基于光滑自助法的风功率预测误差核密度建模方法

杨 宏,李文栋,赵振兵

（华北电力大学 电气与电子工程学院，河北 保定071003）

0 引言

由于风力发电的随机性和波动性，并网风电给电力系统规划、调度和运行带来了一系列安全隐患[1]。准确地估计风功率预测误差的概率分布，有助于电力系统进行更有效的风险价值分析，提高经济运行水平[2]。

目前，关于风功率预测误差的建模方法已经有了很多研究成果，这些成果可以分为参数建模方法和非参数建模方法。参数建模方法首先对误差模型做先验假设，然后根据样本数据估计模型参数。已有的、常用的参数模型有正态分布、柯西分布和TLS分布等[3]～[5]。

尽管参数建模方法有了很多研究成果，但该类方法在实际应用中存在以下不足：①现有模型不能涵盖所有的误差分布特征，有一部分预测误差不能使用这些模型；②模型的选择依赖工程人员的主观判断，一旦模型假设错误，则建模结果不能依样本数据量的增加而收敛；③在众多可选模型中，实时地选择并检验这些模型也是一个比较复杂且容易出错的过程。

基于上述原因，风电功率预测误差的核密度估计方法（一类非参数建模方法）逐渐受到关注。该类方法在面对任何分布形态时，无须进行模型假设，只根据样本数据就可以计算误差的概率密度函数。其中典型的成果是文献[6]，[7]采用的无偏交叉验证（UCV）和经验法则（ROT）。

然而，现有的UCV和ROT方法没有考虑风功率预测误差的尖峰厚尾特征，以及局部的小样本特征，直接使用会存在较大的泛化误差。为了进一步提高建模精度，本文提出了基于光滑自助法的改进方法。该方法利用光滑自助法在分位数推断上的优势，通过修改平均积分平方误差指标函数，实现了对UCV和ROT方法的校正。

1 核密度估计方法的基本原理

假设在值域空间x中有一个样本集合X={x1，x2，...，xn}，它包含独立同分布f的n个样本点，那么，在样本X上用带宽h计算的核密度函数f估计结果为

式中：f（x）为真实函数；E为概率论中的数学期望，它是衡量估计结果fh（x）与真实函数f（x）的误差平方的数学期望。

用不同的方式处理这两个指标函数，可以推导出很多不同的核密度估计方法，UCV和ROT就是其中两个典型的方法。

2 基于光滑自助法的核密度估计方法

光滑自助法可以提供更精确的分位数统计结果，它与密度估计方法的目标一致[8]。根据这个特性，本文提出了基于光滑自助法的核密度估计方法。在核密度估计理论中，MISE（h）是ISE（h）的数学期望，用该指标计算的密度函数具有更小的泛化误差，本文方法依据MISE（h）指标推导得出。

在式（3）中引入估计函数fh（x）的数学期望E[fh（x）]，展开整理可得：

通过上式可以看出，MISE（h）指标可以分解成方差和偏差两个部分，将两部分相加，可以获得一个综合方差和偏差的带宽，避免了估计结果的欠拟合和过拟合现象。与其他现有方法不同，本文处理未知分布f（x）的基本思想是先用一个基本的密度函数fb代替真实分布，再利用光滑自助法在分位数推断上的优势，对基本的密度函数fb进行校正。指标函数是在原MISE（h）的基础上做了改进。

用基本的核密度方法估计一个密度函数fb（x|X），代替原有的真实函数f（x），同时，用光滑自助法的均值函数fh（x|X*）代替抽象的数学期望E[fh（x）]，得到新的计算偏差公式。

为了适应不同特点的分布函数，在MISE（h）函数的方差项前增加一个权重系数w，在偏差项前增加一个权重系数（1-w），重新构造MISE*（h）指标函数。

式（9）为本文提出的基于光滑自助法的核密度估计方法的指标函数。该指标函数是一个可计算的优化模型，它有两个变量，w和h。其中，w为配置变量，可以根据实际方差和误差的比重，用手动方式设定或调整；另外一个变量h是优化变量，可以通过优化算法搜索完成。如果对基本估计方法比较信任，那么应该设定一个较小的w，这样计算的结果对基本估计方法有一个较小的修正；相反，如果对基本估计方法不信任，那么应该设定一个较大的w，这样就对基本估计方法有一个较大的修正。本文通过大量仿真发现，当w的取值为[0.1，0.4]时，总会有较好的效果。要进一步降低误差，提高精度，则须要通过反复仿真确定。

在获得最优带宽h*后，代入式（1）得到最终的密度函数。指标函数具体的计算过程如图1所示。

图1 光滑自助法指标函数算法流程Fig.1 Algorithm flow of smooth bootstrap index function

3 模拟数据仿真

3.1 数据源

建模精度是本次仿真检验的一个主要指标，由于受风电场容量、地形等因素的影响，风功率预测误差的分布特征存在很大差异，个别风电场的仿真结果不应直接当作其他风电场的一般性结论。基于上述原因，为了能够准确地、全面地考察本文方法在精度方面的改进效果，仿真采用了TLS模拟数据。

TLS模拟参数取值的范围见表1。

表1 TLS仿真参数的取值范围Table 1 TLSsimulation parameter value range

3.2 仿真步骤

仿真按照如下步骤进行。

第一步：在表1中选择一组具体的模型参数值。

第二步：根据模型参数，生成100个模拟样本。其目的是为了避免1次模拟的随机性对仿真结论的影响，模拟样本的数量可以变化。

第三步：在每个生成样本上采用本文方法估计密度函数。

用式（10）计算估计密度函数与真实密度函数之间的偏差，作为衡量精度的指标，偏差越小，精度越高。

式中：f为100次模拟样本估计的密度函数均值。

3.3 基于光滑自助法的UCV仿真

仿真检验本文方法与UCV结合成的SBUCV（Smooth Bootstrap UCV）方法的建模偏差和方差，并与UCV和BUCV（Bootstrap UCV）方法的结果进行对比。图2为根据部分特征参数，做出的SBUCV建模偏差的趋势图。由图2可知，（3，100）代表高峰度的小样本，它的偏差最大，但是随着样本数量的增加和峰度的减少，建模偏差会逐步降低。

图2 SBUCV偏差数值的改变趋势Fig.2 Trend of SBUCV bias

表2 为4种特征鲜明的样本的偏差结果。4种样本是：（3，100）为高峰度的小样本；（3，2 000）为高峰度的大样本；（12，100）为低峰度的小样本；（12，2 000）为低峰度的大样本。

当BUCV和SBUCV偏差与UCV偏差的相对值小于0时，表示偏差降低，精度提高；当BUCV和SBUCV偏差与UCV偏差的相对值大于0时，表示偏差增高，精度降低。从仿真结果看：SBUCV在任何特征样本下均能够提高UCV的精度，尤其在高峰度的大样本情况下提升幅度明显；BUCV在小样本下可以提高精度，在大样本下降低了精度，且提高和降低的幅度均较小。

图3为根据同样的特征参数，做出了SBUCV建模方差的趋势图，其趋势与图2相似。表3为4种特征样本的方差结果。

图3 SBUCV方差数值的改变趋势Fig.3 Trend of SBUCV variance

表3 4种特征样本的仿真方差Table 3 Simulation variance of four feature samples

由表3可知，光滑自助法在多数特征样本上均能够降低UCV方差，并且降低幅度要大于经典自助法。

但是，表3中有一个方差增加的特例发生在特征样本（3，2 000）上，这说明在高峰度大样本条件下，光滑自助法的多样性增加了UCV方差。为了解决这个问题，可以降低式（9）方差项的权重系数（例如：w=0.4），将方差降低到令人满意的范围内。

综合表2，3可以得出这样的结论：无论怎样的特征样本，在估计函数的偏差和方差两个方面，光滑自助法对基本的UCV方法具有明显的改善效果，且幅度大于经典自助法。

在完成了端点参数的特征样本的仿真后，下面针对常见参数的特征样本进行仿真。在风功率预测误差中，常见的峰度值在6附近波动，根据这个分布特征，本文选择数据量从500到2 000的特征样本，考察上述方法的偏差和方差。图4为偏差的仿真结果。

由图4可知：在常见尖峰厚尾系数样本中，UCV的偏差随着样本量的增加而减小，即样本量的增加，对建模精度有提高作用；在相同数据量的样本上，BUCV对原样本进行可放回重采样，因此，估计的偏差与原样本偏差相差不大；SBUCV是考虑了原样本分位数的精确估计基础上的重采样，因此，估计的偏差比UCV和BUCV有较大降低。

图4 峰度6的特征样本仿真偏差Fig.4 Bias of feature samples with kurtosis of six

图5为方差的仿真结果。由图5可知：UCV的方差随着样本量的增加而减小；由于BUCV和SBUCV均是通过重采样的多样性降低估计的方差，因此在方差降低效果上，两个方法结果相近，且与原样本对比，均有较大的降低。

图5 峰度6的特征样本仿真方差Fig.5 Variance of feature samples with kurtosis of six

总之，SBUCV在偏差和方差两个部分对估计结果均有较大的改进，而BUCV只在方差部分有改进。

3.4 基于光滑自助法的ROT仿真

这组仿真检验结合方法SBROT的建模偏差和方差，并与ROT和BROT的结果进行对比。

同前面的仿真过程一样，本文首先对端点参数的特征样本进行仿真，其偏差结果如表4所示，方差结果如表5所示。

由表4，5可知：在高峰度的特征样本（3，100）和（3，2 000）上，SBROT方法比ROT方法的偏差有明显的减小，即从0.19和0.07减小到0.17和0.05；同时方差也有明显的增大，即从0.15和0.04增大到0.16和0.05。将减小和增大的幅度相加可知，在高峰度样本上，SBROT的总误差小于ROT的总误差，即SBROT方法比ROT方法更有效。

表4 4种特征样本的仿真偏差结果Table 4 Simulation bias results of four feature samples

表5 4种特征样本的仿真方差结果Table 5 Simulation variance results of four feature samples

在完成端点参数的特征样本的仿真后，本文还针对常见参数的特征样本进行了仿真，其结果同上面高峰度的仿真结果近似，即偏差有一定程度的减小，方差有一定程度的增大。经过减小Z分布的方差和降低权重系数w等调整，可以达到在小样本的数据集上，SBROT总误差小于ROT总误差的效果。

综合可知：SBROT在高峰度、小样本的风功率预测误差建模上，具有比ROT更好的性能；但在低峰度、大样本的误差集合上，SBROT的效果不如ROT；SBROT方法的参数调整比较频繁，须要根据样本的具体特征进行仔细调整，才能达到预期的效果。

4 实际数据仿真

4.1 数据源

实际风电功率数据来源于中国东北的一个风电场，该风电场的装机容量为49.3 MW。在2016年夏季一个月的时间段内采集了间隔为15 min的平均输出功率（图6）。以该数据为基础，采用文献[9]给出的基于ARMA误差修正的LM-BP模型方法进行了模拟预测，并获得预测的误差集合，其分布如图7所示。本次仿真的内容就是根据这个误差集合检验本文方法的实用性。

图6 风功率测量曲线Fig.6 Curve of measurement wind power

图7 预测误差直方图和概率密度曲线Fig.7 Histogram of forecast error and curve of probability density

由图7可知，SBUCV的建模效果比常用的正态分布和柯西分布要精确很多。

图7显示的误差集合直方图保存了有效的预测误差，共1 767个数据，该集合的常用统计特征值见表6。

表6 风功率预测误差的统计特征Table 6 Statistical characteristics of wind power forecast errors

根据表6中的标准差和峰度的数值可以判断，该误差的尖峰厚尾程度较高，而且样本数据量较少，适合检验SBUCV方法的实用性。

4.2 检验方法

由于风电功率预测误差的真实分布未知，常规的检验过程不能给出正确的结论，为此，本文设计了一个多重二分检验法验证SBUCV方法的实用性。

将上述样本按照每个数据以1/n的概率方式抽样，抽取为数据量相等的两组子样本，其中1组样本用于建模，另一组样本用于检验。检验的衡量指标是Kolmogorov-Smirnov统计量（KS统计量）。根据Glivenko-Cantelli定理，当KS统计量足够小时，两组数据可以认为来自于同一分布。KS统计量的计算方法如下：

式中：F（h）为一组子样本在h下的密度估计函数；Fn（x）为另一组子样本的经验分布函数；Dh为该带宽下的KS统计量，该值越小，说明建模效果越好。

为了避免一次分组检验的随机性，针对上述过程应该进行多次随机抽样，取KS统计量均值衡量建模方法的精度。

4.3 仿真

针对给出的实际误差集合，本文进行了多次二分交叉验证，对其中1个子样本分别用UCV方法和SBUCV方法建模，然后用另一组子样本的经验分布计算两种方法的KS统计量，并进行比较。图8为50次随机模拟的KS统计量结果。

图8 50次随机模拟中的KS值Fig.8 Statistics of KS value in 50 random simulations

由图8可知，在50次的随机模拟中，大多数的SBUCV的KS值均要小于UCV的KS值。表7为50次KS值模拟结果的均值和标准差。由表7可知，无论是均值，还是标准差，SBUCV方法的统计结果均要小于UCV方法。说明了SBUCV方法在建模精度和稳健性上均要优于UCV方法。

表7 50次KS检验的统计结果Table 7 Statistical results of KS test in 50 random simulations

5 结论

为了解决常用核密度估计方法UCV和ROT在风功率预测应用中存在较大误差的问题，本文提出了基于光滑自助法的核密度估计方法。该方法可以与任何基本的核密度方法组合使用，具有使用范围广的特点。通过仿真对比了基本UCV和组合SBUCV、基本ROT和组合SBROT的精度和稳定性，得出如下结论。

①对于SBUCV方法，无论在4种典型的特征样本上，还是常见的特征样本上，该方法的精度和稳定性均优于UCV方法和BUCV方法，且提高的幅度较大。

②对于SBROT方法：在高峰度的小样本误差集合上，该方法的精度比ROT方法有较大提高，在稳定性上有较大下降；比较两者相加的总误差，SBROT方法要优于ROT方法；在低峰度的大样本上，该方法在精度和稳定性两个方面均不如ROT方法。