流体悬浮及其稳定性探究

刘铠铭，周亚杰，赵述敏，王红理

(西安交通大学 物理学院，陕西 西安 710049)

轻质物体能在向上喷射的自由射流柱的边缘部分处于稳定的悬浮状态，并在悬浮的同时开始旋转，称此现象为流体悬浮. 物体在流体中的悬浮现象是目前备受关注的新兴的物理问题，此问题涉及流体力学前沿的相关研究，如Navier-Stokes方程、边界层理论等. 流体悬浮的应用也很广泛，比如核领域中国内液体悬浮式非能棒控制系统[1]和国际上较为成熟的液体悬浮式非能动停堆系统[2]，现代工业中液质悬浮式永磁多自由度电机，等等.

1 流体悬浮模型

1.1 实验装置

由水龙头接软管构成供水系统，将软管出水端固定，固定装置由2个相同的铁三角和铁杆作为支撑，用可转动的十字夹固定出水口，由磁铁和铁块作为十字夹的稳定装置，使喷水的角度固定.

1.2 实验现象

实验中，将圆柱体静止地放在自由射流边缘，脱手后在1 s内，圆柱体会开始旋转，高度趋于固定值，转速基本保持恒定.

1.3 模型构建及理论分析

悬浮模型如图1所示，其中G为圆柱体重力，F1为水流冲力，F2为压强梯度力，M1为水流黏滞力矩，Mf为空气黏滞力矩.

图1 圆柱体的悬浮模型

圆柱体悬浮时会围绕平衡点轻微上下振动，振幅近似不变，定义该点为轻质物体的稳定悬浮高度，此时圆柱体受力平衡：

F1+F2+G=0，

(1)

圆柱体稳态转速近似恒定，圆柱体受到的合力矩

M1+Mf=0,

(2)

无物体悬浮时，水柱的高度为h0. 每秒喷水质量为mt，水流初始速率为vb，悬浮高度处水流速率为v0，由于过轻的物体无法悬浮，而稍重的物体悬浮高度h较低，所以实验中的vb与v0较为接近，可近似认为水柱的半径Rw等于水管的半径Rl，在水柱击打在圆柱体侧面的瞬间，其动量可以分为沿圆柱体横截面的径向和法向，其中沿圆柱体径向的冲量全部转化为对圆柱体的冲击力F1，其大小为p0cosθ0，θ0为冲击面中心点与圆柱体轴心的连线与竖直方向的夹角，称为偏心角.

F1=p0Scosθ0,

(3)

将p0和S表达式代入(3)式，得：

(4)

式中h为稳定悬浮高度，由于康达效应，圆柱体侧面形成绕流，绕流在向上的过程中由于黏滞阻力和重力作用速率会逐渐衰减、宽度增加、厚度逐渐变薄，绕过最高点后速率又逐渐增加、宽度增加、厚度继续变薄，形成绕流.

先求解二维的速率分布(绕流范围为平面不规则圆环)，由于圆柱体侧面左右对称性，可以近似认为处在同一高度、同一角度、同一厚度处的绕流速率相等，于是可以将二维模型拓展到三维. 设绕流覆盖角度θ的范围为2π，宽度为a，达到稳定时，视其为定常流动，任取一流体微元，其所处的厚度为d(θ)，速度为v(d,θ)，如图2所示.

(a)侧视图 (b)俯视图图2 圆柱体的悬浮

当整个系统到达稳态时，圆柱体侧面任意位置处流体微元的速度和绕流的厚度不随时间变化，用N-S方程描述绕流系统：

(5)

联立连续性方程：

引入边界层理论[1]描述绕流系统，不考虑外层黏滞阻力和无滑移条件，N-S方程可简化为

使用有限差分法得到微分方程组的数值解，时间步长取0.1 s，空间步长取10-5m，角度步长取2π/100 ，确认初始条件后对时间进行迭代. 当相邻两代之间的数据相差小于1%时停止迭代.

对于边界层内的流动，其雷诺数[2]的数值为

式中，ρ为水流密度，取103kg/m3；v为绕流速度，v<10 m/s；L为特征长度，这里指柱体的直径,L在10-2m量级；μ为水的动力黏度，在20 ℃时取1.01×10-3Pa·m. 由于雷诺数小于5×105,则可以将边界层内的流动当作层流来分析，δ表示边界层厚度，则y处的速度可以写成

泰勒展开并取一阶近似，得：

V(y)=a0V.

将边界层绕流与外层绕流速率分布结合得到完整的侧面水流绕流速度场，如图3所示.

图3 水流绕流的速度场

图3中紧贴圆柱体侧面的1层水流速度降低不明显，但水膜的厚度随圆柱体旋转变薄，动量和能量的传递体现为水流动量层厚度的损失，这部分水的动量和能量变成圆柱体旋转的角动量和能量. 通过流速场求解压强分布，边界层内压强在垂直于壁面方向存在梯度,满足动量积分方程[3]：

使用思韦茨解法[1]求解，动量厚度为t,则

U(x)为绕流流速分布，通过前面的有限差分法即可解得. 定义量纲为1的动量厚度

结合流速分布和动量厚度求解出各流体微元的黏滞力分布

对所有与圆柱体直接接触的流体微元求和，得到黏滞力矩为

(6)

当边界层非常薄时，可忽略垂直于固体边界的流速，则边界层内的N-S方程可以简化为

(7)

可得圆柱体侧面的压强分布p*(并且考虑绕流附加重力)，对所有微元求和得到压强梯度力为

(8)

通过水流速度场可以求解得到空气流速场.

图4是空气流速场在5 min内变化趋势，空气黏滞力矩在10-9N·m量级，圆柱体转动惯量在10-5kg·m2量级，因此可忽略空气黏滞力矩.

平衡方程可以写成：

F1+F2+G=0,

(9)

图4 空气速度场

1.4 数值模拟

设初始数组(ω,h)为(0，0)，分别以0.1 r/s和0.01 m为步长增加(ω,h)，求出每个数组对应的流速场，求出合力与合力矩，取合力与合力矩最接近0的数组，此时(ω，h)就是给定圆柱体的理想转速和理想悬浮高度，如图5所示. 初始条件：高3 cm，直径12 cm，质量4.63 g，水柱初始高度设置为1.60 m. 数值模拟结果：理论转速为5.33 r/s，理论悬浮高度为1.09 m.

图5 理论稳态转速和悬浮高度

2 悬浮高度和转速的测定

用Tracker软件测量圆柱体稳态悬浮高度he和稳态转速ωe，得到he，ωe与圆柱体直径D和厚度l的关系，并与理论悬浮高度ht、理论稳态转速ωt对比.

2.1 ω和l的关系

实验测得ω与l如表1和图6所示，ωt与l呈二次函数关系，二次项系数小于0，且ω″<0，实验曲线与理论曲线吻合较好.

表1 ω，h与l的数据

图6 转速ω和厚度l的关系

2.2 ω和D的关系

实验测得ω和D如表2和图7所示，ωt与D呈二次函数关系，二次项系数大于0，且ω″>0,实验曲线与理论曲线吻合较好.

表2 ω和h与D数据

图7 转速ω和直径D的关系

2.3 h和l的关系

实验测得h与l如表1和图8所示，ht与l呈二次函数关系，二次项系数大于0，且h″>0，实验曲线与理论曲线吻合较好.

图8 悬浮高度h和厚度l的关系

2.4 h和D的关系

实验测得h和D如表2和图9所示，实验测量ht与D呈二次函数关系，二次项系数大于0，且h″>0，实验曲线与理论曲线吻合较好.

图9 悬浮高度h和直径D的关系

3 流体悬浮的稳定性

3.1 稳定性的实验探究

悬浮物体的稳定性和生态系统的抵抗力稳定性和恢复力稳定性特征十分契合，都与自身的结构特征和外界的干扰强度有关[7]，所以引入生物学的概念，探究悬浮物的抵抗力和恢复力稳定性.

3.1.1 抵抗力稳定性

悬浮物体受到持续性扰动，强度不断增大，将其能承受的最大扰动强度作为衡量抵抗力稳定性的标准. 水柱初始高度为h0，悬浮物体质量m，缓慢改变水柱与地面夹角θ，随着水柱与竖直方向的夹角增大，扰动的强度也逐渐增大. 当水柱与竖直方向的夹角增大到一定值时，物体恰好到达平衡极限掉落，立刻停止改变水柱与竖直方向的夹角，测量射流出射点和落点的水平距离δx，δx与δθ关系为

1)圆柱体

图10是圆柱体从稳定悬浮到平衡极限过程. 实验测量δx和l，如表3和图11所示，圆柱体抵抗力稳定性在l=3.02 cm时最强.

(a)增大出射角 (b)临界角 (c)掉落 图10 改变出射角(圆柱体)

D/cml/cmδx/cmθs/(°)11.812.0243.312.511.813.0267.618.311.794.0049.515.411.835.0135.310.611.806.0327.39.4

图和l的关系

表和与D数据(圆柱体)

图和D的关系(圆柱体)

2)球体

(a)增大出射角 (b)临界角 (c)掉落图13 改变出射角(球体)

表和与D数据(球体)

图和D的关系(球体)

3.1.2 恢复力稳定性

悬浮物经过瞬间扰动后，能重新回到悬浮状态，称其为恢复力稳定性. 将砝码用轻质细线系在悬臂上，悬线长度L=1.000 m，悬线与竖直方向夹角为5°，静止释放砝码撞击悬浮物侧面，若物体未掉落，则增大悬线与竖直方向的角度θs，步长5°，砝码储存的重力势能转化成的撞击能量增大，当释放角度增加到一定值时，物体被撞击后无法恢复到平衡状态，将此角度称为临界角度θl. 砝码释放角度与重力势能Eg、撞击能量Ek的关系(忽略空气阻力影响)为

Eg=mgsinθs，Ek=ηEg，

其中η可近似认为是常数，其与碰撞过程中能量损耗有关.

Ek=ηmgsinθs,

1)圆柱体

(a)静止 (b)拉开砝码 (c)临界释放角图15 砝码撞击(圆柱体)

图和l的关系

图和D的关系(圆柱体)

2)球体

(a)静止 (b)拉开砝码 (c)临界释放角图18 砝码撞击(球体)

图和D的关系(球体)

对比2种稳定性的实验，发现球体和圆柱体的抵抗力稳定性和恢复力稳定性具有一致性，即抵抗力稳定性越强，恢复力稳定性也越强，则综合稳定性越强.

3.2 稳定性的解释

圆柱体和球体在受到扰动后，必然会发生竖直方向和水平方向的偏移，侧面绕流产生的压强变化会给圆柱体水平方向的回复力，水柱冲量的变化会给圆柱体竖直方向的回复力，

3.2.1 水平方向的回复力

伯努利方程适用于理想流体的稳定流动，当圆柱体最终处于稳定悬浮的状态时，其侧面的水流可以视为稳定流动：

(10)

式(10)中，C为常量，将圆柱体拿掉时水柱的最高高度为h0，则

C=ρgh0,

(11)

对于同一圆柱体，当其水平偏移量不同时，受到的水平回复力大小也不同，分为2类情况讨论：

图20表示水柱在不同时刻冲击圆柱体的点不同，导致在圆柱体侧表面形成不同的绕流，(a)和(b)情况都不是稳定情形，由式(10)和(11)得：

(12)

(13)

(a)向左 (b)向右图20 水平回复力

水柱到达A点和B点的能量损耗主要包括重力势能损耗、黏滞阻力损耗和转化为冲击力的损耗，重力势能损耗相同，黏滞阻力和转化冲击力损耗且都是点A大于点B，所以剩余动能EkA

pA>pB.

(14)

考虑圆柱体侧面的总体压强分布结合大气压，最终得到压强梯度力方向向右，为

dFA=[p0-(p0-pA)]dS,

dFB=[p0-(p0-pB)]dS,

其中，FA为图20(a)情况由压强分布产生的水平回复力

FB为图20(b)情况由压强分布产生的水平回复力

结合式(14)得到：

FA

(15)

FA和FB方向向右，形象地说，在一定范围内，偏心角越大，圆柱体受到被水柱吸附的力越大.

再考虑冲击力沿水平方向的分力，由式(4)，得到冲击力F1的表达式，此时偏心角θ是时变的：

冲击力沿水平方向的分力F1x为

再考虑图20中2种情况，FAx为图20(a)情况下冲击力沿水平方向的分力(起到的作用与回复力相反)：

FBx为图20(b)情况下冲击力沿水平方向的分力：

FAx>FBx,

(17)

结合式(15)和式(16)得到

FAxback=FA-FAx<0

(16)

图20(a)中偏心角较大，圆柱体受到的水平回复力向左，图20(b)圆柱体受到向右的水平回复力，由零点存在定理，一定存在让圆柱体刚好达到平衡的点，不受回复力，即∃θ∈(θA,θB),使

F(θ)xback=0.

3.2.2 竖直方向的回复力

由式(4)得到冲击力F1沿竖直方向的分力

h表示实时的悬浮高度，是时变量.FAy为图21(a)情况下冲击力沿竖直方向的分力：

FBy为图21(b)情况下冲击力沿竖直方向的分力

显然FAy

FAyback=FAy-G<0;

图21(b)中竖直回复力为FByback，方向向上：

FByback=FBy-G>0,

由零点存在定理，一定存在使圆柱体刚好达到平衡的点，不受回复力，即∃h∈(hA,hB),使

F(h)yback=0.

(a)向下 (b)向上图21 竖直回复力

3.2.3 势能最低点

势能最低点(θ,h)，其物理含义是圆柱体受到扰动后所趋向的点. 数值模拟使用迭代试探的方法，得到圆柱体稳定时的悬浮高度和转速. 对于受到扰动后的圆柱体，其周身水流速度场是时变的，所以无法求出势能最低点的具体位置. 但是不影响理论上存在势能最低点，此点的存在对圆柱体受到扰动后能回归稳定点提供了合理解释.

如图22所示，对于抵抗力稳定性和恢复力稳定性的一致性,也可以从势能的角度解释，由于势能最低点(θ,h)的存在，并且势能曲线是连续的，导致势能曲线存在低谷区，谷的深度与势能最小值U(θ,h)负相关，悬浮时的势能最小值越小，谷越深. 物体掉落后，其势能为外部环境的势能，即从峰顶掉落到外侧的平直的势能曲线上.

图22 势能曲线图(定性)

为了理解方便，可以类比谷底有一小球，抵抗力稳定性的实验是不断增大射流偏转角，等同于势能最低点不断变大，即谷底缓慢抬升，如图23所示，当谷底上升到超过峰顶后，悬浮物掉落到外界环境中.

图23 势能最低点的抬升

恢复力稳定性实验是对小球进行撞击，而整个悬浮系统是不变的，所以谷底的深度不变，而是把小球缓慢地从谷底拉到峰顶，小球到达封顶后，即悬浮物掉落到外界环境中. 所以谷底的初始深度越深，悬浮物的抵抗力稳定性和恢复力稳定性都越大，论证了抵抗力稳定性和恢复力稳定性具有一致性.

4 结 论

定解了圆柱体绕流的流速场，求出圆柱体的理论悬浮高度和理论转速，实验与理论符合程度良好. 探讨了悬浮物体的稳定性，研究了影响球体和圆柱体稳定性的因素，实验结果表明：转速与厚度l、直径D呈正相关，悬浮高度与厚度l、直径D呈负相关，对于泡沫材质的圆柱体，抵抗力和恢复力稳定性具有一致性，其在l=3.02 cm，D=11.81cm时稳定性最强.对于泡沫材质的球体，抵抗力和恢复力稳定性也具有一致性，在D=14.37 cm时最强，直径相同的球体比圆柱体恢复力稳定性强.