基于中学生排列组合理解水平的教学建议

宋晓霞

（大连汇文中学，辽宁 大连 116000）

排列组合在中学数学学习中占重要地位，在培养中学生的数学思维能力和数学应用意识方面具有举足轻重的作用，在实际生活中也有着广泛的应用。但是我们在学习数学知识或面对实际的问题情境时，对知识或者实际问题的理解通常是不全面的，而且排列组合蕴含分类排序等重要的数学思想，同时排列组合还涉及很多基本模型，因此是中学生学习的难点。那么，造成学生排列组合的得分率不高的原因是什么？有没有好的措施能改变这种现状？以上问题都需要进一步研究。

排列组合是高中数学中相对独立的一部分内容，基本不存在学生在上一阶段知识的掌握情况不好，影响了后继排列组合内容学习的问题。因此，可以用来帮助后进生建立信心。并且排列组合在实际生活中应用广泛，这在一定程度上能推动数学学科的发展和人们生活的进步。本文希望能对教师开展排列组合教学提供一些参考和建议，也有利于学生更好地理解排列组合部分的知识。

1 中学生排列组合学习存在的主要问题

1.1 分不清是排列问题还是组合问题

部分学生在解决实际问题时，分不清是排列问题还是组合问题。有的学生虽然能准确写出排列和组合的概念，但是却不能正确地将分选问题、分配问题、分组问题、选排问题放到对应的排列数问题和组合数问题中。很多学生都能区分出排列和组合这两个定义间的不同，但是在具体的习题中却经常混淆，也就是很多学生对定义的理解仅停留在字面意思，却不能达到掌握和熟练应用的程度。

1.2 分类、分步思路混乱

部分学生不能灵活掌握所有方法，或者是不知道该选择哪种方法，考虑问题不全面，经常遗漏或重复一些情况。如果题目比较复杂时，学生就不知道该归为排列问题还是组合问题了，由此导致分类和分步思路混乱。

1.3 计算错误

学生在计算方面的问题主要有两种，一种是错误地理解题意，列错了运算式，另一种是写对了运算式，运算结果错误。有的学生机械地记忆公式，并不理解公式的实际意义和用途，所以导致计算错误。还有一些学生明明写对了运算式，却计算错了结果。

1.4 解题方法掌握情况不好

学生普遍对排列组合的解题方法这部分内容掌握得不好。排列组合的解题方法有很多，比如捆绑法，特殊优先法，插空法等，如果能够选择正确的方法，很多题都可以迎刃而解，但是很多学生都不能准确地掌握这些方法以及各自的适用条件，解题时不知该选择哪种解题方法。

1.5 平均分组问题掌握情况不好

排列组合模型较多，有的模型不太容易理解，所以学生并不能全部掌握，还有部分模型学生容易混淆。虽然多数学生都能掌握一定数量的基本模型，但仍有很多学生区分不开“平均分书模型”和“不平均分书模型”。

2 研究建议

2.1 对教师的建议

1）夯实基础，加强概念教学。在讲解基础知识时，教师应该从学生现有的知识水平出发，挑选一些学生熟悉的例子，引导学生去总结排列和组合的概念。教师应让学生对分选问题、分配问题、分组问题、选排问题进行分类，并追问学生分类的理由，通过对相近概念的辨析，学生会对概念有更深层次的理解。教师要在课堂上引导学生发现排列和组合概念间的不同，强调区分排列和组合概念的关键在于判断事件是有顺序的还是无顺序的，并在例题和习题中不断强化学生的认识。

2）加强练习，提高运算水平。教师在进行排列组合教学时，要让学生在做题时认真审题，先判断是排列问题，还是组合问题，再决定选择排列数公式还是组合数公式。此外还要让学生多做练习，培养耐心，提高准确性。但是不能一味地利用题海战术，试图通过大量练习来提高学生的成绩，这样只会使学生失去学习兴趣。并且学生在没有完全掌握基础知识的情况下，被动地接受大量有难度，更不易理解的知识无疑是本末倒置，长此以往，学生既不能提高思维水平，也不能感受到数学学习的乐趣，很有可能因此失去学习数学的信心。

3）加强排列组合解题方法的教学。在教师教学过程中，要从题干入手，引导学生对题干中所给信息进行深入挖掘，调动学生主动思考，询问学生解题思路，并追问理由。当学生解题遇到困难时，再给予适当的提示。和学生一起总结解决每一类习题的典型方法，引导学生掌握通法，在解题时选择合适的方法，结合具体的例题讲解如何使用这些解题方法，在哪种情况下该选择哪种方法。再出一些变式题，让学生巩固这些方法。这样才会取得最佳的教学效果。

4）提高排列组合基本模型理解水平。在教学中，教师要引导学生一起总结排列组合的基本模型，并且要深入理解不同模型之间的差异和联系，比如“平均分书模型”和“不平均分书模型”，防止混淆。引导学生学会根据问题情境，选择不同的基本模型解决问题，并追问学生选择该模型的原因，加深学生对模型之间的区别和各自的适用范围的理解。不仅要在课堂上重点讲解各种模型及其相对应的例题，课后还要再出一些变式题，强化学生的认识。

2.2 对学生的建议

1）夯实基础知识。学生在学习排列组合时一定要深入挖掘概念中的关键词，比如“排列”的概念的关键词就是“按照一定顺序”，而“组合”的概念中则不强调“顺序”，由此可以发现概念间的本质区别，比如排列和组合概念间的本质区别在于是有序还是无序，从而可以抓住本质特征将问题进行归类。

2）提高运算能力。学生平时一定要认真审题，不要遗漏题干中的重要信息，比如“无重复数字”、“不同”等词语。多应用公式进行计算，多思考计算错误的原因，是因为考虑问题不全面还是只是理解错题意，多做练习，提高准确率，尽量避免计算错误。

3）主动探索解题方法。为了加深对知识的理解和对解题方法的掌握，学生必须要主动地参与到知识的建构过程中去，不要只是机械地记忆各种解题方法，而是要认真思考各种解题方法及其适用条件，与老师多交流自己的想法，这样才能收到更好的效果。

4）辨析模型间的异同，合理选择。学生要学会根据问题情境，将各种模型进行对比，发现各种模型之间的区别和联系，比如“平均分书模型”和“不平均分书模型”，这两种模型分别适用于“平均分配”和“不平均分配”两种不同的情境，所以学生一定要多思考和总结不同模型之间的区别和联系。