得体会中也可以看到，学生从对轨道设计问题比较迷茫到绘制出轨道时的喜悦。对于具有挑战性的深空探测轨道优化设计问题，也有不少学生完成了较高质量的轨道设计结果和报告。此外，轨道设计问题也激发了学生探索轨道设计方法的兴趣。譬如，4 名学生在课程设计中自主探索了 “fmincon” 之外的优化求解函数，并进行了对比分析；课程结束后部分学生参与到了轨道设计相关的大学生科创项目之中，包括1 项国家级大学生创新训练项目。

作者近两年轨道力学教学获得的学生评价成绩均为优秀，一定程度上反映出学生对教学方法满意度较好。另外，对比2018—2019 学年和2019—2020学年的教学实践，后一学年选用的轨道设计问题更加符合循序渐进的原则 (增加了轨道机动方面的阶段性问题)，故教学效果更佳，课程获得优秀的学生人数从7 名增加到了15 名，学生评教成绩的全校课程百分比排名也提升了16%。

3 结束语

初步实践表明，在轨道力学教学过程中引入适当的航天轨道设计问题，可以提升学生学习兴趣，加强学生对轨道力学知识的理解，有效培养学生的轨道设计能力。当然，轨道力学教育教学改革是需要长期探索和实践的工作，需要保持轨道设计问题与前沿热点航天任务的联系，逐步完善以轨道设计问题为导向的教学法，从而在探索和实践中不断地提升教学质量。