概率论与数理统计教学研究与探索

李荣华　常秦　吕炜　苑铮

【摘要】本文结合作者多年的教学体会，对概率论与数理统计课程的教学进行研究与探索。研究与探索的主要方法：①采用解剖法吸引学生对概率论与数理统计产生兴趣;②抓好每节课的教学细节，细节决定成败;③对每节课的难点分化于形，作者侧重于使用导图予以引导;④重在数学思维能力培养，通过六大过程予以展现。

【关键词】概率论与数理统计教学  古典概率  随机变量  分布函数

【Abstract】Based on the authors years of teaching experience， this paper studies and explores the teaching of probability theory and mathematical statistics. The main methods of research and exploration are：①using the method of anatomy to attract students interest in probability theory and mathematical statistics; ②grasping the teaching details of each lesson， the details determine success or failure; ③the difficulties of each lesson are divided into shapes， and the author focuses on using maps to guide them; ④the focus on the cultivation of mathematical thinking ability and show it through six processes.

【Keywords】probability theory and mathematical statistics teaching; classical probability; random variables; distribution function

【基金项目】中国石油大学（华东），2020年8月31日，青年教师教学指导团队建设的研究与实践，QT-202002。

【中图分类号】G4;O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）08-0081-03

概率论与数理统计是研究随机现象及其统计规律的一门学科，概念深奥，方法独特。概率论与数理统计不仅是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学等专业的必修课，还是很多工科及经济等专业的必修课。概率论与数理统计不仅是很多专业的学科基础知识，而且还是全国硕士研究生入学（一、三）考试必考内容。因此对于高校数学教师，如何上好概率论与数理统计课程就显得十分重要。本文结合作者多年的教学体会，仅就概率论与数理统计课程中的教学（以开场白、古典概率、随机变量和分布函数、一元线性回归分析为例）进行研究与探索，希望有助于概率论与数理统计教学水平的提高。

一、引人入胜的开场白是使学生对概率論与数理统计课程产生兴趣的关键

第一堂课除了阐述本课程的教学目的（培养目标）、学习本课程的原因（重要性）、课程的特点及发展简史外，还使用解剖法引入概率论与数理统计课程的研究对象及其基本概念。概率论顾名思义就是概率的理论。所谓理论就是系统性、科学性、规律性的知识，譬如概率论与数理统计中的性质、定理、计算公式等都属于理论的范畴。故概率论就是有关概率的系统性、科学性、规律性知识。那什么是概率呢？从个人理解的角度，通俗地讲概率就是未来某个时刻不确定状态发生的可能性大小，它包含三层含义：①大小就是数（量），就是一个值，求概率就是求一个数值。②未来时刻就是相对于现在时刻t，时刻T（T >t）就是未来。任何人都有过去、现在和未来，因此概率论的研究对象是着眼于未来的，与高等数学、线性代数等大学课程的研究对象明显不同。③不确定状态就是可能发生也可能不发生的状态，就有随机性或者不确定性。那如何描述不确定状态？这就是随机现象。随机现象就是概率论与数理统计的研究对象。那什么是随机现象呢？随机现象就是可能发生也可能不发生的自然现象。随机现象和必然现象是相对的，是大自然中现象的两类不同形式，故进而指出学习概率论与数理统计的方法肯定异于高等数学的学习方法，先前的那些学习方法肯定不能一股脑儿搬到概率论与数理统计学习上来，学好概率论与数理统计就要从基础知识入手，慢慢培养概率论与数理统计学习方法、学习思维方式。通过定义随机现象，逐步引入概率论与数理统计的基本概念，如随机试验、样本空间、随机事件、随机事件的关系与运算、随机事件的运算规律，概率论与数理统计的知识就在不知不觉中逐渐展现在学生面前。概率论解剖法思维导图如图1所示。

二、细节决定成败

吸引学生产生兴趣之后，每节课的细节就决定学生学习质量的高低。古典概率（也称等可能概率）是概率论与数理统计课程中一种特殊的概率，也是本课程中的重要一节。古典概率在高中曾学过，在大学里如何讲解古典概率呢？概率论的内容主要包括概率的定义、性质及计算方法。概率的定义分为统计性定义和公理化定义。概率统计性定义就是随机试验次数越来越多，随机事件发生频率的极限值定义为概率。概率公理化定义就是定义在事件域上满足非负性、规范性和可列可加性的函数称为概率（测度）。这样定义的概率具有一系列的性质。概率的定义并没有给出计算具体概率的方法，而概率的性质只是给出计算抽象概率的方法。对于概率的计算方法，我们分为九类（种），古典概率法就是其中的一种。所以古典概率法是第一种具体计算概率的方法，也是计算概率最基础的方法[1]。古典概率法包括引入、古典试验、古典概率的计算公式、排列组合预备知识、实例。古典概率法位于概率的公理化定义及性质章节之后，是利用公式来计算概率值的第一种方法。先通过投掷硬币和骰子的样本空间找到它们的共性，然后引入古典试验的定义（有限性和等可能性）;然后根据随机事件是样本空间的子集，给出随机事件的枚举表达，最后利用等可能性，导出古典概率的计算公式P（A）=n（A）/n（Ω）。对于古典概率计算公式，特别强调：①n（A），n（Ω）必须是基于同一个试验或同一个样本空间;②计算n（A），n（Ω）要用到排列组合的知识及其加法定理、乘法定理;③古典概率公式看似简单，而n（A），n（Ω）有时计算却很难，因此古典概率的计算并不像其公式那样容易给出，故学生只需掌握较简单的古典概率计算即可。古典概率公式是法国数学家拉普拉斯在1812年《分析概率论》中提出的，仅适用于古典概率的计算。在例题中着重讲解5到7个有放回的和无放回的摸球模型，至于分房问题、生日问题和配对问题视情况自行处理。学好古典概率，对于以后各章节的学习起着非常重要的作用，因为无论后续的条件概率、全概率公式还是分布函数，都要用到古典概率。概率计算思维导图如图2所示。

三、难点分化于（图）形

每节课都有自己的重难点。对于知识难点，笔者侧重于使用导图予以引导。随机变量和分布函数是概率论与数理统计课程的最基本概念，是概率论与数理统计区别于其他课程的独有概念，也是学生很难理解的两个概念。随机变量和分布函数是一对“孪生兄弟”，两者相互依存。有一个随机变量，一定存在一个分布函数，但反之不成立，即一个分布函数可能对应两个不同的随机变量。随机变量的重要性在于它把随机现象的研究转化为数（字）的研究，而分布函数重要性在于它完成刻画了随机变量取值的统计规律性，利用高等数学知识可以求解概率。通过图2我们知道，随机变量是通过概率的第九种计算方法所引入的。那在实际授课中，如何引入随机变量这个概念呢？随机现象的所有可能结果定义为样本空间，样本空间的元素有时不是数值，而我们从小到大跟数字一直打交道，怎么将我们遇到的不是数值的样本空间这个新问题转化为我们熟悉的数字去处理，怎么在随机现象和数字之间建立起某种联系？随机变量就是这样一座架在随机现象和数字之间的桥梁，通俗地讲它就是高等数学中常讲的函数。随机变量是定义在样本空间上的可测函数（或变换），与其他函数的区别在于它对应着一个分布函数，而其他函数没有所谓对应的分布函数之说。通过随机变量，随机现象的研究可以转化为数字的研究，随机事件也可以通过随机变量来表达。分布函数是一个定义在实数轴上取值于[0，1]的普通函数。通过随机变量和分布函数，概率值的计算就转化为求和或定积分的问题，从而可以利用已学过的数学分析知识来求解概率值，故这种方法称为随机变量法，或分布函数法，或数学分析法[2]。随机变量分为一维随机变量和多维随机变量，主要内容包括随机变量引入;随机变量定义;如何理解随机变量。关于分布函数，主要讲解分布函数定义，分布函数性质、分布函数的意义。随机变量和分布函数的思维导图如图3所示。

四、重在培养数学思维能力

学好概率论与数理统计，关键在于数学思维能力培养。数学思维能力主要通过如下六个方面体现：数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数据分析、数学建模。以一元线性回归分析为例，阐述上面六大能力的培養。一元线性回归分析的讲解一般首先给出两个引例。引例1：考查某物体做匀速直线运动的规律。引例2：设某化学反应过程的得率y与该过程的温度x有关，现做了10次测量，数据为（38，20.4），（43，20.9），（49，22.5），（54，23.0），（60，24.2），（66，24.3），（71，26.2），（77，26.6），（82，28.0），（88，28.9），试研究两者之间的变化规律。

通过这两个引例，我们得到一元线性回归分析模型y=a+bx+ε。一元线性回归分析模型就是不管这两个引例的具体问题背景如何而抽象出两者共有的本质的东西，这种思维过程就是数学抽象。

对于一元线性回归分析模型y=a+bx+ε，在噪音项ε服从正态分布条件下，利用题目所给的10次观测值，构造误差平方和函数，通过最小二乘法，求得回归系数a，b的估计值â，b。这种思维过程就是逻辑推理[3]。

对于引例2，将所给的观测值在二维平面上画出其散点图。通过散点图，我们读出变量x，y之间近似存在某种线性关系。这种思维过程就是直观想象。

对于我们建立的一元线性回归分析模型是对还是错，在数理统计中归结为回归系数b=0是否成立的问题。为了检验零假设H0：b=0，我们需要将总误差平方和分解为回归平方和和残差平方和，然后构造F统计量来实现，这种思维过程就是数据分析。

从回归系数â，b的推导，到零假设H：b=0检验，数学运算无处不在。

一旦一元线性回归模型检验通过，我们就可以利用一元线性回归过程进行预测，从而为实际问题解决提供建议和途径，整个数学建模过程终结。

特别强调的是，在讲课过程中，这六个方面大部分是相互交叉的，很少单独出现。

参考文献：

[1]赵鲁涛主编，概率论与数理统计教学设计[M].北京：机械工业出版社，2015.

[2]李荣华，丁永臻，陈晓林.概率论与数理统计[M].东营：中国石油大学出版社，2018.

[3]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2011.

作者简介：

李荣华（1964年-），男，汉族，山东东营人，中国石油大学（华东）教授，博士，一直从事数学的教学与研究。