基于模糊逻辑NSGA-Ⅲ的开关磁阻发电机多目标优化算法*

李艺辉，刘作军，李 洁

(河北工业大学人工智能与数据科学学院，天津 300132)

1 引言

开关磁阻发电机SRG(Switched Reluctance Generator)因具有结构简单、坚固，成本低，低速运行性能好，可控参数多，高容错性等诸多优点，在风力发电[1]、航空航天[2]等领域具有十分广阔的应用前景[3]。

由于转矩脉动大、噪声大等问题，SRG的实际应用受到限制。为解决SRG转矩脉动较大的问题，国内外学者在SRG本体设计参数[4]、控制参数[5]优化等方面进行了大量研究。在解决SRG转矩脉动问题的基础上，为了保证发电机全面高效的运行性能，需对SRG多个性能指标进行优化，因此多目标优化方法的引入对SRG的优化研究具有重要意义[5]。目前，在智能优化算法的研究领域，电机多目标优化方法主要分为传统多目标优化方法和多目标进化算法[6]。其中，传统多目标优化方法主要通过评价函数法[7,8]、目标规划[9]等方法将多目标问题转化为单目标问题求解。多目标进化算法通过寻优得到一个Pareto解集。基于遗传算法的多目标优化方法具备遗传算法较强的全局搜索能力和鲁棒性[10]。其中，快速非支配排序遗传算法NSGA-Ⅱ[11]通过引入拥挤度和精英策略保持了种群的多样性，提高了电机优化的精度和效率[12,13]，可以高效率处理多目标优化问题，而改善了种群分布的改进NSGA-Ⅱ[14]无法正确估量3目标及3目标以上优化问题的拥挤程度，在优化3个及以上目标的电机优化设计中存在不足。因此，文献[15,16]提出一种基于参考点的非支配排序遗传算法NSGA-Ⅲ,以参考点与种群的关联操作代替NSGA-Ⅱ的拥挤度选择机制，可从精英策略方面更好地解决包含3～15个优化目标的多目标优化问题。

NSGA-Ⅲ可快速估计多目标优化问题的最优点[15]，但算法本身无法帮助决策者确定满足自身偏好需求的最优方案。目前，已有研究将后验偏好信息[13]、交互偏好信息[17]和先验偏好信息[18]引入多目标优化方法，帮助决策者依据偏好选择Pareto解集中的最优方案。

本文提出一种基于模糊逻辑NSGA-Ⅲ的SRG多目标优化算法，将偏好信息引入SRG多目标优化。利用RSM对SRG的优化目标进行回归建模，在保证拟合精度的基础上，采用基于模糊逻辑NSGA-Ⅲ的SRG多目标优化算法对SRG结构参数和控制参数同时进行优化，即搭建基于模糊逻辑的模糊推理系统，在NSGA-Ⅲ中引入决策者的偏好信息指导NSGA-Ⅲ的寻优方向，通过寻优得到考虑偏好的Pareto最优解集，解集中的各个解附加了相对强度值，决策者选取相对强度值最大的解作为SRG多目标优化的最优方案。

2 SRG初始设计

本文依据SRG设计方法[19]计算得到如表1所示的1 kW四相8/6极SRG样机的主要设计参数。

Table 1 Initial design size of four-phase 8/6 pole SRG

利用Ansoft Maxwell软件对SRG模型进行有限元静态及瞬态仿真分析，得到恒功率额定工况下SRG的性能，如表2所示。

Table 2 SRG performance under rated conditions

3 SRG优化目标及优化变量

3.1 优化目标及优化变量

通过对SRG的参数化分析，选取对SRG效率、功率密度和转矩脉动影响较大的参数：定子极弧βs、转子极弧βr、定子轭厚Ys、转子轭厚Yr、定子内径Dsi、开通角θon和导通角θc组成优化变量X，如式(1)所示。

X=[x1x2x3x4x5x6x7]T=

[βsβrYsYrDsiθonθc]T

(1)

将结构参数和控制参数的取值范围作为优化变量的区间约束条件；此外，考虑到定子极磁密对SRG运行铁耗的影响，铁心轭部的结构强度以及发电机运行过程中的温升和铜耗等因素，将发电机定子极磁密、定子轭部磁密和定子绕组电流密度作为性能约束条件。

为减小SRG转矩脉动、提高运行效率和功率密度，满足发电机高效稳定的运行需求，SRG多目标优化问题可表示为：

(2)

3.2 SRG优化目标的响应面建模

由于SRG的非线性，优化目标η(x)、ρm(x)和KTr(x)无显式表达，本文采用响应面法RSM(Response Surface Methodology)对SRG优化目标函数进行回归建模。利用中心复合实验设计CCD(Central Composite experiment Design)[20]方法进行优化变量的5水平采样，通过Expert Design软件得到采样结果，如表3所示。

待优化因素数目为n，则采用CCD方法进行的总实验次数为：

m=no+2n+2n

(3)

Table 3 Factor and level reference table

其中，no为中心点数目，2n为轴向点数目，2n为析因点数目。本文设置待优化因素数即优化变量数为7，取中心点数目为1，总实验次数为143次。利用Maxwell软件对不同水平下的参数组合进行有限元仿真分析得到143组对应响应值，如表4所示。

对表4中的实验数据进行多元二次回归拟合，得到SRG优化目标转矩脉动KTr、发电机效率η和功率密度ρm响应面模型的函数表达分别如式(4)～式(6)所示：

KTr(x)=fKTr(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)

(4)

η(x)=fη(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)

(5)

ρm(x)=fρm(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)

(6)

SRG响应面模型分别如式(7)～式(9)所示。

Table 4 Factor and response test data

(7)

(8)

ρm(x)=185.17473-31.53661x1-11.11662x2-1.81560x3-0.73350x4-0.42486x5-0.015081x6+0.00626168x7

(9)

SRG优化目标响应面模型(式(3)～式(5))的回归分析如表5所示。

Table 5 SRG optimization target response surface model regression analysis table

有效信号与噪声比值Adeq.Precision>4，变异系数C.V.<10，响应面模型有较高的可信度和精度；P值(Model Prob>F)均小于0.01，响应面模型显著，拟合度好，具有高度统计学意义；多元相关系数R2及校正系数Adj.R2均大于0.9，各响应面模型预测精度较高。因此，通过响应面法构造的SRG优化目标模型拟合度好，可信度与精度较高。

4 基于模糊逻辑NSGA-Ⅲ的SRG多目标优化算法

4.1 模糊推理系统

由于决策者对不同优化目标重要程度的判定以及解改进程度的大小无法做出定量的描述，因此本文引入模糊推理系统，建立种群个体间的“强度优于”关系[17]以比较个体的优劣。首先，建立模糊推理系统，通过相对强度值的比较判断Pareto前沿解之间的优劣，用于指导算法的寻优方向。基于模糊逻辑建立双输入、单输出的Mamdani模糊推理系统，利用模糊语言描述决策者的偏好信息，定量输出相对强度值Si，如图1所示。

Figure 1 Fuzzy reasoning system of Mamdani

图1中优化目标fi(i=1,2,3)的重要性因子Pi由式(10)和式(11)计算得到。

(10)

(11)

其中，cij为优化目标fi对优化目标fj的相对重要程度。本文采用5级标度赋值，并设定3个优化目标的相对重要程度：SRG效率和功率密度同等重要，转矩脉动比效率、功率密度重要。

Table 6 5-level scale assignment of relative importance between optimization goals

由表6得到SRG多目标优化中3个优化目标相对重要程度的赋值矩阵C如式(12)所示：

(12)

图1中Di为2个解x、x′相对于优化目标的改进程度，由式(13)得到：

Di=fi(x′)-fi(x)

(13)

Mamdani模糊推理系统输出变量Si作为解x对于x′在优化目标fi(i=1,2,3)上的相对强度值，对输出变量Si采用常用反模糊化方法重心法得到Mamdani模糊推理系统输出的精确强度值S′。因此，x对优化目标的综合相对强度值如式(14)所示：

(14)

4.2 模糊逻辑NSGA-Ⅲ算法的主要操作

模糊逻辑NSGA-Ⅲ创建15条模糊规则的双输入、单输出Mamdani模糊推理系统，并预定义一组与种群规模相近的参考点，将种群规模为N的第t代父代种群Pt与经过交叉、变异生成的子代种群Qt合并，对种群数量为2N的合并种群Rt=Pt∪Qt进行相对强度值的比较。同时，对种群个体与参考点进行关联操作，建立关于种群个体到参考点距离的适应度函数，以保证改进NSGA-Ⅲ的种群多样性，最终将相对强度值筛选出新的种群数量为N的集合作为新的父代种群。

模糊逻辑NSGA-Ⅲ算法的主要操作：

(1)创建Mamdani模糊推理系统。

依据输入变量Pi、Di和输出变量Si的隶属度函数及规则搭建Mamdani模糊推理系统，设置SRG优化目标相对重要程度的赋值矩阵C以模糊化决策者对于优化目标重要程度的偏好信息。

(2)预定义一组参考点。

采用Deb and Jain方法生成内、外2层参考点，不仅减少了参考点数目，而且还保证了参考点的广泛分布[16,21]。外层参考点uij由Das and Dennis方法生成。

(15)

其中，M为优化目标的个数；H为归一化各优化目标坐标轴上平均分成的区域数,uij是集合U1中第i行第j列元素。

基于外层参考点，由式(16)得到内层参考点集U2：

u′ij∈U2

(16)

则(M-1)维超平面上预定义的参考点集U=U1∪U2。

(3)初始化理想点。

(17)

(4)建立适应度函数。

为保证种群个体能够均匀扩展到整个Pareto搜索域中，基于参考点到种群个体间的距离建立适应度函数，如式(18)所示：

f(x)=(U(x)-Umin+1)×(dmax/d)2

(18)

其中，U(x)和Umin分别为参考点是变量的函数和参考点最小值，d为参考点到种群个体的距离。

模糊逻辑NSGA-Ⅲ算法流程图如图2所示。

Figure 2 Flowchart of fuzzy logic NSGA-Ⅲ algorithm

5 优化结果及仿真分析

在Matlab软件中，利用NSGA-Ⅲ和模糊逻辑NSGA-Ⅲ分别优化1 kW四相8/6极SRG的转矩脉动、效率和功率密度响应面函数，设置种群规模N=200，交叉分布参数ηc=30，变异分布参数ηm=20，最大迭代次数GMax=500。得到Pareto前沿如图3和图4所示。

Figure 3 Pareto front after NSGA-Ⅲ optimization

Figure 4 Pareto front after fuzzy logic NSGA-Ⅲ optimization

图3和图4中Pareto前沿上所有解的约束违反度为0，均为满足SRG性能约束的可行解。SRG优化后的模型满足：KTr<2.0619，η>80.54%，ρm>117.2574 W/kg。图4中采用模糊逻辑NSGA-Ⅲ优化后的Pareto前沿上解的性能均优于优化前的，且标注点为相对强度值最大的解，即为满足决策者偏好的最优解。而图3中采用NSGA-Ⅲ优化后的部分解不完全满足优化需求，将其剔除，决策者依据偏好从剔除后的Pareto解集中选取最优解，在SRG功率密度约束下，取7组不同效率下的SRG可行解，其分布如图5所示。

Figure 5 Pareto feasible solution distribution with constraints

图5的7组优化方案中，方案1转矩脉动最小，方案7功率密度、发电效率最大。表7和表8为对采用NSGA-Ⅲ和模糊逻辑NSGA-Ⅲ优化后的8组SRG优化方案的分析结果(表7中的θon和θc均为电角度)。

表7列出的8组优化方案的SRG参数组合均从不同程度对SRG的3个优化目标进行了优化，较好地解决了SRG的多目标优化问题，其中方案1～ 方案7为图5中NSGA-Ⅲ优化后筛选的7组解，方案8为图4中模糊逻辑NSGA-Ⅲ优化后相对强度值最大的解。

Table 7 SRG optimization schemes based on NSGA-Ⅲ and fuzzy logic NSGA-Ⅲ

Table 8 Results analysis of SRG optimization schemes

从表9可以看出，方案1～方案5相对于方案8的强度值均为负，即考虑偏好信息时这5组解劣于通过模糊逻辑NSGA-Ⅲ优化得到的相对强度值最大的解。方案6和方案7的相对强度值略大于方案8的，但幅度较小，认为NSGA-Ⅲ优化后的方案6和方案7亦可满足决策者偏好。NSGA-Ⅲ优化得到的190组Pareto前沿上的解相较于方案8的强度值如图6所示。

Table 9 Comparison of the relative intensity values of schemes 1～7 and scheme 8

Figure 6 Comparison of the intensity values of the Pareto front of NSGA-Ⅲ and scheme 8

NSGA-Ⅲ优化后Pareto前沿上190组解中有176组解相对于方案8的强度值为负，即考虑偏好的解劣于方案8的。14组解略优于方案8的，均能满足决策者的偏好需求。由图6中相对强度值的分布情况可知，NSGA-Ⅲ优化后的Pareto前沿上有可以满足决策者偏好的解，而模糊逻辑NSGA-Ⅲ相较于NSGA-Ⅲ的优势在于在算法搜索前设定模糊逻辑，界定了算法的整体寻优方向，更有指向性地实现了全局寻优。

6 结束语

本文进行了基于模糊逻辑NSGA-Ⅲ的SRG多目标优化方法的研究。利用响应面法搭建了SRG非线性模型-回归模型；采用模糊逻辑NSGA-Ⅲ建立基于模糊逻辑的Mamdani模糊推理系统，通过对优化目标重要性和解改进程度的模糊化，在NSGA-Ⅲ的基础上引入决策者的偏好信息，以实现Pareto解集相对强度值的量化处理，由相对强度值的大小指导寻优方向；同时，建立适应度函数，以保证种群个体能够均匀分布到整个搜索域，通过寻优确定SRG的最优参数组合方案。算法采用相对强度值的比较代替了NSGA-Ⅲ中基于关联操作的非支配排序，使得算法的仿真时长略有增加，但是极大地减小了决策者的决策负担，缩短了选取最优解的时间。通过有限元仿真对比优化前后SRG的运行性能，强度值最大的优化方案能在减小SRG转矩脉动的同时，提高发电机的整体运行效率和功率密度，在满足决策者偏好的基础上有效地改善了SRG的运行性能，验证了基于模糊逻辑NSGA-Ⅲ的SRG多目标优化方法的有效性。