刘加霞
“小明从2个苹果中拿走1个,小红从4个苹果中拿走2个,求拿走苹果数是原来苹果数的几分之几”用算式[12+24=1+22+4=36]解答,可以吗?
有教师认为“绝对不可以”,分数加法法则不是“分子加分子、分母加分母”。实则,这种解释没有揭示问题的本质,没有认识到算式中的[12]、[24]不是“真的”分数,它们只是刻画了两个数量(“拿走的”与“原来的”)之间的对应关系,而不是比率关系(要比较的“标准”不统一)。既然算式中是两个“假的”分数、是新创造的运算对象,这样列式解答也是“合理的”,“对应关系”中每一个“数”的计数单位都是“1”,因此“拿走的”与“拿走的”可以相加、“原来的”与“原来的”也可以相加,所得的两个“和”依然可以描述“拿走”与“原来”的对应关系。如果用“真的”分数即“单位1(苹果总数是6)”相同的分数来解决该问题,严格地说,[16+26=1+26=36]才是正确的。
由这个案例可以看出,计数单位对理解数概念、数的大小比较以及四则运算具有重要意义。小学生理解分数的困难点就是由“单位1”、计数单位的复杂性所导致,但困难点往往能带来挑战,分数计数单位的“复杂性”就带来了极具探究性、能超越学生原有认识的好问题、好任务,让学生换一个角度体验分数的奇妙。
一、分数基本性质的本质:计数单位及其个数的辩证关系
“单位1”“分数单位”是理解分数意义的两个重要概念。分数意义包括现实意义与数学意义两方面,现实意义即分数既可以表示数量的多少,也可以表示两个量之间的比率關系;数学意义是计数单位及其个数相乘得到这个分数。分数表示绝对数量(有量纲)时,常用来表示时间。例如,“单位1”是“1时”,20分钟就用“[13]时”表示。“单位1”相同,分数就可以比较大小、进行加减法运算。日常生活中,其他常见量几乎不用分数表示,因为分数“既不是十进制的,也不是位值制的”,不便于感知其大小和进行计算。
分数无论表示“量”还是“率”,其“单位1”必须相同,这样分数的大小比较及四则运算的法则就与自然数、小数一致,存在“通理”“通法”。一般地,舍弃现实情境的抽象“分数”,都约定其“单位1”相同。因此,分数的计数单位即“分数单位”,就成为深入理解分数的切入点与难点。分数的意义就是“计数(Shǔ)分数单位的个数(Shù)”,即分子是“分数单位的个数”,分母的倒数是“分数单位”。分数之妙(之惑)在于任何一个分数都有无数个计数单位,相应地其个数也有无数个,二者之间具有辩证关系:单位越小(大),个数就越多(少),但乘积不变。任何一个分数只是“等值分数族”中的一个代表,是其他分数的“替身(大小相等)”,这就是分数基本性质的本质,是分数不同于自然数、小数的一个“神奇”特征。
分数的基本性质给小学生带来了学习上的难点。例如,“任何一个分数其背后都有‘无数个等值分数”“灵活选择分数的‘替身”“谁作比率关系中的‘标准”等问题,往往让学生一头雾水,解决分数、百分数应用题时束手无策。但这一特征也给学生带来趣味性与思维挑战性,教师可以利用分数的基本性质设计具有“纯数学味道”的探究活动,让学生感悟分数的奇妙。
二、分数的稠密性:任意两个分数之间有无数个分数
张奠宙教授认为:分数等价类中的每一个表示(分数), 各有各的用处, 都有其特定的价值。分数的这个特点, 既有学习难度, 又有思想高度, 是一个重要的数学思想方法。这一思想主要体现在适时的约分、扩分、通分等活动中。约分与通分是常见的数学操作,下面笔者介绍一个分数扩分活动,目的是让学生感悟任意两个分数之间都有无数个分数,初步体会分数的稠密性。这是分数的基本性质带来的有趣特征。
分数通分的本质是“寻找两个分数的公共分数(计数)单位”,只要找到两个分数的公共计数单位,比较两个分数的大小就转化为比较其计数单位个数的多少,两个分数的加减计算就转化为其计数单位个数的加减计算,即将分数的大小比较、加减计算转化为自然数的大小比较与加减计算。学生按照前述方法能够比较分数的大小,只是掌握了一种基本技能,下述小游戏——请找出大于[25]小于[34]的所有分数,不仅能使学生深刻理解分数大小比较的道理、体会扩分的意义,更能使他们折服于分数的稠密性——分数“密密麻麻地”排列在数轴上,如图1所示。
随着数轴的“不断放大”,学生直观感受到两个分数之间“藏着”无数个分数,体会到数轴上无论挨得多么近的两个“点”之间都藏着无数个分数。直观的“点”的稠密性,形象地反映出分数的稠密性。当然,学习无理数之后,再来看数轴,就知道稠密的“有理点”之间仍然是“漏洞百出”,这些“漏洞”中还藏着无数个无理数。
三、分数的可数、可列性:分数表的意义和价值
分数具有可数、可列性,即能够数出分数计数单位的个数。我们知道,分数就是一切形如“[qp](其中[p≠0])”的数,舍弃分数的现实意义,可以将分数看作一对“数偶”。因此,在平面直角坐标系中,将横轴上每一个自然数与纵轴上每一个自然数构造一对“数偶”,每对数偶与第一象限中的“点”建立一一对应关系,就建构出“正方形分数表”,如图2。
教师引导学生经历上述“正方形分数表”的建构过程,可以使学生头脑中原本“混乱、复杂”的分数变得清晰而有结构,体会“一一对应”思想的魅力,感受数学上“有序”“结构化”的价值。例如,教师可以给学生布置涂色任务:将上述“正方形分数表”中的真分数和假分数涂上不同的颜色。涂色后,可以清晰地看出等于1的分数[11]、[22]、[33]等等,有序地排列在对角线上,其余的假分数与真分数有序、对称地出现,如[12]和[21],[35]和[53],每个分数都与它的倒数对称地分布在对角线两边,一个对应着一个,各占半边天,每一类各形成一个“三角形”,和谐的对称美跃然眼前,如图3。
学生参与这样的涂色、讨论活动,能更直观地解决“真分数的个数比假分数的个数少”的认知误区。在借助数轴认识真分数、假分数时,由于真分数分布在[0,1)区间上,而假分数分布在[1,[∞)上],学生会错误地认为“真分数比假分数少得多”。借助这张分数表,学生可以对真分数、假分数的“个数”一样多有直观而准确的认识,也进一步认识到:“一样多”的本质是“一一对应”。
再如,将分数的基本性质直观化。从“理性”角度,学生已经“接受”分数的基本性质,借助“正方形分数表”还可以从“形”(有规律地排列的分数)的角度进一步理解分数的基本性质,感受数学的和谐与统一。如果表中的分数更多一些,涂过几组大小相等的分数后,学生会发现一个有趣的现象:每组相等的分数各自形成了一条直线,如图4中[12=24=36]。
类似的,还可以让学生观察图5中“直线”所穿过的“分数”,从上到下依次减小,即[52>43>34>25>16]。而[34>35],所以[52>43>35>16],学生可以在分数表中用“穿直线”的方法比较任何两个或多个分数的大小,用直观化手段研究抽象数的大小比较问题。
什么样的分数能化为有限小数,一直是教学的难点。教师借助这张“正方形分数表”,还可以让学生直观地发现能够化为小数的分数有哪些特征,以形象、直观的分数表为研究问题的工具,寻找能够解决这个问题的“突破点”(一个分数是否能化成有限小数与分母相关)。
一张可观察、“可触摸”的分数表的魅力远不止这些,其作用还有待进一步开发。
助理编辑 刘佳