未知死区输入非线性系统的双观测器动态面控制

王源庆 张桂臣 施祝斌 王 琪苏 娟

(1.江苏航运职业技术学院轮机工程系,江苏南通 226010;2.上海海事大学商船学院,上海 201306)

1 引言

在实际工业控制系统中,因执行机构物理结构限制,存在控制输入饱和即死区动态问题,引起控制滞后、超调甚至系统不稳定,许多学者展开了研究.Zuo等[1]研究了未知死区的非线性问题,利用现代数学方法,提出基于微分同胚的自适应控制方法.He等[2]为了解决未知死区带来的不确定性和轨迹跟踪问题,设计了基于神经网络的自适应控制方案.文献[3]针对死区输入的动态非线性系统,设计了一种自适应鲁棒动态面的控制策略.文献[4]针对一类具有未知死区的纯反馈非线性系统,利用神经网络建立了自适应鲁棒动态面控制方法.Li等[5]研究了具有未知死区输入的纯反馈不确定非线性系统的精确控制问题,设计了基于观测器的动态面控制方案.鉴于动态面控制在高阶系统中的优异表现,本文研究了一类含死区输入的严格反馈非线性系统,提出了基于观测器的自适应鲁棒动态面控制方法.

多年来,自适应鲁棒控制是解决不确定非线性问题的重要方法.文献[6]研究了一类存在有界扰动的非线性系统的自适应控制问题,提出了基于Lyapunov的直接自适应鲁棒控制.类似的,文献[7]针对一类严格反馈形式的非线性系统,设计了基于神经网络的自适应鲁棒控制方法.文献[8]为了解决不确定单输入单输出非线性离散系统的控制问题,提出了直接自适应神经网络鲁棒控制.文献[9]将基于神经网络的自适应鲁棒控制方法拓展到多输入多输出的不确定非线性系统中,取得了较好的效果.文献[10]针对一类严格反馈非线性系统,提出一种基于神经网络的反演自适应鲁棒控制法.以上成果广泛的采用自适应神经网络函数逼近法来解决不确定非线性系统的控制问题.与此同时,基于自适应神经网络的函数逼近法还被推广到一类连续时间非仿射非线性系统[11]、多输入多输出仿射非线性系统[12]、未知参考方向的非仿射非线性系统[13]、未知死区的分散非线性大系统[14].综上可知基于神经网络的函数逼近方法已经得到深入研究,但是神经网络属于黑箱方法,理论分析较为困难.而且,其调节参数多,相互影响,这类基于函数逼近器的自适应鲁棒控制要达到理想的效果,需耗费大量的时间来调节参数.因函数逼近精度影响反馈控制效果,继续研究其他方法来代替函数逼近器处理未知函数的问题,将具有重要的意义.基于此,本文采用扩张观测器替代函数逼近方法来改善传统自适应鲁棒动态面控制.

扩张观测器(extended state observer,ESO)来至于韩京清教授的自抗扰算法,因其不依赖精确数学模型,能观测和补偿外部和内部扰动,收敛速度快、控制精度高,被广泛应用于处理非线性系统中的不确定扰动.文献[16]利用观测器解决动力学模型未知问题,以提升系统鲁棒性能,并通过仿真得到验证.在文献[17]中,针对系统模型含不确定结构,并常受未知扰动影响,设计了基于观测器的抗扰动方法.文献[18]针对机器人系统中存在的时滞现象,提出了一种含扰动观测器的自适应神经网络控制方法,取得了较好的效果.由上可知,扩展观测器能有效处理非线性系统不确定性问题,丰富了反馈控制器效果提升路径.

文献[19]在建立每一步动态面时,采用扩张状态观测器观测和补偿系统扰动,采用跟踪微分器过滤虚拟中间信号并得到差分信号,跟踪微分器的使用不但消除了计算复杂问题,也提高了控制效果.但跟踪微分器参数调节复杂,因此本文设计第1观测器代替微分器来实现信号过滤并得到差分信号.因第1观测器引入了控制输出信号,实现了动态面的双反馈控制,有利于反馈控制效果的提高.

本文主要工作如下：

1) 采用基于反双曲正弦函数的扩张观测器,以降低参数调节和理论分析难度.

2) 在动态面每一步设计时,引入第1观测器即参考信号观测器跟踪和过滤参考信号,并得到差分信号,避免了传统反演法的“微分爆炸”情况,解决了反演法的计算复杂问题.

3) 设计了一种基于双观测器的自适应鲁棒控制算法,该方法采用精度更高的扰动观测器替代常规的函数逼近器,且与第1观测器实现双反馈控制,加快了收敛速度,提高了闭环系统性能.

本文主要内容组织如下：第2节,给出一类严格反馈非线性系统的数学模型,并设计新型双观测器;第3节,针对含输入死区的非线性系统,提出基于双观测器的自适应动态面控制律;第4节,利用李雅普诺夫方法,分析输出反馈控制信号的参数选择与整个闭环系统的关系;第5节,仿真实验验证算法的有效性;第6节,对本文进行总结.

2 问题描述与预备知识

2.1 模型描述

考虑一类严格反馈非线性系统：

式中：时间t ∈[0,∞);X(t)=[x1··· xn]T∈Rn是系统状态量;y是系统输出;f(X)∈R1是系统不确定性函数;u是系统输入;D(·)是系统死区输入函数,形式如下：

式中m,κ为未知正定常数.利用中值定理,死区输入函数简化如下：

式中

将式(3)代入式(1)可知

式中

针对含输入死区(2)的严格非线性系统(1),设计基于双扩张观测器的自适应鲁棒控制器控制输入u,以实现以下目标：

1) 精确在线逼近系统未知模型函数,设计自适应动态面鲁棒控制器的控制输入信号.

2) 确保在L∞范数意义下系统误差ei(i=1,···,n)的稳态和暂态控制性能.

2.2 双观测器设计

2.2.1 跟踪信号观测器设计

动态面每一步设计时,为了解决动态面算法计算复杂性问题,设计跟踪信号观测器,并考虑系统控制输出的影响,提高反馈控制效果.

引理1文献[20]给出了如下形式的扩展观测器：

式中：xr(t)是参考信号,β1,β2,···,βn,βn+1,b0为正定常数.选择合适的参数,有下式成立：

参考文献[15,20],设计第1观测器式(9)：

其中：g(·)=arsh(·)为反双曲正弦函数,

最后一个xn+1是u.eri(t)为跟踪信号观测器的滤波误差：

式中：‖xr3‖≤ι,ι是正定常数,且

根据式(10)-(12)可得观测器的误差方程

则系统(13)可改写为

联系式(14)的李雅普诺夫函数：

则至少存在一点γ ∈[0,ei21]使得

根据反双曲线函数一、三象限单调增的性质,又由βi2＞0,可得出

对式(17)求导可得

当且仅当eri22=0时,V1=0,因此,系统(14)渐进稳定.

在观测器(9)中,因考虑了系统控制输出量,与扰动观测器共同实现双反馈控制.证毕.

2.2.2 扰动观测器设计

为了观测和补偿系统不确定函数,参考文献[15],设计扰动观测器如下：

其中：ρi1,ρi2为正定常数;ezi(t)为扰动观测器的观测误差：

zi2(t)用来逼近并观测和补偿未知模型,自适应动态面最后一步中的xn+1(t)为u.上式的收敛性证明与跟踪信号观测器类似.

3 自适应动态面控制器设计

定义误差为

式中αi−1为中间控制量.

自适应动态面控制器工作原理如图1所示.

第1步根据式(5)和式(21)可知

图1 自适应动态面工作原理图Fig.1 Working principle diagram of adaptive dynamic surface

设计第1观测器ESO11以得到

式中ρ1检测噪声信号上界,即设计第2观测器ESO12在线逼近和补偿未知模型函数f1(x1,x2)：

式中z12用来逼近未知函数f1(x1,x2).观测器误差ez1=z11−x1,且有界.

设计第1个虚拟控制量：

式中c1,φ均是正定常数.

式(26)中,自适应调节律为

式中λ1,σ1为正定常数.

将虚拟控制量(26)代入式(22),得到系统(1)的误差e1的动态方程是

选取李雅普诺夫函数：

对式(29)微分可得

将式(27)-(28)代入式(30)可得

式(31)满足

式中θ1=ε1+η1.

根据Yong不等式可知

由文献[22]可知

由于tanhx和arshx均是一、三象限单调增函数,且具有保号性,因此

由图2可知

图2 取φ=100时x∗tanh和x∗arsh的对比曲线Fig.2 Contrast of inverse hyperbolic sine function and tangent function φ=100

结合式(35)和式(34)可知

将式(33)和式(36)代入式(32)可知

第i步根据式(5)和式(21)可知

式中αi为第i个虚拟控制量.

设计第i+1观测器ESOi2在线逼近和补偿未知模型函数fi(xi,xi+1)：

式中：zi2用来逼近未知函数fi(xi,xi+1),观测器误差ezi(t)=zi1−xi,且有界.

设计第i个虚拟控制量：

式中ci是正定常数.

式(25)中,自适应调节律为

式中λi,σi为正定常数.

将虚拟控制量式(42)代入式(38),得到误差ei的动态方程是

选取李雅普诺夫函数：

式中λi是正定常数.

对式(45)微分可得

将式(43)-(44)代入(46)可得

式(47)满足

式中θi=εi+ηi.

根据Yong不等式可知

因

将式(49)代入式(48)可知

第n步根据式(5)和式(21)可知

式中αn为第n个虚拟控制量.

设计第n观测器ESOn1以得到αn−1

设计第n+1观测器ESOn2在线逼近和补偿未知模型函数fn(xn,xn+1)：

式中：zn2用来逼近未知函数fn(xn,xn+1),观测器误差ezn(t)=zn1−xn,且有界|ezn|≤ι1.

最后,设计实际控制信号：

式中cn是正定常数.

式(55)中,自适应调节律为

将虚拟控制量式(55)代入式(51),可知

选取李雅普诺夫函数

式中λi是正定常数.

对式(58)微分可得

将式(56)-(57)代入式(59)可得

式中

根据Yong不等式可知

因

将式(62)代入式(61)可知

4 稳定性分析

定理1针对有未知死区(2)输入的闭环非线性系统(1),设计参数自适应律(26)(34)(41)的控制规则(25)(35)(42),设置适当参数,选取任意双观测器的初始条件和zi1(0),可保证整个闭环控制系统是半全局一致最终有界的.而且,系统状态和自适应参数收敛于如下紧集：

证选取李雅普诺夫函数如下：

将误差动态方程(37)(50)(64)代入(65)可知

由式(66)可得

式中：

由此可证,闭环系统都是半全局一致最终有界.

证毕.

对式(67)两端积分可知

存在定义为式(71)的第2个紧集.

式中λmax为λi的最值.

根据式(65)可得

由式(72)可知

将式(74)代入式(78)可知

根据式(65)(69)可得

5 仿真实验

考虑如下不确定非线性系统：

式中：f1(x1)=2 sinx1,f2(x1,x2)=x1x2,参考信号为方波.通过合理设置系统参数,以跟踪期望参考信号.死区参数m=1.5,κ=2.5.系统初始条件和参数设置如表1所示.

表1 控制器参数设置Table 1 Parameter setting of the controller

为了验证本文算法的控制效果,与传统非线性ADRC做仿真实验对比,结果如图3所示.控制系统性能指标如表2所示.表2中：π为超调量均值,tr为上升段平均时间,ts为下降段平均时间,ees为稳态误差平均值.

图3 控制效果Fig.3 Comparison of control effects

表2 控制系统性能指标Table 2 The experimental index of square wave reference signal

根据图3和表2可知：本文自适应鲁棒控制算法控制效果比传统非线性自抗扰控制(active disturbance rejection control,ADRC)跟踪误差超调更小,收敛速度更快,控制精度更高.表明采用双观测器跟踪动态面控制中的不确定量,可提升系统控制效果.

为进一步验证本文方法的鲁棒性,参考信号定为xr=5 sint,系统在10 s和25 s分别加入幅值为1和−1的阶跃扰动信号,其结果如图3-8所示.

图4 负载扰动时控制效果Fig.4 Control effect under load disturbance

图5 观测器ESO11的跟踪效果Fig.5 The tracking effects of the observer ESO11

图6 观测器ESO12的跟踪效果Fig.6 The tracking effects of the observer ESO12

图7 观测器ESO21的跟踪效果Fig.7 The tracking effects of the observer ESO21

图8 观测器ESO22的跟踪效果Fig.8 The tracking effects of the observer ESO22

由图3-8可知：当受到外部扰动时,系统表现出良好的鲁棒性,系统信号跟踪误差和观测误差均能快速收敛到一个较小领域中.在消除干扰后,系统能快速恢复稳定状态,保持良好的跟踪效果,观测误差较小.基于以上分析可知,本文提出的自适应动态面鲁棒控制方法具有较好的信号跟踪能力,鲁棒性和抗扰动能力较强.

6 结束语

本文针对不确定非线性系统存在未知死区输入的情况,设计了基于双观测器的自适应动态面控制方法.动态面的每一步设计中,跟踪信号观测器替代常规动态面控制的滤波器,并考虑了系统控制输出的影响.扰动观测器代替常规函数逼近器,可预估并补偿动态面每一步未知状态量,抑制未知死区输入扰动的影响.两个观测器实现双反馈控制,提高了反馈控制能力.仿真实验表明,基于双观测器的自适应动态面控制方法抗扰动能力强,鲁棒性能好.在此基础上,作者会将此方法应用到无人机控制系统中,验证并改进该方法的性能.